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专题2.12 指数与指数函数-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021秋•酒泉期末）已知m＞0，则√ 1√ 5 化为（ ）
m2 m2√m
A． 5 B． 5 C．m D．1
m4 m2
【解题思路】把根式化成分数指数幂，然后进行分数指数幂的运算即可．
【解答过程】解：原式 5 1 1 1 1 3 1 1 ．
=[(m2⋅m2)2⋅m2]2=(m2⋅m2)2=m
故选：C．
1 √ 27
2．（5分）（2021秋•惠阳区校级月考）（1 ）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷3 ( ) 2的值为（ ）
2 8
1 1 4 7
A．− B． C． D．
3 3 3 3
【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．
3 4 7
【解答过程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（ ）2＝1+3× = ．
2 9 3
故选：D．
3．（5分）（2022春•铜鼓县校级期末）函数y＝ax﹣1+1，（a＞0且a≠1）的图像必经过一个定点，则这
个定点的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解题思路】当x＝1时，y＝ax﹣1+1＝2，从而函数y＝ax﹣1+1过定点（1，2）．
【解答过程】解：函数y＝ax﹣1+1，（a＞0且a≠1）的图像必经过一个定点，
当x＝1时，y＝ax﹣1+1＝a0+1＝2，
∴函数y＝ax﹣1+1过定点（1，2）．
故选：B．
4．（5分）（2021秋•镇江期中）已知a是大于1的实数，满足方程a2+a﹣2＝7，则 1 − 1 （ ）
a2−a 2=
7 √7
A．1 B． + C．3√7+3 D．4
2 2
【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解．【解答过程】解：∵（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝9，∴a+a﹣1＝3，
∴ 1 − 1 a+a﹣1﹣2＝1，
(a2−a 2) 2=
又∵a＞1，∴ 1 1，∴ 1 − 1，
a2＞ a2＞a 2
∴ 1 − 1 1，
a2−a 2=
故选：A．
5．（5分）（2021秋•界首市校级期末）已知指数函数f（x）＝（2a2﹣5a+3）ax在（0，+∞）上单调递增，
则实数a的值为（ ）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【解题思路】根据指数函数的定义和性质，列方程求出a的值，再判断增减性即可．
【解答过程】解：根据指数函数的定义，令2a2﹣5a+3＝1，
1
解得a＝2或a= ；
2
又a＝2时f（x）＝2x在R上是单调增函数，
1 1
a= 时f（x）＝（ ）x在R上是单调减函数，
2 2
所以a的值为2．
故选：D．
3 1 3 − 1 2 1
6．（5分）（2021秋•重庆期末）已知a=( )3，b=( ) 3，c=( )3，则a，b，c的大小关系为（ ）
5 5 5
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【解题思路】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
【解答过程】解：∵ 1 在R上单调递增，
y=x3
3 2
又∵ ＞ ，
5 5
1 1
3 2
∴( )3＞( )3，即a＞c，
5 5
3
∵y=( ) x 在R上单调递减，
53 − 1 3 1
∴b=( ) 3＞a=( )3，
5 5
综上所述，b＞a＞c．
故选：C．
7．（5分）（2021秋•长宁区校级期末）在同一坐标系中，函数y＝ax+1与y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】当a＞1时，直线y＝ax+1的斜率大于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上
是增函数；当1＞a＞0时，直线y＝ax+1的斜率大于0且小于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在
（1，+∞）上是减函数，结合图象得出结论．
【解答过程】解：当 a＞1 时，直线 y＝ax+1 的斜率大于 1，函数 y＝a|x﹣1|（a＞0 且 a≠1）在
（1，+∞）上是增函数，选项C满足条件．
当1＞a＞0时，直线y＝ax+1的斜率大于0且小于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是
减函数，没有选项满足条件．
故选：C．8．（5分）（2021秋•如东县期末）已知指数函数f（x）＝a﹣x（a＞0，且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣
3），则a的取值范围（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
【解题思路】根据指数函数图象性质可解决此题．
【解答过程】解：由指数函数f（x）＝a﹣x（a＞0，且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3）得a2＞a3，
根据指数函数单调性可知a （0，1）．
故选：A． ∈
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•滕州市期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． √6 y2= y3 1 (y＜0) B． x − 3 4= √ 4 ( 1 ) 3 (x＞0)
x
C． x − 3 1 =−√3 x(x≠0) D． [√3 (−x) 2 ] 3 4=x 1 2(x＞0)
【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答过程】解：对于A： √6 y2= （﹣y）
❑3
1，故A错误；
3
− √ 1
对于B：x 4=4 ( ) 3，x＞0，故B正确；
x
1
对于C： − 1 ，x≠0，故C错误；
x 3=
√3 x
对于D：[√3
(−x)
2]
❑
3
4=
[x
❑3
2]
❑
3
4=x
1
2
，x＞0，故D正确．
故选：BD．
10．（5分）（2021秋•重庆期末）已知函数y＝ax，y＝bx（a，b＞0且a≠1，b≠1）的图像如图所示，则
下列结论正确的是（ ）A．a＞b＞1 B．0＜a＜b＜1 C．2a＜2b D．b＞a＞1
【解题思路】结合指数函数的底数对图像的影响可检验各选项即可判断．
【解答过程】解：由图像可知b＞a＞1，
所以2b＞2a，
故选：CD．
10
11．（5分）（2021秋•响水县校级期中）若指数函数y＝ax在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为 ，
3
则a的值可能是（ ）
1 1
A． B． C．3 D．2
2 3
【解题思路】对a进行讨论，结合指数函数单调性，即可求解最值，从而求解a的值
【解答过程】解：①当a＞1时，函数y＝ax在区间[﹣1，1]上为增函数，
1
∴当x＝1时，y ＝a，当x＝﹣1时，y = ，
max min
a
1 10
∴a+ = ，即3a2﹣10a+3＝0，
a 3
∵a＞1，∴a＝3．
②当0＜a＜1时，函数y＝ax在区间[﹣1，1]上为减函数，
1
∴当x＝﹣1时，y = ，当x＝1时，y ＝a，
max min
a
1 10
∴a+ = ，即3a2﹣10a+3＝0，
a 3
1
∵0＜a＜1，∴a= ．
3
1
综上：a的值可能为a＝3或a= ．
3
故选：BC．
12．（5分）（2021秋•枣庄期中）已知函数f（x）＝|3x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则（
）
A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．b＞0 D．3a+3c＜2
【解题思路】根据题意画出函数f（x）的图像，根据图像可知要使得a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f
（b），则有ac＜0，b的符号不确定，所以0＜f（c）＜f（a）＜1，从而得到答案．
【解答过程】解：函数f（x）＝|3x﹣1|的图像，如图所示，∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），
对于选项A：a，b，c不可能都小于0，因为都为负数时，函数单调递减，当a＜b＜c时，得不到f（a）
＞f（c）＞f（b），
故选项A错误，
对于选项B：由图像可知a＜0，b有可能大于0也有可能小于0，c＞0，
故选项B正确，
对于选项C：因为b有可能大于0也有可能小于0，所以b的符号不确定，故选项C错误，
对于选项D：根据图像可知a，c异号，且0＜f（c）＜f（a）＜1，
∴3a+3c＜2，故选项D正确，
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
f(1)
13．（5分）（2020秋•东城区期末）已知函数f（x）是指数函数，若 =4，则f（﹣2） ＜ f（﹣
f(3)
3）．（用“＞”“＜”“＝”填空）
【解题思路】利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的单调性即可比较大小．
【解答过程】解：设f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），
f(1)
∵ =4，
f(3)
a 1
∴ =4，解得：a= ，
a3 2
1
∴f（x）=( ) x，在R上单调递减，
2
∵﹣2＞﹣3，
∴f（﹣2）＜f（﹣3），
故答案为：＜．14．（5分）（2021秋•河池月考）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），若f（x）在区间[﹣1，0]上的
3
值域也是[﹣1，0]，则a+b＝ − ．
2
【解题思路】对a进行分类讨论，根据题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．
【解答过程】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax+b在定义域上是增函数，
所以{ 1+b=0 ，
a−1+b=−1
1
解得b＝﹣1， =0不符合题意舍去；
a
当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax+b在定义域上是减函数，
所以{1+b=−1，
a−1+b=0
1
解得b＝﹣2，a= ，
2
3
综上a+b=− ，
2
3
故答案为：− ．
2
15．（5分）（2021秋•泾阳县期中）已知a，b R，且2a＝3b，给出如下关系：
①a＞b＞0；②a＜b＜0；③a＝b＝0；④b＜∈a＜0．
其中所有可能成立的序号是 ①②③ ．
【解题思路】在同一坐标系内画出 y＝2x，y＝3x的图象，设2a＝3b＝k，讨论k＝1、k＞1和0＜k＜1时，
a与b的可能取值即可．
【解答过程】解：在同一坐标系内画出y＝2x，y＝3x的图象，如图所示：
设2a＝3b＝k，当k＝1时，a＝b＝0，③正确；
当k＞1时，a＞b＞0，①正确；
当0＜k＜1时，a＜b＜0，②正确；
综上，所有可能成立的序号是①②③．
故答案为：①②③．16．（5分）（2022春•乐清市校级期中）函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线
1 1 3
mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则 + 的最小值为 +√2 ．
2m n 2
【解题思路】令1﹣x＝0可求出点A（1，1），代入直线方程可得m+n＝1，再利用基本不等式进行求解．
【解答过程】解：函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1），
令1﹣x＝0得，x＝1，
∴A（1，1），
又∵点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，
∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，
1 1 1 1 3 n m 3 √ n m 3 n m
∴ + =（ + ）（m+n）= + + ≥ +2 ⋅ = +√2，当且仅当 = ，即 m
2m n 2m n 2 2m n 2 2m n 2 2m n
=√2−1，n＝2−√2时，等号成立，
1 1 3
∴ + 的最小值为 +√2，
2m n 2
3
故答案为： +√2．
2
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•诸暨市校级期中）求下列各式的值：
（1）解方程4x﹣2x+1﹣8＝0
1
√ 1 √ 3
（2） 6 +33 +(0.25)2+(√5 π) 0−2﹣1．
4 8
【解题思路】（1）令t＝2x，t＞0，则原方程可化为t2﹣2t﹣8＝0，解二次方程可求t，进而可求x；（2）直接由有理指数幂的运算性质求解即可．
【解答过程】解：（1）4x﹣2x+1﹣8＝0，令t＝2x，t＞0，
则原方程可化为t2﹣2t﹣8＝0，
∴t＝4，即x＝2；
1
√ 1 √ 3
（2） 6 +33 +(0.25)2+(√5 π) 0−2﹣1
4 8
5 3 1 1
= + + +1− =5．
2 2 2 2
1
18．（12分）（2021秋•阳春市校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点(4， )，其中a
8
＞0，且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥3）的值域．
【解题思路】（1）代入点列方程即可求解；
（2）根据指数函数的单调性即可求值域．
1 1
【解答过程】解：（1）由a4−1= ，得a= ；
8 2
1 1 1 1
（2）由（1）知，f(x)=( ) x−1，∵x≥3，∴x﹣1≥2∴0＜( ) x−1≤( ) 2，即值域为(0， ]．
2 2 2 4
19．（12分）（2022春•山西期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•mx是指数函数．
（1）求实数m的值；
（2）解不等式 m m．
(2+x)2＜(1−x)2
{m2−2m−2=1，
【解题思路】（1）由题意可得 从而可求出实数m的值．
m＞0，
m≠1，
{
2+x≥0
3 3 3
（2）由（1）可得
(2+x)2＜(1−x)2
，再由幂函数
y=x2
的单调性可得 1−x≥0 ，解不等式组可
2+x＜1−x
得答案．
【解答过程】解：（1）由题意函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•mx是指数函数，{m2−2m−2=1
可知 ，求得m＝3．
m＞0
m≠1
（2）由（1）得，不等式即 3 3，
(2+x)2＜(1−x)2
∵ 3在[0，+∞）上单调递增，
y=x2
{
2+x≥0
1
∴ 1−x≥0 ，解得−2≤x＜− ，
2
2+x＜1−x
1
故原不等式的解集为[−2，− )．
2
20．（12分）（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
a2
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大 ，求a的值．
2
【解题思路】（1）将点的坐标代入求出b的值；
（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求a的值．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），f（x）图象过点（0，2），
∴f（0）＝a0+b＝1+b＝2，
解得b＝1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，
此时f（x） ＝f（2）＝a2+1，f（x） ＝f（3）＝a3+1，
max min
a2 1
∴a2+1﹣（a3+1）= ，解得a= 或a＝0（舍），
2 2
当a＞1时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，
此时f（x） ＝f（2）＝a2+1，f（x） ＝f（3）＝a3+1，
min max
a2 3
∴a3+1−(a2+1)= ，解得a= 或a＝0（舍），
2 2
1 3
综上，a的值为 或 ．
2 2
1
21．（12分）（2021秋•潍坊期中）已知四个函数f（x）＝2x，g（x）＝（ ）x，h（x）＝3x，p（x）＝（
21
）x，若y＝f（x），y＝g（x）的图象如图所示．
3
（1）请在如图坐标系中画出y＝h（x），y＝p（x）的图象，并根据这四个函数的图象抽象出指数函数
具有哪些性质？
（2）举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由．
【解题思路】（1）根据指数函数的图象性质，得出结论．
（2）举细胞分裂的例子，抽象出指数函数的一个实例．
【解答过程】解：（1）画出y＝h（x），y＝p（x）的图象如图所示：
4个函数都是y＝ax（a＞0，a≠1）的形式，它们的性质有：
①定义域为R；②值域为（0，+∞）；
③都过定点（0，1）；
④当a＞1时，函数在定义域内单调递增，0＜a＜1时，
函数在定义域内单调递减；
⑤a＞1时，若x＜0，则0＜y＜1，若x＞0，则y＞1．
0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1，若x＜0，则y＞1；
⑥对于函数y＝ax（a＞0，a≠1），y＝bx（b＞0，b≠1），
当a＞b＞1时，
若x＜0，则0＜ax＜bx＜1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则ax＞bx＞1．
当0＜a＜b＜1时，若x＜0，则ax＞bx＞1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则0＜ax＜bx＜1．
（2）举例：原来有一个细胞，细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，则经过x次分裂，细胞个数
y，
则y＝2x，是一个指数函数．22．（12分）（2021秋•东湖区校级期中）已知指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），g（x）＝f2
（x）﹣2af（x）+3在区间[﹣1，1]的最小值h（a）；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的最小值h（a）的表达式；
（3）是否存在m，n R同时满足以下条件：
①m＞n＞3； ∈
②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）设f（x）＝ax，a＞0且a≠1，代值计算即可求出，
（2）利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到
h（a）的解析式．
（3）由（2）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域
为[n，m]时值域为[n2，m2]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的
值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．
【解答过程】解：（1）设f（x）＝ax，a＞0且a≠1，
∵指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），
∴a﹣1＝3，
1
即a= ，
3
1
∴f（x）＝（ ）x，
3
1
（2）令t＝（ ）x，
3
∵x [﹣1，1]，
∈1
∴t [ ，3]，
3
∈
∴g（x）＝k（t）＝t2﹣2at+3，对称轴为t＝a，
1 1 1 1 28 2a
当a≤ 时，k（t）在[ ，3]上为增函数，此时当t= 时，h（a）＝k（ ）= −
3 3 3 3 9 3
1 1
当 ＜a＜3时，k（t）在[ ，a]上为减函数，在[a，3]上为增函数，此时当t＝a时，h（a）＝﹣a2+3，
3 3
1
当a≥3时，k（t）在[ ，3]上为减函数，此时当t＝3时，h（a）＝12﹣6a，
3
28 2 1
{ − a，a≤
9 3 3
∴h（a）= 1 ．
−a2+3， ＜a＜3
3
12−6a，a≥3
（3）由（2）得m＞n＞3时，h（a）＝12﹣6a在[n，m]中为减函数，
若此时h（a）值域为[n2，m2]．
则{12−6n=m2
，即6（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n），即m+n＝6，
12−6m=n2
与m＞n＞3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值．
