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专题 1.3-4 线段的垂直平分线与角平分线
典例体系 （本专题共 6 4 题 4 3 页）
一、知识点
1、垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
3、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；
二、考点点拨与训练
考点1：与线段垂直平分线相关的尺规作图
典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ADC．方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知
识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度
2
数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
1
2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于
2
AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（
）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得
PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕
迹，求出∠α等于( )A．34° B．44° C．56° D．68°
1
5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 AB的长为半径画
ABC A B 2
弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，交BC于点 ，连接AD，若ADC 的周长为10，AB7，则
ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大
1
△
于 AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则
2
BC长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
1
7．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段 的端点 和 为圆心大于 AB的长为半径作弧，连接
AB A B 2
两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得CAB 25，延长AC 至M ，BCM 的度数为
__________．1
8．（2020·四川成华初一期末）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，
ABC 2
两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE 3m，ABD的周长为13cm，则
ABC的周长为________.
9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在 ABC的BC边上求作点D，做得△ABD与 △ACD的面积相
等．（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．
（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线
AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．
11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C
为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点
△
D，交BC于点E．（1）根据作法判断直线DE为线段AC的 线；
（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．
考点2：线段垂直平分线的性质
典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON
交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
方法或规律点拨
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解
题的关键．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D
点，若AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（ ）
A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm
2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC
于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直
平分AB，垂足是D，S ：S ＝_____．
AED ABC
△ △
4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，
△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.
5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为 AB，AC 中点， 且
DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．
6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点
E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
考点3：线段垂直平分线的判定
典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
方法或规律点拨
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关
的性质定理与判定定理是解题的关键.巩固练习
1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它
到三个车间的距离相等，则仓库应建在（ ）
A．△ABC三边的中线的交点上 B．△ABC三内角平分线的交点上
C．△ABC三内高线的交点上 D．△ABC三边垂直平分线的交点上
2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直
线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A． 是线段 的垂直平分线 B． 是线段 的垂直平分线
C． 是线段 的垂直平分线 D． 是 的垂直平分线
3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧
1
分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接
2
AP并延长交BC于点D，则下列说法：
①AD是∠BAC的平分线；
②CD是△ADC的高；
③点D在AB的垂直平分线上；
④∠ADC=61°．
其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于
E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；
（3）连接FG，CG．作射线OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°
C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG
6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（ ）
A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD
的高。求证：AD垂直平分EF。
8．（2020·全国初二课时练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.
9．（2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与
CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．
考点4：角平分线性质定理及其应用
典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD
（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S :S =_________（直接写出答案）
ABD ACD
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若△AB=m△，AC=n，S :S =_________ (用含m,n的代数式
ABD ACD
表示)． △ △
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S =6,求
BDE
△ABC的面积． △
方法或规律点拨
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平
分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
△A． B． C．3 D．
2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用
A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交边 于点 ，若 ， ，则 的面积是 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
4．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之
间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
5．（2020·河南省初三二模）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
交边 于点 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．6．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点
D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，
△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
8．（2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：
CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I
为△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为__________
△
10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到
BC的距离_______．
11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图， 的三边 的长分别为
，其三条角平分线交于点 ，则 =______．12．（2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，
BC＝8.若S ＝21，则DE＝________．
ABC
△
13．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.
14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，点
C、D分别在射线 、 上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC
与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．考点5：角平分线性质定理的逆定理及其应用
典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点
E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.
(1)求证：BM=CN；
(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用．
巩固练习
1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完
全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA
并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知 和 都是等腰三角形， ，
交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图， 中， ，点 为 的三条角平
分线的交点， 垂直 ， ， ，点 、 、 分别是垂足，且 ，
， ，则 __________．
4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且
BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
△
5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且
BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
6．（2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，
DE=DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD=∠EAD；（2）BD=CD．
7．（2018·江苏省初二期中）已知：如图 中， ， ，垂足分别为F、E， 交
于点D， ，求证：D点在 的平分线上．
考点6：与角平分线有关的尺规作图
典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知 ，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
第三步：画射线 ．射线 即为所求．
下列正确的是（ ）
A． ， 均无限制 B． ， 的长
C． 有最小限制， 无限制 D． ， 的长
方法或规律点拨
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业， 为 的平分线，这样的作法依据是( )A． B． C． D．
2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于
点 O，且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF 是△ABC 的角平分线 B．点 O 到△ABC 三边的距离相等
C．CG 也是△ABC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO
3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在 中，尺规作图如下：在射线 、 上，分别
截取 、 ，使 ；分别以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
；作射线 ，连结 、 .下列结论不一定成立的是( )
A． B． C． D．
4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为_________．
5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，
△分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交
BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．
6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的
方法：
已知：
求作： 的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为 的平分线．
7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径
作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交
AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．
请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB的度数．8．（2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有 ， ， ， 四点，请按要求完成：
（1）尺规作图：连接 ，作射线 ，交 于点 ，作射线 平分 ．须保留作图痕迹，且
用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明．
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
9．（2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在 中，点 在边 上，且 ．
（1）用尺规作图法，作 的平分线 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接 ．求证： ．
