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专题 2.13 对数与对数函数-重难点题型精讲
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中_a_叫做对
a
数的底数，_N_叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M＋log N．
a a a
②log ＝log M－log N．
a a a
③log Mn＝nlog M (n∈R)．
a a
(2)对数的性质
①负数和零没有对数；
②log 1＝0，log a＝1(a>0，且a≠1)．
a a
③ ＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④log aN＝N(a>0，且a≠1)．
a
(3)对数的换底公式
log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时， y <0 ；当01时， y >0 ；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x
a
对称．
【题型1 对数的运算】
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
【例1】（2022•遵义开学）已知lg2＝a，lg3＝b，则log 75＝（ ）
4
a−b+2 b−a+2 b−2a+2 2a−b+2
A． B． C． D．
2a 2a 2a 2a
【解题思路】根据对数的换底公式和对数的运算性质求解即可．
【解答过程】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
lg75 2lg5+lg3 2(1−lg2)+lg3 lg3−2lg2+2 b−2a+2
∴log 75= = = = = ．
4 lg4 2lg2 2lg2 2lg2 2a
故选：C．
2 1
【变式1-1】（2022春•银川校级期末）已知3a＝5b且 + =1，则a的值为（ ）
a b
A．log 15 B．log 15 C．log 45 D．log 45
3 5 3 5
2 1
【解题思路】根据条件可得出b＝alog 3，然后代入 + =1，根据对数的运算性质即可求出a的值．
5
a b
【解答过程】解：b＝alog 3，
5
2 1
∴ + =1，
a alog 3
5
2 log 5
∴ + 3 =1，
a a∴a＝2+log 5＝log 9+log 5＝log 45．
3 3 3 3
故选：C．
【变式1-2】（2022春•西青区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则log 18＝（ ）
8
a+3b a+2b a+2b a+3b
A． B． C． D．
a3 3a a3 3a
【解题思路】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
【解答过程】解：∵ln2＝a，ln3＝b，
ln18 ln2+2ln3 a+2b
∴log 18= = = ，
8
ln8 3ln2 3a
故选：B．
【变式1-3】（2022春•渝中区校级期末）化简 的值为（ ）
(1og 2) 2+log 2⋅log 3+2log 3−6log 6 2
6 6 6 6
A．﹣log 2 B．﹣log 3 C．log 3 D．﹣1
6 6 6
【解题思路】根据对数的运算性质进行运算化简即可．
【解答过程】
解： ，
(log 2) 2+log 2⋅log 3+2log 3−6log 6 2=log 2+2log 3−2=log 3−1=−log 2
6 6 6 6 6 6 6 6
故选：A．
【题型2 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例2】（2022•潍坊二模）已知函数f（x）＝log （x﹣b）（a＞0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法
a
正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．ab＜﹣1 C．0＜ab＜1 D．log |b|＞0
a
【解题思路】利用图像可求出a与b的取值范围，即判断正确答案．
【解答过程】解：由图像可知 a＞1，﹣1＜b＜0，所以选项A，B不正确，ab可看作单调递增的指数函1 1
数，所以 ＜ab＜1，因为a＞1所以 ＞0，即选项C正确，
a a
由对数函数性质可知log |b|＜0，所以D选项错误．
a
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝log x（a
a
＞0且a≠1）的图像关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分类讨论，根据函数的单调性即可判断．
【解答过程】解：当a＞1时，对数函数y＝log x为增函数，且一次函数y＝x+a与y轴的交点纵坐标a
a
＞1，故排除BD，
当0＜a＜1时，对数函数y＝log x为减函数，且一次函数y＝x+a与y轴的交点纵坐标0＜a＜1，故排除
a
A．
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•南山区校级月考）如图所示，曲线是对数函数f（x）＝log x的图象，已知a取√3，
a
4 3 1
， ， ，则对应于C ，C ，C ，C 的a值依次为（ ）
1 2 3 4
3 5 2
4 3 1 4 1 3 4 3 1 4 1 3
A．√3， ， ， B．√3， ， ， C． ，√3， ， D． ，√3， ，
3 5 2 3 2 5 3 5 2 3 2 5【解题思路】利用log a＝1，在图象上画出y＝1的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数
a
函数的底数．
【解答过程】解：在图象上画出y＝1的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数的底数，
如图所示：
，
4 3 1
所以对应于C
1
，C
2
，C
3
，C
4
的a值依次√3， ， ， ，
3 5 2
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•荔城区校级月考）如图，直线x＝m（m＞1）依次与曲线y＝log x、y＝log x及x轴
a b
相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．1＜b≤2a﹣1 B．b＞2a﹣1 C．1＜b≤2a D．b＞2a
【解题思路】由题意利用对数函数的图象和性质，得出结论．
【解答过程】解：如图，根据对数函数的图象特征，可得 y＝log x、y＝log x及都是定义域内的增函数，
a b
故a＞1，b＞1．
由于当x＞1时，log x＞log x＞0，∴b＞a＞1．
a b
由B是线段AC的中点，得AB＝BC，即log m＝2log m，即 log m，
a b log m=2 a
a log b
a
所以log b＝2，故b＝a2，又a，b （1，+∞），
a
∴b﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1＝（a﹣∈1）2＞0，所以b＞2a﹣1，故B正确且A错误；
根据b＝a2，又a，b （1，+∞），可得当1＜a≤2时，1＜b≤2a，但当a＞2时，b＞2a，
故C、D不一定正确∈，故选：B．
【题型3 比较大小】
对数值的比较大小有4种常见类型：
(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；
(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论；
(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较.
【例 3】（2022•响水县校级开学）已知 a＝log 3 2，b=0.21og 5 1，c＝log 3 ，则 a，b，c的大小关系为
（ ） π
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【解题思路】根据对数函数的单调性可得出 a＜1，c＞1，根据对数与指数的运算可得出b＝1，这样即
可得出a，b，c的大小关系．
【解答过程】解：∵log 3 2＜log 3 3＝1，0．2log 5 1=0．20=1，log 3 ＞log 3 3＝1，
∴c＞b＞a． π
故选：C．
【变式3-1】（2022•安徽开学）已知a＝log 3，b＝log 4， 1，则a，b，c的大小关系为（ ）
29 50 c=lne3
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【解题思路】根据对数的运算法则和运算性质进行判断即可．
1
1
【解答过程】解：c=lne3= ，
3
1
1 1
log 29 3＝log 29 27 ❑3＜ log 29 29❑3=
3
，即a＜c，
1
1 1
b＝log 50 4＝log 50 64 ❑3＞ log 50 50❑3=
3
，即b＞c，
即a＜c＜b，
故选：B．
【变式3-2】（2022•靖远县开学）已知a＝20.4，b＝log 3，c＝log 0.4，则（ ）
2 0.3
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
3 3
【解答过程】解：∵1=20＜20.4＜20.5＜ ，log 3＞log √8= ，log 0.4＜log 0.3＝1，
2 2 2 2 0.3 0.3
∴c＜a＜b．故选：B．
【变式3-3】（2022春•咸宁期末）已知a＝ln2，b＝ln3，c＝log 2，则（ ）
3
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【解题思路】根据对数函数的单调性比较大小即可．
【解答过程】解：因为f（x）＝lnx在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，
所以ln2＜ln3，即a＜b，
ln2
又因为c=log 2= ＜ln2=a，
3 ln3
所以b＞a＞c．
故选：C．
【题型4 解对数不等式】
对数不等式有两种类型：
(1) log x>log b，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求解.
a a
【例4】（2022春•楚雄州期末）已知函数f（x）的图象与g(x)=log x的图象关于x轴对称，则不等式f
1
4
（3x）＜f（2x+1）的解集为（ ）
1
A．（0，+∞） B．（0，1） C．(0， ) D．（﹣∞，1）
2
【解题思路】利用f（x）与g（x）关于x轴对称，得f（x）＝log x是（0，+∞）上的增函数，利用单调
4
性可解．
【解答过程】解：根据题意，g（x）是在（0，+∞）上的减函数，又f（x）与g（x）关于x轴对称，
则f（x）＝log x是（0，+∞）上的增函数，
4
所以0＜3x＜2x+1，解得0＜x＜1．
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•成都月考）已知函数f（x）＝|lgx|，若f（a）＝f（b）且a＜b，则不等式log x+log
a b
（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
1 1
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（ ，+∞） D．（ ，1）
2 2
【解题思路】先画出函数f（x）的大致图像，根据图像可知0＜a＜1，b＞1，再结合已知条件可得ab＝
1，把所求不等式的底数都换为a，再利用函数y＝log x的单调性即可求解．
a
【 解 答 过 程 】 解 ： 函 数 f （ x ） 的 图 像 如 图 所 示 ：，
由图像可知0＜a＜1，b＞1，
∵|lga|＝|lgb|，∴﹣lga＝lgb，
∴lga+lgb＝0，即lg（ab）＝0，
∴ab＝1，
由log x+log （2x﹣1）＞0可得：log x﹣log （2x﹣1）＞0，
a b a a
∴log x＞log （2x﹣1），
a a
又∵0＜a＜1，∴函数y＝log x在（0，+∞）上单调递减，
a
{ x＞0
∴ 2x−1＞0，解得x＞1，
x＜2x−1
∴不等式log x+log （2x﹣1）＞0的解集为（1，+∞）．
a b
故选：A．
【变式4-2】（2021秋•衢州期末）已知函数f（x）（x R，且x≠1）的图象关于点（1，0）对称，当x＞1
时f（x）＝log （x﹣1），且f（3）＝﹣1，则不等式∈f（x）＞1的解集是（ ）
a
3 3
A．(−3， ) B．(−∞，−3)∪( ，+∞)
2 2
3 3
C．(−∞，−1)∪( ，+∞) D．(−∞，−1)∪(1， )
2 2
【解题思路】由题意，f（x）＝﹣f（2﹣x），当x＞1时f（x）＝log （x﹣1），且f（3）＝﹣1，log 2
a a
1
＝﹣1，可得a= ，分类讨论，解不等式即可得出结论．
2【解答过程】解：由题意，f（x）＝﹣f（2﹣x），
∵当x＞1时f（x）＝log （x﹣1），且f（3）＝﹣1，
a
1
∴log 2＝﹣1，∴a= ，
a
2
log 3
∴当x＞1时，不等式f（x）＞1可化为 1（x﹣1）＞1，∴1＜x＜ ，
2 2
x＜1时，2﹣x＞1时，不等式f（x）＞1可化为−log （1﹣x）＞1，∴x＜﹣1
1
2
故选：D．
【变式4-3】（2021•烟台一模）已知函数f（x）的定义域为{x|x R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f
（﹣x）＝0，当x＞0时，f（x）＝log x，则不等式f（x）＞1∈的解集为（ ）
2
A．（2，+∞） B．（1，+∞）
1
C．（− ，0）∪（2，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
2
【解题思路】首先令x＜0，则﹣x＞0，根据函数f（x）为奇函数，求出f（x）的解析式；又f（0）＝
0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出不等式f（x）＞1的解集，
最后求其并集即可．
【解答过程】解：∵f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＜0时，﹣x＞0时，f（﹣x）＝log （﹣x）＝﹣f（x），
2
即f（x）＝﹣log （﹣x），
2
当x＝0时，f（0）＝0，
{ log 2 x x＞0
∴f（x） 0 x= 0 ；
=
−log (−x) x＜0
2
①当x＞0时，由log x＞1，解得x＞2，
2
1
②当x＜0时，由﹣log （﹣x）＞1，解得x＞− ，
2
2
1
综上，得x＞2或x＞− ，
2
1
故不等式f（x）＞1的解集为：（− ，0）∪（2，+∞）．
2
故选：C．【题型5 与对数函数有关的复合函数问题】
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
x
【例5】（2021秋•忻州校级期中）已知函数f（x）＝log ．
2
1−x
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）在定义域内是增函数．
x
【解题思路】（1）直接将问题等价为不等式：0＜ ≤1，解出即可；
1−x
（2）先判断该函数在定义域（0，1）上单调递增，再用单调性的定义作差证明．
x
【解答过程】解：（1）不等式f（x）≤1，即为log ≤1，
2
1−x
x 1
等价为：0＜ ≤1，解得，x （0， ]，
1−x 2
∈
1
即原不等式的解集为：（0， ]；
2
x
（2）函数f（x）＝log 的定义域为（0，1），
2
1−x
x 1
且f（x）＝log =log [﹣1+ ]，
2 2
1−x 1−x
函数f（x）在定义域（0，1）内单调递增，证明如下：
任取x ，x （0，1），且x ＜x ，
1 2 1 2
∈
则f（x ）﹣f（x ）＝log x log x
1 2 2 1 − 2 2
1−x 1−x
1 2
＝log x (1−x ) log x −x x ，
2 1 2 = 2 1 1 2
x (1−x ) x −x x
2 1 2 1 2
∵x ＜x ，∴x ﹣x x ＜x ﹣x x ，
1 2 1 1 2 2 1 2
所以，x −x x 1，因此，f（x ）﹣f（x ）＜0，
1 1 2＜ 1 2
x −x x
2 1 2
所以，f（x）在（0，1）内单调递增．
【变式5-1】（2021秋•西固区校级期末）已知函数f（x）＝lg（x﹣1），g（x）＝lg（4﹣x）．（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域．
（2）求不等式f（x）＞g（x）成立时，实数x的取值范围．
【解题思路】（1）求出函数h（x）的解析式，结合函数成立的条件，进行求解即可
（2）结合对数函数的单调性进行求解即可．
【解答过程】解：（1）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lg（x﹣1）﹣lg（4﹣x）．
{x−1＞0
要使函数h（x）有意义，则 ，
4−x＞0
{x＞1
得 ，得1＜x＜4
x＜4
即函数的定义域为（1，4）．
（2）由f（x）＞g（x）得lg（x﹣1）＞lg（4﹣x），
5
得x﹣1＞4﹣x，得2x＞5，得x＞ ，
2
∵1＜x＜4，
5
∴ ＜x＜4，
2
5
即实数x的取值范围是（ ，4）．
2
【变式5-2】（2020春•丽江期末）已知函数f（x）＝log （ax2+2x+3）．
4
（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）由题意可得，ax2+2x+3＞0对任意x R恒成立，显然a＝0时不合题意，从而必有
∈
{ a＞0
，由此求得a的取值范围．
Δ=4−12a＜0
（2）因为f（1）＝1求得a＝﹣1，这时f（x）＝log （﹣x2+2x+3）．由﹣x2+2x+3＞0求得函数定义域
4
为（﹣1，3）．令g（x）＝﹣x2+2x+3，求得g（x）的单调区间，即可得到f（x）的单调区间．
{ a＞0
（3）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，根据 3a−1 ，解
=1
a
得a的值，从而得出结论．
【解答过程】解：（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax2+2x+3＞0对任意x R恒成立，
∈{ a＞0 1
显然a＝0时不合题意，从而必有 ，解得a＞ ，
Δ=4−12a＜0 3
1
即a的取值范围是（ ，+∞）．
3
（2）因为f（1）＝1，所以log （a+5）＝1，因此a+5＝4，a＝﹣1，
4
这时f（x）＝log （﹣x2+2x+3）．
4
由﹣x2+2x+3＞0得﹣1＜x＜3，即函数定义域为（﹣1，3）．
令g（x）＝﹣x2+2x+3．
则g（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
又y＝log x在（0，+∞）上单调递增，
4
所以f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，3）．
（3）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，
{ a＞0
1
因此应有 3a−1 ，解得a= ．
=1 2
a
1
故存在实数a= ，使f（x）的最小值为0．
2
1−x 4
【变式5-3】（2021秋•涡阳县期末）已知函数f（x）＝log （a＞0且a≠1）的图象经过点P（− ，
a
1+x 5
2）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
1−x
（2）设g(x)= ，用函数单调性的定义证明：函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；
1+x
（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．
【解题思路】（1）利用函数图象经过的点列出方程，求出a，即可求出函数y＝f（x）的解析式；
1−x
（2）设g(x)= ，用函数单调性的定义，通过作差、化简、比较大小，即可证明：函数y＝g（x）
1+x
在区间（﹣1，1）上单调递减；
（3）利用函数的解析式，化简不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．通过解分式不等式求出结果即可．
4
1−(− )
4 5
【解答过程】解：（1）f(− )=log =2，解得：a2＝9，∵a＞0 且a≠1，
5 a 4
1+(− )
5
∴a＝3；1−x
函数y＝f（x）的解析式：f（x）＝log ，
3
1+x
（2）设x 、x 为（﹣1，1）上的任意两个值，且x ＜x ，则x +1＞0，x +1＞0，x ﹣x ＞0
1 2 1 2 1 2 2 1
∵g（x ）﹣g（x ） 1−x 1−x 2(x −x ) ，
1 2 = 1− 2= 2 1
1+x 1+x (1+x )(1+x )
1 2 1 2
∴g（x ）﹣g（x ）＞0，
1 2
∴g（x ）＞g（x ）．
1 2
1−x
∴g(x)= 在区间（﹣，1）上单调递减．
1+x
（3）∵
1−(t2−2t−2)
，
log ＜0
3 1+(t2−2t−2)
∴
1−(t2−2t−2)
0＜ ＜1，
1+(t2−2t−2)
由1−(t2−2t−2)
，
＜1
1+(t2−2t−2)
得：t2﹣2t﹣2＞0或t2﹣2t﹣2＜﹣1；
由1−(t2−2t−2)
＞0
1+(t2−2t−2)
得：﹣1＜t2﹣2t﹣2＜1，
∴0＜t2﹣2t﹣2＜1，
∴−1＜t＜1−√3或1+√3＜t＜3．
【题型6 指数函数、对数函数的综合问题】
【例6】（2020秋•上高县校级期末）已知函数f（x）＝log （ax﹣1）（a＞0，a≠1）．
a
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log （1+2x）＞m对任意实数x [1，3]恒成立，求实数m的取值范围．
2
【解题思路】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞∈1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可
求得f（x）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；2
（3）令g（x）＝f（x）﹣log （1+2x）＝log （1− )在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即
2 2 2x+1
可．
【解答过程】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0．
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x （0，+∞）；当0＜a＜1时，x （﹣∞，0）．
（2）当a＞1时，任取x 1 、x 2 （0，∈+∞），且x 1 ＜x 2 ， ∈
则ax 1＜ax 2，所以ax 1−1＜ax 1∈−1．
因为a＞1，所以log
a
（ax 1−1）＜log
a
（ax 1−1），即f（x
1
）＜f（x
2
）．
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；
∴ax﹣1＜a﹣1，
∵a＞1，
∴x＜1，
又∵x＞0，
∴0＜x＜1；
2
（3）∵g（x）＝f（x）﹣log （1+2x）＝log （1− )在[1，3]上是单调增函数，
2 2 2x+1
∴g（x） ＝﹣log 3，
min 2
∵m＜g（x），
∴m＜﹣log 3，即m （﹣∞，﹣log 3）．
2 2
【变式6-1】（2021秋•∈大理市校级期末）已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且
点A又在函数f（x）=log （x+a）的图象．
√3
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log a．
√3
【解题思路】（1）运用a0＝1，令x﹣2＝0，则x＝2，求得g（2）＝2，代入f（x），即可求得a＝1；
（2）运用对数函数的单调性，当a＞1时，f（x）在x＞0上递增，解不等式即可得到．
【解答过程】解：（1）令x﹣2＝0，则x＝2，
g（2）＝（a+1）0+1＝2，则有A（2，2），
由f（2）=log （2+a）＝2，
√3即有2+a＝3，解得a＝1；
（2）f（x）＜log a即为
√3
（x+1） 1，
log ＜log
√3 √3
即0＜x+1＜1，
解得﹣1＜x＜0．
则解集为（﹣1，0）．
【变式6-2】（2021•信阳模拟）已知函数f（x）＝log （2x+1）．
2
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）若g（x）＝log （2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的
2
取值范围．
【解题思路】（1）根据定义对函数的单调性判断证明．
（2）转化为m＝g（x）﹣f（x）值域求解范围．
【解答过程】解：（1）∵函数f（x）＝log （2x+1），
2
任取x ＜x ，则f（x ）﹣f（x ）＝log （2x+1+1）﹣log （ 1）＝log 2x 1+1，
1 2 1 2 2 2 2x 2+ 2
2x 2+1
∵x ＜x ，
1 2
∴0 2x 1+1 1，
＜ ＜
2x 2+1
∴log 2x 1+1 0，
2 ＜
2x 2+1
∴f（x ）＜f（x ），
1 2
∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（2）∵g（x）＝m+f（x），
∴m＝g（x）﹣f（x）＝log （2x﹣1）﹣log （2x+1）＝log 2x−1 log （1 2 ），
2 2 2 = 2 −
2x+1 2x+1
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，
1 2 3
∴log ≤log （1− ）≤log ，
2 3 2 2x+1 2 51 3
故m的取值范围为[log ，log ]．
2 2
3 5
【变式6-3】（2021春•红谷滩新区校级期末）函数y＝f（x）图象与函数y＝ax﹣1（a＞1）图象关于直线y
＝x对称
（1）求f（x）解析式
p p
（2）若f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值域为[log ，log ]，求实数p范围．
am a n
【解题思路】（1）函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax﹣1（a＞1）的图象关于直线y＝x对称，知y＝f
（x）是y＝ax﹣1（a＞1）的反函数．由此能求出f（x）＝log （x+1）．
a
（2）因为a＞1，所以f（x）＝log （x+1）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数．所以 f（x）＝log
a a
（x+1）在区间[m，n]（m＞﹣1）上为单调递增函数．由此利用f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值
p p
域为[log ，log ]，能求出实数p的取值范围．
am a n
【解答过程】解：（1）∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax﹣1（a＞1）的图象关于直线y＝x对称，
∴y＝f（x）是y＝ax﹣1（a＞1）的反函数．
在y＝ax﹣1（a＞1）中，
∵ax＝y+1，∴x＝log （y+1），
a
互换x，y，得到f（x）＝log （x+1）．
a
（2）因为a＞1，所以f（x）＝log （x+1）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数．
a
所以f（x）＝log （x+1）在区间[m，n]（m＞﹣1）上为单调递增函数．
a
p p
∵f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值域为[log ，log ]，
am a n
p
∴f（m）＝log （m+1）＝log ，
a a
m
p
f（n）＝log （n+1）＝log ，
a a
n
p p
即m+1= ，n+1= ，n＞m＞﹣1．
m n
p
∴m，n是方程x+1= 的两个不同的根，
x
∴方程x2+x﹣p＝0，x （﹣1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
∈Δ=1+4 p＞0
{
这等价于 (−1) 2+(−1)−p＞0，
1
− ＞−1
2
1
解得− ＜p＜0为所求．
4
1
故实数p的取值范围是（− ，0）．
4
