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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.2两条直线的位置关系（2）垂线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．
【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．
故选： ．
2．（2021春•济源期末）如图，河道 的同侧有 ， 两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至 ， 两
地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是
A． B．C． D．
【分析】根据两点之间线段最短可判断方案 比方案 、 中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方
案 比方案 中的管道长度最短．
【解析】四个方案中，管道长度最短的是 ．
故选： ．
3．（2021春•抚远市期末）如图， ，垂足为 ， 为过点 的一条直线，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角相等求出 ，再根据垂直的定义求出 ，然后根据 代入数据
计算即可得解．
【解析】如图，
，
，
，
，
．
故选： ．
4．（2020春•高州市期中）如图，直线 于 ，直线 交 于 ， ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】利用垂线定义和对顶角相等可得答案．
【解析】 ，
，
，
，
，
故选： ．
5．（2020春•曲阳县期末）如图，已知 ， ，所以 与 重合，其理由是
A．两点确定一条直线
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．垂线段最短
D．过一点只能作一条垂线
【分析】利用平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，逐一分析，排除错误答案．
【解析】 、点 、 可以确定一条直线，但不可以确定三点 、 、 都在直线 的垂线上；故本选
项错误；
、直线 、 都经过一个点 ，且都垂直于 ；故本选项正确；
、此题没涉及到线段的长度；故本选项错误；
、垂直的定义是判断两直线垂直关系的，本题已经已知 ， ；故本选项错误；
故选： ．6．（2021春•天心区期中）如图， 于 ．且 ， ， ．则点 到直线 的
距离等于
A．4 B．3 C．2.4 D．2
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【解析】由题意得
点 到直线 的距离等于 的长，
故选： ．
7．（2021春•浦东新区月考）下列图形中，线段 的长表示点 到直线 的距离是
A． B．
C． D．
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【解析】由题意得 ，
到 的距离是 垂线段的长度，
故选： ．
8．（2020春•新乡期末）如图，田地 的旁边有一条小河 ，要想把小河里的水引到田地 处，为了省时
省力需要作 ，垂足为 ，沿 挖水沟，则水沟最短，理由是
A．点到直线的距离 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．【解析】把小河里的水引到田地 处，则作 ，垂足为点 ，沿 挖水沟，依据为：垂线段最短．
故选： ．
9．（2020•陕西）如图， ，直线 经过点 ，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【分析】由垂线的性质可得 ，由平角的性质可求解．
【解析】 ，
，
，
，
故选： ．
10．（2019秋•仁寿县期末）如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， 平分 ，
平 分 ， 下 列 结 论 ： ① ； ② ； ③
； ④ ．其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的定义可设 ， ，利用平角等于 得出
， ． 根 据 同 角 的 余 角 相 等 得 出 ， 则
． ．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．
【解析】 平分 ， 平分 ，
可设 ， ，
为直线 上一点，，
，
， ．
，
，
．
平分 ，
．
① ， ，
，
故本选项结论正确；
② ， ，
，
故本选项结论正确；
③ ， ，
，
故本选项结论正确；
④ ，
当 时， ，
但是题目没有 的条件，
故本选项结论错误．
综上所述，正确的有：①②③共3个．
故选： ．
二．填空题（共8小题）
11．（2019秋•雨花区校级期末）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段 搭建最短，理由
是 ．【分析】根据垂线段最短的性质填写即可．
【解析】 ，
由垂线段最短可知 是最短的，
故答案为： ，垂线段最短．
12．（2020秋•仓山区期末）如图，连接直线 外一点 与直线 上 ， ， ， 四点，其中 ，
比较线段 ， ， ， 的长短，这些线段中， 最短的依据是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质即可解答．
【解析】 直线 ，
从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．（2020春•胶州市期中）如图，在直角三角形 中，已知三角形三条边的长度分别为， ，
， ，则点 到线段 所在直线的距离为 4. 8 ．
【分析】根据点到直线的距离、三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】点 到线段 所在直线的距离为 ，
则 ，
因为 ， ， ，
所以 ．
故答案为：4.8．
14．（2021春•商河县校级期末）如图，直线 和 相交于 点， ， ，
则 的度数为 157. 5 度．【分析】先根据 ，得 ，再 ，可求出 ，再根据平角关系，
即可得出 的度数．
【解析】 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：157.5．
15．（2021 春•樟树市期末）如图，直线 ， 相交于 ， 平分 ， 于点 ，
，那么 的度数是 ．
【分析】根据 可得 ，由 可求出 ，由 平
分 得出 ，最后根据平角的定义可求出答案．
【解析】 ，
，
又 ，
，
又 平分 ，
，，
故答案为： ．
16．（2020春•闵行区校级期中）如图： ， ，垂足为 ，则点 到直线 的距离是
线段 的长度．
【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．
【解析】 ，垂足为 ，
点 到直线 的距离是线段 的长度．
故答案为： ．
17．（2020秋•南岗区校级期中）已知， 和 互为邻补角，且 ，射线
平分 ，射线 ，则 或 ．
【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．
【解析】 和 互为邻补角，
，
又 ，
， ，
射线 平分 ，
，
，
，
如图1， ，
如图2， ，
故答案为： 或 ．18．（2021 春•潜山市期末）如图，在 中， ， ，垂足为点 ， ，
， ．下列结论正确的有 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③点 到直线 的距离为线段 的长度；④点 到直线 的距离
为 ．
【分析】①根据垂直的定义即可求解；
②根据余角的性质即可求解；
③根据点到直线的距离的定义即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解析】① ，
，故①正确；
② ， ，
，故②正确；
③点 到直线 的距离为线段 的长度，故③错误；
④点 到直线 的距离为 ，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共6小题）19．（2015秋•北仑区期末）如图，平原上有 ， ， ， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备
投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短并说明根据．
【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接 、 交于 ，则 为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直 的线段．
【解析】（1） 两点之间线段最短，
连接 ， 交于 ，则 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过 作 ，垂足为 ．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 中开渠最短的根据．
20．（2020 春•孟村县期中）如图， 、 、 相交于点 ， 平分 ， ，
（1）线段 的长度表示点 到 的距离；
（2）比较 与 的大小（用“ ”号连接） ，并说明理由： ；
（3）求 的度数．
【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；
（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【解析】（1）线段 的长度表示点 到 的距离；（2）比较 与 的大小为： ，是因为垂线段最短；
（3） ， 平分 ，
，
．
故答案为： ； ；垂线段最短．
21．（2019 秋•武侯区期末）如图，射线 的端点 在直线 上， 于点 ，且 平分
， 平分 ，若 ，分别求 与 的度数．
【分析】直接利用垂线的定义得出 ，再利用角平分线的定义得出 以及 的度数．
【解析】 于点 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
综上， 的度数为 ， 的度数为 ．22．（2019秋•海曙区期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ， 平分 ．
（1）证明： ．
（2）若 ，找出 的补角，并求出 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
（2）根据互补的定义和结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可．
【解答】证明：（1） 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
；
（2） ，
，
平分 ，
，
，
的补角是 、 和 ，
，
．
23．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图方式叠放在一起．（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若 ，则 的度数为 ；
（3）猜想 与 的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺 不动，将三角尺 的 边与 边重合，然后绕点 按顺时针或逆时针方向任意转
动一个角度，当 等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出
角度所有可能的值是 ．（不用说明理由）
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；
（2）利用直角的意义以及角的和差关系得出结论；
（3）由于 ，重叠的度数就是 的度数，所以 ；
（4）分别利用 、 、 、 分别求出即可；
【解析】（1） ，
，
；
故答案为： ．
（2） ， ，
，
，
故答案为： ．
（3） ，
，
．
（4） 时， ，
时， ，
时， ，
时， ，
即 角度所有可能的值为： 、 、 、 ；24．（2019秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1），若 ，则 ；若 ，则 ；（直接写
出结论即可）
（2）如图（2），若 ，则 ；（直接写出结论即可）
（3）猜想 与 的大小关系，并结合图（1）说明理由；
（4）三角尺 不动，将三角尺 的 边与 边重合，然后绕点 按顺时针或逆时针方向任意转
动一个角度，当锐角 等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出 角度所有
可能的值，不用说明理由．
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据 可分别计算出 、
的度数；
（2）根据 计算可得；
（3）由 且 可知两角互补；
（4）分别利用 、 、 、 分别求出即可．
【解析】（1）若 ，
，
，
若 ，
则 ；
故答案为： ； ；
（2）如图2，若 ，
则
；
故答案为： ；（3） 与 互补．
，
．
，
，
即 与 互补．
（4） 时， ，
时， ，
时， ，
时， ，
时， ．
即 角度所有可能的值为： 、 、 、 ．
