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专题 1.3-4 线段的垂直平分线与角平分线
典例体系 （本专题共 6 4 题 4 3 页）
一、知识点
1、垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
3、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；
二、考点点拨与训练
考点1：与线段垂直平分线相关的尺规作图
典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ADC．【答案】（1）见解析；（2）20°
【解析】（1）解：如图所示：D点为所求；
（2）证明：∵∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝60°．
又DB＝DC，∠B＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°．
方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知
识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度
2
数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠B=30°
由作图可知：MN垂直平分线段AB，
可得DA=DB，
则∠DAB=∠B=30°，
故∠DAC=80°-30°=50°，
故选：B．1
2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于
2
AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（
）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
【答案】A
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得
PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：
4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕
迹，求出∠α等于( )A．34° B．44° C．56° D．68°
【答案】C
【解析】如图，由尺规作图的痕迹得：AE是DAC的角平分线，直线l是AC的垂直平分线，
DAC 68，
1
OAE DAC 34,AOE 90，
2
AEO90OAE 56，
由对顶角相等得：AEO56，
故选：C．
1
5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 AB的长为半径画
ABC A B 2
弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，交BC于点 ，连接AD，若ADC 的周长为10，AB7，则
ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，以点A和点B为圆心，大于二分之一AB的长为半径画弧，两弧相交与点M,N，则直线MN为AB的垂直平分线，则DA=DB, ADC的周长由线段AC,AD,DC组成，△ABC的周长
由线段AB,BC,CA组成而DA=DB,因此△ABC的周长为10+7=17.
△
故选C.
6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大
1
△
于 AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则
2
BC长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】B
1
【解析】解：∵顶点A、B为圆心，大于 AB长为半径作圆弧
2
∴MN为AB的垂直平分线
∴AD=BD=5
∵BC=BD+CD
∴BC=AD+CD=5+3=8
故选B．
1
7．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段 的端点 和 为圆心大于 AB的长为半径作弧，连接
AB A B 2
两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得CAB 25，延长AC 至M ，BCM 的度数为
__________．
【答案】50°
【解析】∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故答案为：50°．
1
8．（2020·四川成华初一期末）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，
ABC 2
两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE 3m，ABD的周长为13cm，则
ABC的周长为________.
【答案】19cm
【解析】解：由尺规作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线，
DA DC ，AC 2AE 6，
ABD的周长为13，
AB ADBD ABDCBD ABBC 13，
则ABC的周长 ABBC AC 13619(cm)，
故答案为：19cm．
9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在 ABC的BC边上求作点D，做得△ABD与 △ACD的面积相
等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示：
所以，D点为所求．10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．
（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线
AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；
（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE=PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF=AE，
∴AF=PE.
11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C
为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点
△
D，交BC于点E．（1）根据作法判断直线DE为线段AC的 线；
（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．
【答案】（1）垂直平分；（2）∠BAE=18°
【解析】（1）由作法得ED为线段AC的垂直平分线，
故答案为：垂直平分；
（2）∵ED为线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=36°，
∴∠BAE=90°-∠EAC-∠C =90°-36°-36°=18°．
故答案为：18°．
考点2：线段垂直平分线的性质
典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON
交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
【答案】（1）5；（2）4
【解析】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
方法或规律点拨
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解
题的关键．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D
点，若AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（ ）
A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm
【答案】C
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC=17cm，
∴AD+DC=BD+DC=BC=12cm．
故选：C．
2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC
于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：C．
3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直
平分AB，垂足是D，S ：S ＝_____．
AED ABC
△ △
【答案】1：3
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S ＝S ，
ADE BDE
∵∠△1＝∠2△，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S ＝S ，
BDE BCE
∴S△ ：S△ ＝1：3，
AED ABC
故答△案为：△1：3．
4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，
△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.
【答案】3
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是8cm，
∴BN+NC+BC=8（cm），
∴AN+NC+BC=8（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=8（cm），
又∵AC=5cm，∴BC=8﹣5=3（cm）．
故答案为3．
5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为 AB，AC 中点， 且
DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．
【答案】36
【解析】∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE＋∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC−（∠DAE＋∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点
E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
【答案】（1）20°；（2）22.
【解析】解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,
∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22.
考点3：线段垂直平分线的判定
典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【答案】（1）65°（2）证明见解析
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD= ∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
方法或规律点拨
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关
的性质定理与判定定理是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它
到三个车间的距离相等，则仓库应建在（ ）
A．△ABC三边的中线的交点上 B．△ABC三内角平分线的交点上
C．△ABC三内高线的交点上 D．△ABC三边垂直平分线的交点上【答案】D
【解析】解：在三角形内，要找一点到三角形各顶点距离相等，只能是三边垂直平分线的交点上；
A．中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；
B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
D．△ABC三边垂直平分线的交点上，符合题意．
故选D．
2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直
线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A． 是线段 的垂直平分线 B． 是线段 的垂直平分线
C． 是线段 的垂直平分线 D． 是 的垂直平分线
【答案】A
【解析】
∵ 为线段 的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴ 是线段 的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵ 是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧
1
分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接
2
AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；
②CD是△ADC的高；
③点D在AB的垂直平分线上；
④∠ADC=61°．
其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，
∴CD是△ADC的高，故②正确；
∵∠C=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=58°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=29°，
∴AD≠BD，
∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；
∵∠CAD=29°，∠C=90°，
∴∠CDA=61°，故④正确；
共有3个正确，
故选：C．
4．（2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于
E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；
④BC=3AD，其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵
∴∵BE平分
∴
∴
∴
∴ ，则①正确
∵
∴点E在线段BC的垂直平分线上，则②正确
∵
∴
∵
∴
∴ ，则③正确
∵
∴ ，则④错误
综上，正确的个数为3个
故选：B．
5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；
（3）连接FG，CG．作射线OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°
C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG
【答案】D
【解析】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），
∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；
若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，
∴∠COG＝60°，
∴∠AOB＝ ∠COG＝30°，故B选项正确；
∵OC＝OE，FC＝FG，
∴OF垂直平分CG，故C选项正确；
∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；
故选：D．
6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（ ）
A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
【答案】D
【解析】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系．
故选：D．
7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD
的高。求证：AD垂直平分EF。
【答案】见解析
【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.
8．（2020·全国初二课时练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求
证：AD垂直平分EF.
【答案】见解析
【解析】在Rt AED和Rt AFD中，
△ △
∴Rt AED≌Rt AFD（HL），
∴AE=AF，
△ △
又∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．
9．（2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与
CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】（1）补全图形，如图1所示
（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．
②证明：连接DE，DF．如图3所示
∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝ ∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
考点4：角平分线性质定理及其应用
典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S :S =_________（直接写出答案）
ABD ACD
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若△AB=m△，AC=n，S :S =_________ (用含m,n的代数式
ABD ACD
表示)． △ △
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S =6,求
BDE
△ABC的面积． △
【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9
【解析】
解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴S ：S =（ ×BD×AE）：（ ×CD×AE）=1：1，
ABD ACD
△
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴S ：S =（ ×AB×DE）：（ ×AC×DF）=m：n；
ABD ACD
△
（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S ：S =1：1，
ABD EBD
∵S =6， △ △
BDE
∴S△ =6，
ABD
△∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S ：S =AB：AC=4：2=2：1，
ABD ACD
∴S =3， △ △
ACD
∴S△ =3+6=9，
ABC
故答△案为：9．
方法或规律点拨
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平
分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
△
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】解：在AB上取一点G，使AG＝ AF
∵在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
△
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝FG
∴CE+EF＝CE+EG
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度
CG＝
故选D．2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用
A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
【答案】C
【解析】解：∵OP平分 ， ，
∴ ，选项A正确；
在Rt AOP和Rt BOP中，
△ △
，
∴Rt AOP Rt BOP
∴ △ △ ，OA=OB，选项D正确；
∴PO平分∠APB，选项B正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项C错误．
故选：C．
3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交边 于点 ，若 ， ，则 的面积是 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝ AB×DE＝ ×15×4＝30，
故选：B．4．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之
间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
【答案】D
【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，
∴该超市是△ABC的内心，
∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．
故选：D．
5．（2020·河南省初三二模）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
交边 于点 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由作法得 平分 ，
点到 的距离等于 的长，即 点到 的距离为 ，
所以 的面积 ．
故选：C．
6．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点
D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
7．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，
△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
【答案】B
【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S =S ﹣S =590﹣39=11，
MDG ADG AMG
△ △ △
S =S = S = =5.5
DNM DEF MDG
△ △ △8．（2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：
CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM=DN，
∴S ：S =BD：DC= •AB•DN： •AC•DM=AB：AC=2：3，
ABD ADC
△ △
设△ABC的面积为S．则S = S，S = S，
ADC BEC
△ △
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴ S- S=1，
∴S=10，
故选C．
9．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I
为△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为__________
△
【答案】2
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，BC=8，CA=6，AB=10，∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴IE=IF=ID，
设IE=x，
∵S =S +S +S ，
ABC IAB IAC ICB
△ △ △ △
∴ ×6×8= IF×10+ IE×6+ ID×8，
∴5x+3x+4x=24，
∴x=2，
∴点I到AB的距离等于2．
故答案为：2.
10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到
BC的距离_______．
【答案】4
【解析】如图，过点M作ME⊥AD于E，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴ ，∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图， 的三边 的长分别为
，其三条角平分线交于点 ，则 =______．
【答案】
【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S ：S ：S =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（ AC•OE）
ABO BCO CAO
△ △ △
=AB：BC：AC=40：50：60= ．
故答案为： ．
12．（2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，
BC＝8.若S ＝21，则DE＝________．
ABC
△
【答案】3
【解析】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S =21，AB=6，BC=8，
ABC
△
∴ ×6×DE+ ×8×DF=21，
即7DE=21，∴DE=3.
故答案为：3.
13．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE，
∵ BD=DF，
∴Rt DCF≌Rt DEB（HL），
∴CF=EB；
△ △
（2）由（1）知CF=EB=1，
∴AC=AF+FC=3，
又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3，
∴AB=AE+EB=3+1=4．
14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，点C、D分别在射线 、 上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC
与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．
【解析】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
考点5：角平分线性质定理的逆定理及其应用典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点
E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.
(1)求证：BM=CN；
(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.
【答案】(1)证明见解析；（2）3.
【解析】证明：连接BE，CE，如图，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
在Rt BME和Rt CNE中，
¿
△ △
∴Rt BME≌Rt CNE（HL），
∴BM=CN
△ △
(2)由（1）得：EM=EN，
在Rt AME和Rt ANE中，
¿
△ △
∴Rt AME≌Rt ANE（HL），
∴AM=AN，又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN
△ △
∴AB+BM=AC-CN
∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN
∴BM=CN =3
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用．
巩固练习
1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA
并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知 和 都是等腰三角形， ，
交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S =S ,
BAD CAE
△ △
∴
∵BD=CE∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图， 中， ，点 为 的三条角平
分线的交点， 垂直 ， ， ，点 、 、 分别是垂足，且 ，
， ，则 __________．
【答案】2cm
【解析】解：连接 、 、 ，如图，
点 为 的三条角平分线的交点， 垂直 ， ， ，
，
设 ，则 ，
，，解得 ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且
BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
△
【答案】证明见解析．
【解析】证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt ABE和Rt DBE中
△ △
∵ ，
∴Rt ABE≌Rt DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
△ △
∴点E在∠ABC的角平分线上．
5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且
BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
【答案】详见解析
【解析】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt BCE和Rt DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
△ △
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt FAC和Rt EAC中， ，
∴Rt FAC≌Rt EAC，
△ △
∴AF=AE，
△ △
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
6．（2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，
DE=DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD=∠EAD；
（2）BD=CD．
【答案】（1）证明见解析；证明见解析.
【解析】证明：(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠EAD；
(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，
∴Rt ADF≌Rt ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
△ △
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE，
即∠ADB=∠ADC，
在△ABD≌△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD.
7．（2018·江苏省初二期中）已知：如图 中， ， ，垂足分别为F、E， 交
于点D， ，求证：D点在 的平分线上．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：连接AD，
∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴D点在 的平分线上．
考点6：与角平分线有关的尺规作图
典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知 ，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；第三步：画射线 ．射线 即为所求．
下列正确的是（ ）
A． ， 均无限制 B． ， 的长
C． 有最小限制， 无限制 D． ， 的长
【答案】B
【解析】第一步：以 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
∴ ；
第二步：分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
∴ 的长；
第三步：画射线 ．射线 即为所求．
综上，答案为： ； 的长，
故选：B．
方法或规律点拨
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业， 为 的平分线，这样的作法依据是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接CE、CD，在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：A．
2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于
点 O，且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF 是△ABC 的角平分线 B．点 O 到△ABC 三边的距离相等
C．CG 也是△ABC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO
【答案】D
【解析】A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，正确；
B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，正确；
C、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，正确
D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项D不正确；
故选D．
3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在 中，尺规作图如下：在射线 、 上，分别
截取 、 ，使 ；分别以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
；作射线 ，连结 、 .下列结论不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A【解析】解：根据题意，得：OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△OEC≌△ODC（SSS），
∴ ， ，∴B、C、D三项是正确的，而 不一定成立．
故选 ：A．
4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为_________．
【答案】20°．
【解析】根据画图的方法可知：OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=40°÷2=20°．
故答案是：20°．
5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，
分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交
△
BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．
【答案】3
【解析】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.
故答案为:3.
6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的
方法：
已知：
求作： 的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为 的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可
以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为 的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为 的平分线．
7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径
作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．
请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=65°．
【解析】（1）如图所示，连接MN，NF，
由作图可得，BM=BF，MN=FN，BN=BN，
∴△BMN≌△BFN（SSS），
∴∠ABC=∠DBC，
又∵AB=DB，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（2）∵∠A=100°，∠E=50°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ABC= ∠ABD=15°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°．
8．（2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有 ， ， ， 四点，请按要求完成：（1）尺规作图：连接 ，作射线 ，交 于点 ，作射线 平分 ．须保留作图痕迹，且
用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明．
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】解：（1）作线段 ，作射线 ，
如图，即为所做图形；
（2） ，射线 平分 ，
9．（2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在 中，点 在边 上，且 ．
（1）用尺规作图法，作 的平分线 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接 ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）如图，射线AP为所求作的图形；（2）∵CP是∠ACB的平分线，如图：
∴∠1=∠2，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP ADP（SAS），
∴PD=PB．
△
