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专题 2.17 函数与方程-重难点题型精讲
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f
(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 ( x ,0) ， ( x ,0) ( x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
【题型1 函数零点所在区间的判断】【方法点拨】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.
若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
1
【例1】（2022春•新兴区校级期末）函数f(x)=log x+ 的零点所在区间是（ ）
1 x
2
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解题思路】根据函数零点的判定定理，求解即可．
❑ ❑ 1 1 1
【解答过程】解：f（1）＝log 11+1＝0+1＝1＞0，f（2）＝log 12+ =−1+ =− ＜0，
2 2 2 2 2
1
所以，函数f(x)=log x+
的零点所在区间为（1，2）．
1 x
2
故选：B．
【变式1-1】（2022春•湖南月考）函数f（x）＝2x+3x﹣3的零点所在区间是（ ）
1 1 3 3
A．(0， ) B．( ，1) C．(1， ) D．( ，2)
2 2 2 2
1
【解题思路】由函数解析式可得函数的单调性，再由f( )＜0，f（1）＞0得结论．
2
【解答过程】解：由f（x）＝2x+3x﹣3，可知f（x）是R上的增函数，
1 3 1
∵f( )=√2− ＜0，f(1)=2＞0，∴f（x）的零点在区间( ，1)内．
2 2 2
故选：B．
1
【变式1-2】（2022春•祥符区月考）函数f(x)=log x− 的一个零点所在的区间是（ ）
4 2x
A．（0，1） B．（2，3） C．（2，e） D．（1，2）
【解题思路】首先判断函数为（0，+∞）上的增函数，再结合f（1）＜0，f（2）＞0得结论．
1
【解答过程】解：函数f(x)=log x− 是（0，+∞）上的增函数，
4 2x
1 1 1 1 1 1
又f（1）=log 1− =− ＜0，f（2）=log 2− = − = ＞0，
4 2 2 4 4 2 4 4
1
∴函数f(x)=log x− 的一个零点所在的区间是（1，2），
4 2x故选：D．
1
【变式1-3】（2022春•贵池区校级月考）函数f(x)=( ) x−x−5的零点所在的一个区间是（ ）
3
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【解题思路】直接利用函数零点存在性定理判断即可．
1
【 解 答 过 程 】 解 ： 易 知 函 数 f （ x ） 在 R 上 单 调 递 减 ， 且 f(−2)=( ) −2+2−5=6，
3
1
f(−1)=( ) −1+1−5=−1，则f（﹣2）•f（﹣1）＜0，
3
故由零点存在性定理可知，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在一个零点．
故选：B．
【题型2 函数零点个数的判定】
【方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与
性质确定函数零点个数；
(3)数形结合法，作出两函数图象，观察两函数图象的交点个数，即得函数的零点个数．
{log x，0＜x≤2，
【例2】（2022•泾县校级开学）已知函数 2 则函数g（x）＝2xf（x）﹣1在
f(x)= 1 x
f( )，x＞2，
2 2
（0，32）上的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
1
【解题思路】函数零点个数可转化为函数y＝2f（x）与y= 的图象交点的个数，根据函数解析式作出
x
函数图象，数形结合求解即可．
1
【解答过程】解：由g（x）＝2xf（x）﹣1＝0，可得2f(x)= ，
x
1
故函数g（x）的零点个数即函数y＝2f（x）与y= 的图象交点的个数，
x{log x，0＜x≤2
∵ 2 ，∴可将函数的定义域分段为（1，2]，（2，4]，（4，8]，（8，16]，
f(x)= 1 x
f( )，x＞2
2 2
（16，32），
并且f（x）在（2n﹣1，2n]上的图象是将f（x）在（2n﹣2，2n﹣1]上图象的所有点的横坐标伸长为原来的2
倍，
1 1
纵坐标缩短为原来的 后得到，作出y＝2f（x）与y= 的图象，如图所示，
2 x
由图象可知，共有5个交点，
故函数函数g（x）＝2xf（x）﹣1在（0，32）上零点个数为5个．
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•贵阳期末）借助信息技术画出函数y＝lnx和y＝x|x﹣a|（a为实数）的图象，当a＝
1.5时图象如图所示，则函数y＝x|x﹣1.5|﹣lnx的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解题思路】根据函数与方程的关系进行转化求解即可．
【解答过程】解：由y＝x|x﹣1.5|﹣lnx＝0，得x|x﹣1.5|＝lnx，由图象知y＝lnx和y＝x|x﹣1.5|两个图象的交点有2个，故函数y＝x|x﹣1.5|﹣lnx的零点个数为2个，
故选：B．
{3−x2−2x，x≤1，
【变式2-2】（2022春•昌图县校级期末）已知函数 则函数y＝f（f（x））﹣
f(x)= 4
x+ −2，x＞1，
x
3的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】数形结合，把零点问题转化为对应方程的根或函数图象的交点即可求解．
【解答过程】解：作出f（x）的图象，如图所示：
则f（x）的值域为R，求y＝f（f（x））﹣3的零点，即求f（f（x））﹣3＝0，即f（f（x））＝3，对应
方程的根，
设m＝f（x），则m R，则f（f（x））＝3等价于f（m）＝3，
如图所示： ∈
f（m）＝3有3个交点，则m有三个解，
当m≤1时，有3﹣m2﹣2m＝3，解得m＝0或m＝﹣2，4
当m＞1时，有m+ −2＝3，解得m＝4或m＝1（舍），
m
故m的值分别为﹣2，0，4，则m＝f（x）对应解如下图：
m＝f（x）对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：y＝f（f（x））﹣3的零点个数为5个．
故选：D．
【变式2-3】（2022春•湖北月考）设函数f（x） {x2+bx+c，x≤0，若f（﹣2）＝f（0），f（﹣3）＝
=
2，x＞0
1，则函数y＝f（x）﹣x的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据条件先求得每段函数的零点，其中当x≤o时，由f（﹣2）＝f（0）得f（x）的对称轴
x＝﹣1，再解之．
{ b
− =−1
【解答过程】解：当x≤0时，f（x）＝x2+bx+c，f（﹣2）＝f（0），f（﹣3）＝1，∴ 2 ，
9−3b+c=1
∴b＝2，c＝﹣2，
f（x）＝x2+2x﹣2，令f（x）﹣x＝0，即x2+x﹣2＝0，解得，x＝﹣2或x＝1（舍去），
当x＞0时，2﹣x＝0，得x＝2，
综上，函数y＝f（x）﹣x的零点为﹣2和2，
故选：B．
【题型3 根据零点的个数（或范围）求参数】
【方法点拨】
根据函数零点的情况求参数的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建方程（不等式），再通过解方程（不等式）求参数．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的最值或值域问题，加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例3】（2022•河南模拟）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣k在区间（0，3）存在零点，则k的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．[﹣4，+∞） C．（﹣4，0] D．[﹣4，0）
【解题思路】把问题转化为y＝k与g（x）＝x3﹣3x2在区间（0，3）存在交点，研究g（x）＝x3﹣3x2在
（0，3）上的值域即可求解结论．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2﹣k在区间（0，3）存在零点，
即y＝k与g（x）＝x3﹣3x2在区间（0，3）存在交点，
∵g′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
∴0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增，
又g（0）＝0，g（2）＝﹣4，g（3）＝0，
∴﹣4≤k＜0，
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•和平区期末）已知函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）有零点，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，1） D．[1，2）
【解题思路】问题转化为a|x|＝1﹣m有根，求出a|x|的范围，即可求得实数m的取值范围．
【解答过程】解：函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）有零点，即方程a|x|+m﹣1＝0有根，
也就是a|x|＝1﹣m有根，
∵|x|≥0，0＜a≤1，∴a|x| （0，1]．
则1﹣m （0，1]，可得0∈≤m＜1．
即实数m∈的取值范围是[0，1）．
故选：C．
【变式3-2】（2022春•成都期末）已知函数 {x2+4x+a，x＜1，若函数y＝f（x）﹣2只有两个
f(x)=
lnx+1，x≥1
零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣3，4） C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣3]∪{6}【解题思路】判断函数零点的位置与个数，然后转化求解a的范围即可．
【解答过程】解：函数 {x2+4x+a，x＜1，函数y＝f（x）﹣2只有两个零点，
f(x)=
lnx+1，x≥1
当x≥1时，方程f（x）＝2，可得lnx+1＝2，解得x＝e，函数有一个零点．
当x＜1时，函数有一个零点，即a＝﹣x2﹣4x+2，x＜1，有一个解．
设 （x＜1），g （x）＝a，则g （x）与g （x）的图象有且仅有一个交点．
g (x)=−x2−4x+2 2 1 2
1
故a≤﹣3或a＝6．
故选：D．
1
【变式3-3】（2021秋•光明区期末）已知函数f(x)=log x−4x−1 (a＞0且a≠1）在(0， ]上无零点，
a 2
1
在( ，1)上有零点，则实数a的取值范围为（ ）
2
1 1
A．(0， ) B．( ，1)∪(1，+∞)
4 4
1 1
C．(0， ] D．( ，1)
4 4
1 1
【解题思路】将问题转化成研究方程log x=4x−1在(0， ]上无实数根，在( ，1)上有实数根，即考
a 2 2
查函数 的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案．
g(x)=log x，ℎ(x)=4x−1
a
1 1
【解答过程】解：函数f（x）在(0， ]上无零点，在( ，1)上有零点，
2 2
1 1
即方程f（x）＝0在(0， ]上无实数根，在( ，1)上有实数根，
2 2
1 1
即log x=4x−1在 (0， ]上无实数根，在( ，1)上有实数根，
a 2 2
设 ，
g(x)=log x，ℎ(x)=4x−1
a
1 1 1
函数h（x）在R上单调递增，且 ℎ(0)= ，ℎ( )= ，ℎ(1)=1，
4 2 2
h（x）＝4x﹣1＞0恒成立，
若a＞1，则在x （0，1）时，g（x）＝log x＜0，故不满足条件．
a
∈1 1
由于g（x）与 h（x）的图象在(0， ]上无交点，在( ，1)上有交点，
2 2
{ 0＜a＜1
根据函数的图象可知 1 1 ，
g( )＞ℎ( )
2 2
1
解得 ＜a＜1，
4
故选：D．
【题型4 求函数所有零点的和】
3π 7π
【例4】（2022•克拉玛依三模）函数f（x）＝1﹣（x﹣ ）sinx在区间[− ， ]上的所有零点之和为
2 2
π
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
π π 1 π
【解题思路】易知y＝sinx关于点（ ，0）对称，y= 也关于点（ ，0）对称，作出y＝sinx与
x−π
π π
1 3π 7π
y= 的图象，观察在区间[− ， ]上的交点个数，根据对称性即可得解．
x−π 2 2
1
【解答过程】解：令f（x）＝0，则sinx= ，
x−π
1
又y＝sinx关于点（ ，0）对称，y= 也关于点（ ，0）对称，作出两函数的图象如下图所示，
x−π
π π1 3π 7π
由图象可知，y＝sinx与y= 在区间[− ， ]上共有四个交点，且关于点（ ，0）对称，每对
x−π 2 2
π
的横坐标之和为2 ，
π 3π 7π
∴函数f（x）在区间[− ， ]上的所有零点之和为2×2 ＝4 ．
2 2
π π
故选：C．
【变式4-1】（2022•萍乡二模）已知函数 {(x−1) 2，x≥0 ，则y＝f（x） 1的所有零点之和为（
f(x)= −
|x+1|，x＜0 2
）
√2+1 1−√2
A． B． C．2 D．0
2 2
【解题思路】根据零点定义求出零点后可得．
1 √2 1 1
【解答过程】解：当x≥0时，由（x﹣1）2− =0，得x＝1± ，当x＜0时，由|x+1|− =0，得x=−
2 2 2 2
3
或x=− ，
2
√2 √2 1 3
所以四个零点和为1+ +1− − − =0．
2 2 2 2
故选：D．
【变式 4-2】（2022•怀仁市校级二模）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）
{2|x−1|−1，0＜x≤2
，若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a R）恰有4个不相等的
= 1
f(x−2)，x＞2
2 ∈
实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣4或8【解题思路】设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a R）的方程等价于t2﹣（a+1）
∈
1 1
t+a＝0，解得t＝a或t＝1，结合图象，分两种情况：（1）t＝a= ，（2）t＝a=− ，讨论f（x）＝a的
2 2
实数根的和，即可得到结论．
【解答过程】解：当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程，
1 1
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）= f（x﹣2）= （2|x﹣3|﹣1），
2 2
1 1
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）= f（x﹣2）= （2|x﹣5|﹣1），
2 2
作出函数x≥0的图象，如图所示：
设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，
解得t＝a或t＝1， ∈
当t＝1时，即f（x）＝1对应一个交点为x ＝2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
1
1 1
（1）t＝a= ，即f（x）= 对应3个交点，且x +x ＝2，x ＝4，
2 3 4
2 2
此时4个实数根的和为8，
1 1
（2）t＝a=− ，即f（x）=− 对应3个交点，且x +x ＝﹣2，x ＝﹣4，
2 3 4
2 2
此时4个实数根的和为﹣4，
故选：D．
【变式4-3】（2021春•泸县月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x），当x （0，
1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则函数g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）在区间[﹣1，3]内的所有零点之∈和为（
）A．3 B．5 C．4 D．6
【解题思路】求出函数f（x）的解析式及函数的周期，利用数形结合判断函数的图象的交点个数，即可
求出所有零点之和．
【解答过程】解：∵f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0
当x （0，1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，
可得∈x [﹣1，0）时，﹣x （0，1]，
f（﹣x∈）＝1﹣|﹣2x﹣1|＝∈1﹣|2x+1|＝﹣f（x），
可得f（x）＝﹣1+|2x+1|，
∵g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）＝0，
分别画出y＝f（x）与y＝sin（x﹣1）在[﹣1，3]上的图象，
5 5 3 π
当x= 时，y＝f（x）＝1，g（ ）＝sin（ ）＜sin（ ）＝1，
2 2 2 2
1 3 π
当x=− 时，y＝f（x）＝1，g（﹣1）＝sin（− ）＞sin（− ）＝﹣1，
2 2 2
∴结合图象可知，函数的交点有5个，
设这5个零点分别为x ＜x ＜x ＜x ＜x ，
1 2 3 4 5
其中x ＝1，x +x ＝﹣1，x +x ＝5
3 1 2 3 4
故零点之和为﹣1+1+5＝5，
故选：B．
