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专题 2.2 一元二次方程与三角形边长问题
【例题精讲】
【例1】已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
【解答】（1）证明：△ ，
，即△ ，
无论 取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解： 等腰三角形一腰长为5，
另外一边长度为5，
方程 一个根为5，
，
解得 ，
方程为 ，
，
解得 ， ，
故 的周长 ．
【题组训练】
1．等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的
值为A．5 B．9 C．8或9 D．5或9
【解答】解：当5为腰长时，将 代入 ，得： ，
解得： ，
当 时，原方程为 ，
解得： ， ，
，
符合题意；
当5为底边长时，关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得： ，
当 时，原方程为 ，
解得： ，
，
符合题意．
的值为5或9．
故选： ．
2．已知 ， ，4是等腰三角形的三边长，且 ， 是关于 的方程 的两
个实数根，则 的值是
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：①当腰长为4时，把 代入原方程得 ，
，
原方程变为： ，
解得 ， ，能构成三角形；
②当底边为4时，那么 的方程 的两根是相等的，
△ ，
，
方程变为 ，
方程的两根相等为 ，
能构成三角形；
综上， 的值是2或3，
故选： ．
3．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则
的值为
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
【解答】解：当3为腰长时，将 代入 ，得： ，
解得： ，
当 时，原方程为 ，
解得： ， ，
，
不符合题意；
当3为底边长时，关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得： ，当 时，原方程为 ，
解得： ，
，
符合题意．
的值为25．
故选 ．
4．等腰三角形三边长分别为 、 、2，且 、 是关于 的一元二次方程
的两根，则 的值为
A．15 B．24 C．15或24 D．22或24
【解答】解：当2为底边长时，则 ， ，
．
，5，2能围成三角形，
，
解得： ；
当2为腰长时， 、 中有一个为2，则另一个为8，
，2，2不能围成三角形，
此种情况不存在．
故选： ．
5．已知 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一元
二次方程 的两个根，则 的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
【解答】解： 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
当 或 时，即 ，
方程为 ，
解得： ，
当 时，即△ ，
解得： ，综上所述， 的值等于6或7，
故选： ．
6．等腰三角形的一边长是4，方程 的两个根是三角形的两边长，则 为
A．7 B．8 C．4 D．7或8
【解答】解： 一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程 的两个根，
①当腰长为4时，把 代入原方程得
，
，
原方程变为： ，
设方程的另一个根为 ，
则 ，
，
能构成三角形；
②当底边为4时，那么 的方程 的两根是相等的，
△ ，
，
方程变为 ，
方程的两根相等为 ，
能构成三角形．
综上， 的值是7或8，
故选： ．
7．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于 的方程 的两个实数根，
则该等腰三角形的周长是A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25
【解答】解：设底边为 ，
分为两种情况：①当腰长是4时，则 ，
解得： ，
即此时底边为6，
②底边为4， ，
解得 ，
所以该等腰三角形的周长是14．
故选： ．
8．等腰三角形边长分别为 ， ，2，且 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的值为
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
【解答】解： 三角形是等腰三角形，
① ，或 ；② 两种情况，
①当 ，或 时，
， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，
把 代入 得， ，
解得： ，
当 ，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故 不合题意，
②当 时，方程 有两个相等的实数根，
△
解得： ．
故选： ．
9．已知等腰三角形 的边长分别是 ， ，4，且 ， 是关于 的方程的两根，则 的值为
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【解答】解：①当 时，
， 是关于 的方程 的两根，
△ ，
解得， ，
关于 的方程为 ，
解得： ，
，
， ，4为边能组成三角形；
② 或 时，
是关于 的方程 的根，
，
解得： ，
关于 的方程为 ，
解得： ， ，
，
， ，4为边能组成三角形；
综上所述： 的值为7或8．
故选： ．
10．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程 的两个
根，则 的值为
A．10 B． C．10或 D．
【解答】解：当5为腰长时，将 代入原方程得 ，解得： ，
原方程为 ，
， ，
长度为2，5，5的三条边能围成三角形，
符合题意；
当5为底边长时，△ ，
解得： ，
原方程为 ，
，
长度为 ， ，5的三条边能围成三角形，
符合题意；
综上， 的值为10或 ，
故选： ．
11．已知 、 、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一
元二次方程 的两个根，则 的值等于
A．1 B． C．1或2 D．1或
【解答】解：①当 、 为腰时， ，
、 是关于 的一元二次方程 的两个根，
方程有两个相等的实数根，
△ ，
解得： ；
②当 和3（或 和 是腰时， ，三角形不是等边三角形，
此时方程有两个不相等的实数根，
、 是关于 的一元二次方程 的两个根，
把 代入方程得 ，
解得： ；
所以 或2，
故选： ．
12．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长．
①如果 是方程的根，则 是等腰三角形；
②如果方程有两个相等的实数根，则 是等边三角形；
③如果 是等边三角形，则这个一元二次方程的根为 和2．
其中正确的是
A．① B．①③ C．①② D．②③
【解答】解：① 是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形．
② 是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
③ 是等边三角形，可整理为： ，
，
解得： ， ．
故其中正确的是①．
故选： ．
13．若等腰三角形三边的长分别是 ， ，3，且 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则满足上述条件的 的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【解答】解：当 时，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
△ ，
，
将 代入原方程得 ，
解得： ，
， ，
，2，3能组成三角形，
符合题意；
当 时， 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，
，
，
将 代入原方程得 ，
解得： ， ，
， ，
，3，3能组成三角形，
符合题意．综上， 的值为4或3，
即满足上述条件的 的值有2个．
故选： ．
14．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若 为等腰三角形， ，另外两条边长是该方程的根，求 的周长．
【解答】解：（1） △ ，
方程有两个不相等的实数根；
（2） ，
， ，
当 时，解得 ，此时等腰三角形三边分别为 5，5，3， 的周长为
；
当 时，解得 ，此时等腰三角形三边分别为 5，5，7， 的周长为
；
综上所述， 的周长为13或17．
15．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边 为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求 的值．
【解答】（1）证明： △ ，
无论 取何值，该方程总有实数根；
（2）解：解方程 得 ， ，
当 时， ，因为 ，不符合三角形三边的关系，舍去；
当 时，即 ，三角形的三边为2、2、1，
综上所述， 的值为3．
16．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【解答】（1）证明： △ ，
无论 取何值，方程总有实数根；
（2）解： 等腰三角形的底边长3，
另两边长即为等腰三角形的腰长，
另两边长恰好是这个方程的两根，
该方程有两个相等的实数根，
△ ，
解得 ，
将 代入方程，得 ，
解得： ．
此时 三边为3，2，2；
所以周长为 ．
17．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求 的值．
【解答】（1）证明：△ ．
，即△ ，
无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把 代入 ，
得， ，解得 ；
当底为4时，
则程 有两相等的实数根，
△ ，，
，
综上所述， 的值为4或3．
18 ． 在 等 腰 中 ， 三 边 分 别 是 、 、 ， 其 中 ， 若 关 于 的 方 程
有两个相等的实数根，求三角形的周长．
【解答】解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，即 ；
解得 ， （舍去）；
①当 为底， 为腰时，则 ，构不成三角形，此种情况不成立；
②当 为底， 为腰时，则 ，能够构成三角形；
此时 的周长为： ．
答：三角形的周长是12．
19．关于 的方程
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求 的值；
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．
【解答】（1）证明： △ ，
在实数范围内， 无论取何值， ，即△ ，
关于 的方程 恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
，
解得 ；
（3）解：方程的另一根为： ；由勾股定理得斜边的长度为： ；
该直角三角形的周长为 ．
20．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 为任何数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出 的值和方程的另一个根，并求出以此两根为边长的
直角三角形的周长．
【解答】（1）证明： 方程 ，
△ ，
方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：把 代入方程可得 ，解得 ，
方程为 ，解得 或 ，
方程的另一根为 ，
当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边 ，此时直角三角
形的周长 ，
当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边 ，此时直角三角形的周长
，
综上可知直角三角形的周长为 或 ．
21．关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形 中， ，斜边 ，两直角边的长 ， 恰好是方程的两根，求 的值．
【解答】（1）证明： ， ， ，
△
，
则无论 为何值，方程总有两个实数根；
（2）解： 两直角边的长 ， 恰好是方程 的两根，
， ，
，
根据勾股定理得： ，即 ，
，即 ，
解得： （舍去）或 ，
则 的值为6．
22．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若此方程的一个根是 ，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为 ， ，且2， ， 分别是一个直角三角形的三边长，
求 的值．
【解答】（1）解：设方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系得 ， ，
，
解得 ，
即方程的另一个根为5；
（2）证明： △，
这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）解方程 得 ， ，
即 ， 或 ， ，
， ， 分别是一个直角三角形的三边长，
或 ，
解方程 得 ， （舍去），
解方程 得 ， （舍去）．
即 的值为 或 ．
23．已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）当 时，求方程的根；
（2）若 ，求 的值；
（3）若等腰 的腰长为9， 、 恰好是 另外两边的长，求这个等腰三角形的
周长．
【解答】解：（1）把 代入得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ；
（2） 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
△ ，即 ， ， ，
已知等式整理得： ，代入得： ，即 ，
分解得： ，
解得： 或 （舍去），
则 的值为6；
（3）根据题意得：9为方程的解，
把 代入方程得： ，即 ，
分解因式得： ，
解得： 或 ，
当 时，方程为 ，此时解为 或 ，
三角形三边为9，9，1，周长为 ；
当 时，方程为 ，此时解为 或 ，
三角形三边长为9，9，25， ，不能构成三角形，舍去，
综上所示，这个等腰三角形的周长为19．
24．已知 与 互为相反数，且 ， 为一元二次方程 的两
个实数根．
（1）求 、 的值；
（2）试判断以 、 、 为三边的三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1） 与 互为相反数，
，
， ，
， 为一元二次方程 的两个实数根，
，；
（2）由（1）可知一元二次方程为 ，
△ ，
，
，
以 、 、 为三边的三角形是等腰直角三角形．
25．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 是这个方程的一个根，求 的值和它的另一根；
（2）求证：无论 取任何实数，方程总有实数根；
（3）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求 的值．
【解答】（1）解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
方程的另一根为 ．
的值为1，方程的另一根为3．
（2）证明：△ ．
，即△ ，
无论 取任何实数，方程总有实数根；
（3）解：当腰为4时，把 代入 得， ，
解得 ；
当底为4时，则程 有两相等的实数根，
△ ，
，
，
综上， 的值为4或3．26．设 、 、 是 的三条边，关于 的方程 有两个相等的实
数根，方程 的根为0．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）若 ， 为方程 的两根，求 的值．
【解答】（1）证明：方程 有两个相等的实根，
△ ，即△ ，
解得 ，方程 的根为0，则 ， ，
， ，
，故 为等边三角形；
（2） ， 是方程 的两个根，
方程 有两个相等的实数根
△ ，
即 ，
， ．
当 时，原方程的解为 （不符合题意，舍去），
．
27．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若 、 是方程的两根，其和为正，且 ，求 的值；
（3）若等腰三角形的一边长为7，方程的两根 、 恰好是该三角形的另两条边长，求这
个三角形的周长．【解答】（1）证明：△
，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解： 、 是方程的两根，
， ，
，
，
，
，
解得 或 ，
，
，
，
；
（3）由题意， ，
只能取 或 ，即7是方程的一个根，
将 代入得： ，
解得： 或 ，
当 时，方程的另一个根为5，此时三角形三边分别为7、7、5，周长为19；
当 时，方程的另一个根为9，此时三角形三边分别为7、7、9，周长为23；
故三角形的周长为19或23．
28．已知一元二次方程 ．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为4，当
是等腰三角形时，求 的值．
【解答】（1）证明： △ ，
无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： △ ，
，
、 中有一个数为4．
当 时，原方程为： ，
即 ，解得： ， ．
当 时，原方程为 ，
， ．
、4、4能围成等腰三角形，
符合题意；
当 时，原方程为 ，解得： ， ．
、5、5能围成等腰三角形，
符合题意．
综上所述： 的值为3或4．
29．已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 的
两个根，第三边 的长是10．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当 为何值时； 为等腰三角形？并求 的周长．
（3）当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
【解答】（1）证明： △ ，
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由（1）得，无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
第三边 的长是10，
当 为等腰三角形时， 为一元二次方程的一个根，
当 时， ，
解得 或10，
①当 时，方程变为 ，
设等腰三角形的底为 ，
根据根与系数的关系， ，
，
的周长为： ；
②当 时，方程变为 ，
设等腰三角形的底为 ，
根据根与系数的关系， ，
解得 ，
的周长为 ；
综上，当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为32；
当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为28；
（3）解： ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，
， ，
是以 为斜边的直角三角形，且 ，
，
即 ，
解得 或 ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不合题意，综上， 时， 是以 为斜边的直角三角形．
