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专题 2.2 一元二次方程的应用
目录
增长率问题.........................................................................................................................................1
比赛循环问题.....................................................................................................................................2
病毒传播问题.....................................................................................................................................4
图形面积问题.....................................................................................................................................5
销售问题...........................................................................................................................................10
增长率问题
设 为起始量, 为终止量, 为增长(降低)的次数,平均增长率公式为
为平均增长率),平均降低率公式为 为平均降低率)
【例1】某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100元降为81元．已知两次降价的百分率都
为 ，那么 满足的方程是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得： ．
故选： ．
【变式训练1】某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平
均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为 ，由题意可列得方程是
A． B． C． D．
【解答】解：设该企业这两年的年平均增长率均为 ，
由题意得，2020年的产值为 ，
2021年的产值为： ．
故选： ．【变式训练2】某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8
万元，求该农场这两年产值的年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为 ，
根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得：
则2019的产值为：80万元
2021的产值为： 万元．
那么可得方程： ．
故选： ．
【变式训练3】某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份
每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的
增长率是多少？设平均每月增长的百分率为 ，根据题意得方程
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意，得： ．
故选： ．
比赛循环问题
循环比赛(握手)问题:
表示队（人）数,
表示总场（次）数
【例2】距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【解答】解：设该小组共有 人，则每人需写 份拼搏进取的留言，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
该小组共有6人．
故选： ．
【变式训练1】毕业前夕，九年级 班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作
为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【解答】解：设这个班级共有学生 人，则每个学生需赠出 件礼物，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
这个班级共有学生45人．
故选： ．
【变式训练2】在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了 55次
手，则参加会议的人数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：设到会 人，根据题意得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），答：这次参加会议到会的人数是11人，
故选： ．
【变式训练3】某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举
行了21场比赛，那么共有 支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14
【解答】解：设共有 支球队参加了比赛，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
共有7支球队参加了比赛．
故选： ．
病毒传播问题
病毒传播问题:
表示传染之前的人数, 表示每轮没人传染的人数, 表示传的天数或轮数, 表示
最终的总人数
【例3】一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人
传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选： ．【变式训练1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数
目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种
植物每个支干长出的小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
这种植物每个支干长出的小分支个数是
故选： ．
【变式训练2】一种病毒每轮传播的人数为 ．若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮
传播共感染了144人，则 为
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：根据题意得：
，
解得 ， （舍去），
故选： ．
【变式训练3】2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？
A．8 B．10 C．7 D．9
【解答】解：设共有 支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得 或 （舍 ，共有10支队伍参加比赛．
故选： ．
图形面积问题
不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据体积面积
公式列出一元二次方程．
【例4】如图，把一块长为 ，宽为 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正
方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 ，设剪去的小正
方形的边长为 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为 ，则纸盒的底面为长 ，宽为
的长方形，
依题意，得： ．
故选： ．
【变式训练1】如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，
作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为 米，可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解： 小道的宽为 米，
种植菜园的部分可合成长为 米，宽为 米的长方形．
依题意得： ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影
部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540平方米，设道路的宽 米，则可列方
程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设道路的宽 米，则余下部分可合成长为 ，宽为 的矩形，
依题意得： ．故选： ．
【变式训练3】春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长
，宽 的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区
域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的 ，求小路的宽，设小路的宽为 ，
则可列方程
A． B．
C． D．
【解答】解：设小路的宽为 米，则绿化区域的长为 米，宽为 米，
故选： ．
【例5】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱
笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少
米？
【解答】解：设垂直于墙的边长为 米，则平行于墙的边长为 米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
．答：矩形花圃的长为10米，宽为5米．
【变式训练1】如图，利用一面墙（墙 最长可利用 ，围成一个矩形花园 ，
与墙平行的一边 上要预留 宽的入口（如图中 所示，不用砌墙），现有砌 长
的墙的材料．
（1）当矩形的长 为多少米时，矩形花园的面积为 ；
（2）能否围成面积为 的矩形花园，为什么？
【解答】解：（1）设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 墙 最长可利用 ，
．
答：当矩形的长 为 时，矩形花园的面积为 ．
（2）不能围成面积为 的矩形花园，理由如下：
设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．又 墙 最长可利用 ，
， 均不符合题意，舍去，
不能围成面积为 的矩形花园．
【变式训练2】如图，有一道长为 的墙，计划用总长为 的栅栏，靠墙围成由三个
小长方形组成的矩形花圃 ．若花圃 的面积为 ，求 的长．
【解答】解：设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答： 的长为 ．
【变式训练3】某农户要利用一面 长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边
用木栅栏围成，木栅栏长 ．
（1）鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到 吗？为什么？【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是 ，则与墙垂直的边的长是 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
，
鸡场的面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是 ．
（2）鸡场的面积不能达到 ，理由如下：
设与墙平行的边的长是 ，则与墙垂直的边的长是 ，
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
该方程没有实数根，
即鸡场的面积不能达到 ．
销售问题
【例6】某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游
客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价
格提高 元，则可列方程为
A．
B．
C．D．
【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
【变式训练1】某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价 20元销售，则每周可售出
100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品
每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为 元，则根据题意所列方程正确
的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
【变式训练2】某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可
售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可
增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降
低 元，可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设售价每千克降低 元，
由题意得： ，
故选： ．
【例7】某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，
每天可以销售48件，现进行降价处理．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次
下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利
510元，则每件商品应降价多少元？
【解答】解：（1）设这两次中平均每次下降的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这两次中平均每次下降的百分率为 ．
（2）设每件商品应降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天的销售量为
件，
依题意得： ，
解得： ，
解得： ， ．
答：每件商品应降价2.5元或1.5元．
【变式训练1】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩
大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价 1元，那么平均每天可多售出
2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【解答】解：（1）设每件服装降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天
的销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，解得： ， ．
又 需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天的销售量为
件，
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【变式训练2】某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平
均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降
价 元．
（1）用含 的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 ；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【解答】解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
每件衬衫降价 元，每月可售出衬衫件数为 件．
故答案为： 件；
（2）每件衬衫降价 元，由题意得，
解得 ，
要尽快减少库存答：每件衬衫应降价25元
【变式训练3】2022年2月4日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥
会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物 冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满
足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘70名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分
为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据
市场行情，普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，为保证全部售出，每生
产1件升级款就将升级款的售价降低5元（每件利润不低于150元），设每天生产升级款
件．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩
升级款冰墩墩
（2）当 取多少时，工厂每日的利润可达到17200元？
【解答】解：（1） 普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，且每天生产升
级款 件，
安排 人生产升级款冰墩墩，安排 人生产普通款冰墩墩，
每天生产 件普通款冰墩墩．
又 普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，
填表如下：
产品种类
每天工人数（人 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩 140
升级款冰墩墩 350
故答案为： ； ；140；350；
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．当 时， ，符合题意．
答：当 取30时，工厂每日的利润可达到17200元．
【变式训练4】位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝
殿（又称
无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来
参观．据统计，
假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5元，当售价为
10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场
调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利
2800元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （舍去）．
答：平均增长率为 ；
（2）设售价应降低 元，
则每天的销量为 个．
根据题意可得 ，
解得 ， （舍去）．
答：售价应降低 元．
【变式训练5】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元
时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大
销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装
降价 元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含 的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【解答】解：（1）设每件童装降价 元时，每天可销售 件，每件盈利 元，
故答案为： ， ；
（2）根据题意，得： ．
解得： ， ，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
，
化简，得 ，
△ ．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．
1．“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住
“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为
，其中2021年的年增长率为 ，若设2020年的年增长率为 ，则可列方程为A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可得： ．
故选： ．
2．受益于电商普及和交通运输的快速发展，快递业务量持续增长．我市 2019年的快递业
务量为1.1亿件，2021年，我市快递业务量增加到1.4亿件，设快递业务量的年平均增长率
为 ，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意得： ．
故选： ．
3．某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导
下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长 ，且5，6月
份的760分以上的人数按相同的百分率 继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数
A． 人 B． 人
C． 人 D． 人
【解答】解：根据题意知，6月份该校760分以上的学生人数 人．
故选： ．
4．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 米，竖着比城门
高 米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长 米，则根据题意，可列方程
A． B．
C． D．
【解答】解：设竹竿的长为 米．
由题意得 ．
故选： ．
5．某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．
若蔬菜产量的年平均增长率为 ，则下面所列的方程正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为 ，则可列方程为 ，
故选： ．
6．疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用 在线上购物，某购物 今年二月
份用户比一月份增加了 ，三月份用户比二月份增加了 ，求二、三两个月用户的平
均每月增长率．设二、三两个月平均增长率为 ，下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设二、三月份平均每月的增长率为 ，
依题意，得： ．故选： ．
7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，则平均每次降价的
百分率为
A． B． C． D．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故选： ．
8．某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是 ，则二、
三季度的总产量为 万吨
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，得第二季度的总产量为 万吨，
第三季度的总产量为 万吨，
第二、三季度的总产量为 万吨，
故选： ．
9．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平
均增长率为 ，则根据题意列出方程是 ．
【解答】解：设二、三月份的平均增长率为 ，则二月份的生产量为 ，三月份
的生产量为 ，
根据题意，得 ．故答案为： ．
10．随着退耕还林政策的进一步落实，三岗村从2017年底到2019年底林地面积变化如图
所示，则2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为 ．
【解答】解：设2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为 ，
由题意得： ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
即：2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为 ．
故答案是： ．
11．有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染
了 人，则可列方程为 ．
【解答】解：依题意得 ，即 ．
故答案是： ．
12．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积
的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1
时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
【解答】解：设“加倍”矩形的长为 ，则宽为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符不符合题意，舍去．
“加倍矩形”的对角线长为 ．
故答案为： ．
13．根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一般形式．
（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增
长率都相同，求每月印刷的增长率 ；
（2）一个微信群里共有 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产
生132条消息．
【解答】解：（1）设每月印刷的增长率都为 ，
根据题意得： ．
化为一般形式为 ；
（2）设有 个好友，依题意得
，
化为一般形式为 ．
14．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件 750元，经市场调查发现，按每件1100
元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专
卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小 明 ： 设 每 件 皮 衣 降 价 元 ， 由 题 意 ， 可 列 方 程 ：
．
小红：设每件皮衣定价为 元，由题意，可列方程： ．
（2）请写出一种完整的解答过程．
【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价 元，则平均每天的销售量为 件，
依题意，得： ；小红：设每件皮衣定价为 元，则平均每天的销售量为 件，
依题意，得： ．
故答案为： ； ．
（2）选择小明的设法，则 ，
整理，得： ，
解得： ， ，
或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则 ，
整理，得： ，
解得： ， ．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
15．学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足
够长）．
（1）如果 边长为 米，求 边长（用含 的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求 的长．
【解答】解：（1）设 边长为 米，则 米，
所以 米；
（2）根据题意得： ，解得： 或 ，
答： 的长为2米或5米．
