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专题 09 用配方法求解一元二次方程(基础题型)
1．把一元二次方程 配成 的形式，则 、 的值是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
按照配方法把 配成 的形式即可解答．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形
式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项
系数一半的平方．
2．方程 经过变形后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
用配方法把一元二次方程配成完全平方即可．【详解】
解： ，
移项，两边同时加4得，
配方得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了配方法，解题关键是熟练掌握配方法的步骤和方法，准确进行计算．
3．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案．
【详解】
，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．用配方法解方程 ，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．
【详解】
解：∴
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，即（x-2）2=5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题
的关键．
5．若用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式
即可．
【详解】
解：x2－4x=5，
x2－4x+4=9，
（x－2）2=9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．方程 的解为（ ）
A． B． ， C． D．
【答案】B
【分析】
将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【详解】
解：x2-4=0，
变形得：x2=4，
开方得：x =-2，x =2，
1 2
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等
号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
7．方程 的解是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，可得 再利用直接开平方法解方程可得答案．
【详解】
解： ，
故选：
【点睛】
本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的
关键．
8．方程 的根为（ ）
A．0或 B． C．0 D．1或
【答案】A
【分析】
首先两边直接开平方得：x+1=±1，然后再解一元一次方程即可．【详解】
解：（x+1）2=1，
两边直接开平方得：x+1=±1，
故x =0，x =-2，
1 2
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移
到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求
解．
9．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x＋10）2＝9 B．（x＋10）2＝16 C．（x＋5）2＝9 D．（x＋5）2＝16
【答案】D
【分析】
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上25，然后把方程左边写成完全平方的形式即
可．
【详解】
解：∵x2+10x+9=0，
∴x2+10x=-9，
∴x2+10x+25=16，
∴（x+5）2=16．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
10．一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接
开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题
的关键．
11．把 的左边配方后，方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先把常数项1移项后，再在左右两边同时加上一次项系数- 的一半的平方，继而可求得
答案.
【详解】
，
，
，
故选：C.
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一
次项系数一半的平方.
12．一元二次方程x2-2=0的根为（ ）
A． B．- C． D．
【答案】C
【分析】
由 可得 再利用直接开平方法解方程即可得到答案．
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．
13．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上9，左边化为完全平方式，右
边合并即可得到结果．
【详解】
解： ，整理得： ，
配方得： ，即 ．
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，
未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边
化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．
14．用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将方程的常数项移到等号的右面，二次项系数化为1，再给方程两边加上一次项系数一半
的平方，再用完全平方式进行配方即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．【点睛】
本题考查用配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的
关键．
15．一元二次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，∴ ．
16．关于x的方程 （其中 ）的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
原方程移项，得 ，开方，得 ，解得 ．
17．用配方法解一元二次方程 ，则下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
．
．
18．将一元二次方程 配方，其正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】
解： ，
配方得： ，即 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．
19．用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26 C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26
【答案】B
【分析】
先移项、再配方即可解答
【详解】
解： ，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了配方法，解题关键是正确利用完全平方公式配方，方程两边同时加上一次
项系数一半的平方．
20．用配方法解一元二次方程 ，配方后可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用配方法解已知方程时，根据配方法步骤即可得到所求的式子．
【详解】
移项得：x2-4x=3，
两边都加上4得：x2-4x+4=3+4，
即（x-2）2=7，
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右
边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为
完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
21．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x＋3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x＋3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
【答案】D
【分析】
把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】
解：x2﹣6x＝3，
方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12，
写成平方得形式：（x﹣3）2＝12.
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，配方法：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
22．方程x2＝1的解是（ ）
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝0，x ＝﹣1 C．x ＝1，x ＝﹣1 D．x ＝x ＝1
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】
由 的平方根是 利用直接开平方法解方程，即可得到答案．
【详解】
解：故选：
【点睛】
本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解
题的关键．
23．对于方程 ，下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当 时，方程可化为 或
D．当 时，
【答案】C
【详解】
当 时，方程没有实数根；当 时，方程有实数根，则 ，解得
；当 时，解得 ．
24．用配方法解方程： ，开始出现错误的一步是（ ）
① ，② ，③ ，④ ．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．即．∴从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．
25．用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
原方程为 ，二次项系数化为1，得 ．配方，得
，∴ ．
26．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边
利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】
解： ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配
方．
27．关于x的方程 （ 均为常数， ）的解是 ，
则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先用直接开平方法解出 ，然后再解出 ，对比两个
解的关系，即可得到答案．
【详解】
解：m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0），
解得x=-h± ，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x =-2，x =3，
1 2
所以-h- =-2，-h+ =3，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h± ，
所以x =3+3=6，x =3-2=1．
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握正确解出一元二次方程的解．
28．一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】
先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半
的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行配方，本题属于
基础题型．
29．下列各式变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据同底数幂的乘法、二次根式的性质、多项式除以单项式及配方法可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、 ，故错误；B、 ，故正确；
C、 ，故错误；
D、 ，故错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法、二次根式的性质、多项式除以单项式及配方法，熟练掌握
基础知识是解题的关键．
30．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
【答案】A
【分析】
根据配方法的步骤：①将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程两边同时
加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答．
【详解】
解：A、 化为 ，即 ，此选项错误，符合
题意；
B、 化为 ，即 ，此选项正确，不符合题意；
C、 化为 ，即 ，此选项正确不
符合题意；
D、 化为 ，即 ，此选项正确，不符合
题意；故选：A．
【点睛】
本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
31．利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，经过配方得到（ ）
A．（x+6）2＝49 B．（x+6）2＝23 C．（x﹣6）2＝23 D．（x﹣6）2＝49
【答案】C
【分析】
方程先移项，再给两边同加上一次项系数一半的平方，即可完成配方．
【详解】
解：x2﹣12x+13＝0，
移项得：x2﹣12x＝﹣13，
配方得：x2﹣12x+36＝23，即（x﹣6）2＝23．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32．一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据配方法的步骤，移项，配方解出即可
【详解】
解：移项，得
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了配方法知识点，准确记住配方法的解题步骤是解题关键．33．把方程 用配方法化为 的形式，则 的值是________．
【答案】-3
【详解】
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∴ ， ．
∴ ．
34．一元二次方程 的解为____．
【答案】 ，
【分析】
先把 移到等号右边，方程两边都加一次项系数一半的平方即 ，最后把左边根据完全
平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可．
【详解】
移项得： ，
配方，得 ，
即 ，
两边开平方，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②
把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方
35．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
【答案】（x+1）2＝2．
【分析】
先移项，再根据完全平方公式配方，最后得出答案即可．【详解】
解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
故答案为：（x+1）2＝2．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
36．一元二次方程 化为 的形式是____．
【答案】
【分析】
按照配方法把方程变形即可．
【详解】
解： ，
移项得， ，
两边加上一次项系数一半的平方得， ，
配方得，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方，解题关键是熟知配方法的步骤，准确进行变形．
37．解方程： ．
【答案】
【分析】
根据直接开方法即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了直接开平方法求一元二次方程的根,熟练掌握解题思路是解题的关键．
38．用直接开平方法解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ．
【详解】
解：（1）∵ ，
开方得 或 ，
解得 ， ．
（2）移项得 ，
开方得 或 ，
解得 ， ．
（3）方程两边直接开方得
或 ，∴ 或 ．
解得 ， ．
39．函数已知 ，当 为何值时， 是 的一次函数？
【答案】
【分析】
根据一次函数的定义建立关于m的方程，求解后即可得出结论．
【详解】
解：依题意，得 ，且 ，
解得 ，且 ，
∴当 时， 是 的一次函数．
【点睛】
本题考查了一次函数的定义，利用一次函数的定义建立方程是解题的关键．
40．（1）计算： ．
（2）解方程： ．
【答案】（1）-1；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根、乘方及绝对值可直接进行求解；
（2）根据直接开平方法进行求解即可．
【详解】
解：（1）原式 ；
（2）
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法、算术平方根及有理数的乘方，熟练掌握一元二次方程
的解法、算术平方根及有理数的乘方是解题的关键．
41．用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】
通过移项配方解一元二次方程即可．
【详解】
解：
，
解得 ， ．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程；掌握好配方法解一元二次方程的步骤是关键．
42．解方程：
【答案】 ，
【分析】
先进行移项处理，然后运用配方法求解即可．
【详解】∴ ，
【点睛】
本题考查解一元二次方程，灵活运用合适的方法准确快速的求解是解题关键．
43．用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】
利用配方法求解即可．
【详解】
解：移项得 ，
配方得 ，
即 ，
开方得 ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程；熟悉使用配方法解方程是关键．
44．解如下方程
（用配方法）
【答案】
【分析】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）
等式两边同时加上一次项系数一半的平方
【详解】解：（1）
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解方程的步骤正确计算是解题关键．
45．解方程：（2x﹣1）2＝9．
【答案】x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
【分析】
直接利用开平方法求解即可．
【详解】
解：（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．注意：根据一元二次方程的形式选择适当的方法进行求解．
46．用配方法解方程： ．
【答案】 .
【分析】
将原方程右边化为0，整理成一般式，再方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，接着
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，据此配方，最后利用直接开平方法解方程即
可.
【详解】
解：.
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
47．解一元二次方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）4（x+2）2＝（x﹣2）2．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据配方法进行求解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法进行求解即可．
【详解】
解：（1）
∴ ；（2）
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
48．解方程：x2+4x﹣2＝0．
【答案】 ，
【分析】
利用配方法求解一元二次方程即可．
【详解】
解：x2+4x﹣2＝0
移项，得x2+4x＝2，
两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用开平方法，得 或 ，
∴原方程的根是 ， ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键58．解方程：
．
【答案】 ．
【分析】先将方程移项、合并同类项得到 ，再两边同时除以16，得到 ，从而把问
题转化为求 的平方根．
【详解】
解： ，
移项、合并同类项，得 ，
两边同时除以16，得 ，
解得 ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程 直接开平方法，熟悉相关解法是解题的关键．
49．已知2是方程 的一个根，求常数 的值及该方程的另一根．
【答案】 ，方程另一个根为-2
【分析】
将x=2代入原方程，可求出c的值，进而可通过解方程求出另一根．
【详解】
解： 是方程 的一个根，
，
解得 ，
∴方程为 ． ，
∴ ， ，该方程的另一个根是－2.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程
的方法是解题关键．
