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专题2.2 不等关系与不等式性质（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1． 与5的和不大于 ，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，
乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价
格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
3．下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小丽和小华一样高
C．明天可能下雨 D． 是非负数
4．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
7．下列四个说法：①若a＝﹣b，则a2＝b2；②若|m|+m＝0，则m＜0；③若﹣1＜m＜0，则
m2＜﹣m；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．下列变形中，错误的是（ ）
A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若 ，则
C．若 ，则x＞﹣5 D．若 ，则
9．如图，下列结论正确的是（ ）A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0
10．在数轴上点A，B对应的数分别是a，b，点A在表示﹣3和﹣2的两点之间（包括这两
点）移动，点B在表示﹣1和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值
可能比2021大的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用一组a，b的值说明“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的，
这组值可以是a＝________，b＝________．
12．“ 的 倍与 的差不大于 ”用不等式表示是__________．
13．我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定，“五一”长假期间，前3天是
法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资．
后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者
本人日工资或小时工资的200%支付加班工资．小朱由于工作需要，今年5月2日、3日、4
日共加班三天，已知小朱的日工资标准为247元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工
资应不低于______元．
14．给出下列表达式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，其中属于不等式的是______．（填序号）
15．用不等式表示“电脑前连续学习不超过1小时”．设电脑前连续学习时间为 小时，
所列不等式为__________．
16．比较大小，用“ ”或“ ”填空：
（1）若 ，且 ，则 _____ ．
（2）若 ， 为实数，则 ____ ．
17．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，则m的取值范围为
_____．18．如果a＞b，那么﹣2﹣a___﹣2﹣b．（填“＞”、“＜”或“＝”）
19．请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若 ，则 ；②若
，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，则
．正确的有________．（填序号）
20．以下是一位同学所做的解不等式第一步的过程：
他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，自己总是漏乘，应该在“1”
下面标注“🔺”，提醒自己注意．请你帮他分析，“去分母”这步，依据的不等式基本性
质是 ___．（请写明定理的具体内容）
21．高斯函数 ，也称为取整函数，即 表示不超过 的最大整数．例如： ，
．当 时， 的值为______．
22．若关于 的不等式 可化为 ，则 的取值范围是______．
三、解答题
23．用适当的符号表示下列关系：
（1）x的3倍与8的和比x的5倍大； （2） 是非负数；
（3）地球上海洋面积大于陆地面积； （4）老师的年龄比你年龄的2倍还大；
（5）铅球的质量比篮球的质量大．
24．用不等式表示下列数量之间的不等关系：(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量
为x(g)．
25．利用不等式的性质，将下列不等式转化为“y＞a”或“y＜a”的形式．
（1）5y-5＜0． （2）3y-12＜6y． （3） y-2＞ y-5．
26．以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：
小明说：不等式a＞2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出
现1＞2这样的错误结论！
小丽说：如果a＞b，c＞d，那么一定会得出a﹣c＞b﹣d．
你认为小明的说法 （填“正确”、“不正确”）；小丽的说法 （填“正确”、
“不正确”），并选择其中一个人判断阐述你的理由（若认为正确，则进行证明；若认为
不正确，则给出反例）
27．（1）若 ，比较 与 的大小，并说明理由；（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系
转化为用数学符号表示的不等式，不大于即小于或等于．
【详解】
解：“ 与5的和不大于-1”用不等式表示为 ，
故选：D．
【点拨】此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于
等关键字．
2．C
【分析】
根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，故选：C．
【点拨】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
3．D
【分析】
根据四个选项中描述的数量关系进行分析判断即可.
【详解】
解：A选项中，语句“老师的年龄是你的2倍”描述的是“等量关系”；
B选项中，语句“小丽和小华一样高”描述的是“等量关系”；
C选项中，语句“明天可能下雨”描述的的不是“不等关系”；
D选项中，语句“x2是非负数”描述的是“不等关系”.
故选D.
【点拨】读懂每个语句的含义，弄清其中所描述的数量间的关系是解答本题的关键.
4．D
【分析】
先根据数轴上点的特点确定a、b的符号和大小，再逐一进行判断即可求解．
【详解】
解：由实数a，b在数轴上的对应点得：a＜b＜0，|a|＞|b|，
A、∵a＜b＜0，∴ab＞0，故选项正确；
B、∵a＜b＜0，∴a+b＜0，故选项正确；
C、∵a＜b＜0，∴a-b＜0，故选项正确．
D、∵a＜b＜0，∴ ＞1，故选项错误；
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加，取相同的符号；两
数相除，同号得正．确定符号为正后，绝对值大的数除以绝对值小的数一定大于1较小的
数减较大的数一定小于0．
5．A
【分析】
根据不等式的性质1不等式不等式两边同时加或减去同一个数或整式,不等号方向不变，基
本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整数,不等号方向不变•基本性质3:不
等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整数,不等号方向改变，根据不等式性质对各选
项进行一一分析判断即可．【详解】
解： ． ，不妨设 ，
则 ，
选项 符合题意；
B． ，
，
选项B不符合题意；
C． ，
，
，
选项C不符合题意；
D． ，
，
，
选项D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查不等式性质，掌握不等式性质是解题关键．
6．A
【分析】
根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母
的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析
即可．
【详解】
解： ．当 ， ， ， 时， ，故本选项符合题意；
．若 ， ，则 ，故本选项不合题意；
．若 ， ，则 ，故本选项不合题意；
．若 ， ，则 ，故本选项不合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．7．C
【分析】
根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．
【详解】
解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；
②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；
③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；
④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；
①③正确，共有2个.
故选：C.
【点拨】本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟
练掌握相关的概念是解题的关键.
8．B
【分析】
根据不等式的两边都加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变；不等式
的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变．
【详解】
解：A、不等式的两边都减5，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、不等式的两边都乘以 ，不等号的方向改变得到 ，故B符合题意；
C、不等式的两边都乘以（﹣5），不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质计算式解题．
9．B
【分析】
根据数轴可得： 再依次对选项进行判断．
【详解】
解：根据数轴上的有理数大小的比较大小的规律，从左至右逐渐变大，
即可得： ，A、由 ，得 ，故选项错误，不符合题意；
B、 ，根据不等式的性质可得： ，故选项正确，符合题意；
C、 ，可得 ，故选项错误，不符合题意；
D、 ，故 ，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了利用数轴比较大小，不等式的性质、绝对值，解题的关键是得出
．
10．C
【分析】
根据已知条件得出， ， ，求出 ， ， ，
，再分别求出每个式子的范围，根据式子的范围即可得出答案．
【详解】
， ，
， ， ， ， ，
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
可能比2021大，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查数轴、倒数、有理数的混合运算，求出每个式子的范围是解题的关键．
11．
【分析】
举出一个反例： ， ，说明“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的
差”是错误的即可．【详解】
解：当 ， 时，不满足 ，
“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的．
故答案为： 、 ．（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了命题与定理，解题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个
反例即可．
12．
【分析】
根据题意选准不等号列出不等式即可．
【详解】
解：由题意得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键
词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，
正确选择不等号．
13．1976
【分析】
先计算出5月2日、3日加班所得的最低工资247×300%，然后加上4日加班所得最低工资
247×200%，求和即可．
【详解】
解：小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于247×300%×2＋247×200%＝1976
（元）．
故答案为：1976．
【点拨】本题考查不等式的意义与有理数运算在实际生活中的应用，利用所学知识解答实
际问题是我们应具备的能力．认真审题，准确的列出式子是解题的关键．
14．②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可．
【详解】
解：①a（b+c）=ab+ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．
【点拨】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做
不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
15．
【分析】
根据不超过用“≤”列不等式即可．
【详解】
解：由题意得
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的
运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
16．＜
＞
【分析】
（1）由不等式的性质可得 ，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【详解】
解：（1） ，且 ，
，
，
故答案为： ．（2）
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要是考察了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的
方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类
题的关键．
17．
【分析】
根据不等式的性质可知 ，求解即可．
【详解】
解：∵不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的
符号要改变，是解本题的关键．
18．＜
【分析】
根据不等式的基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不
等式两边加上同一个数，不等式的方向不变．
【详解】
解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣2﹣a＜﹣2﹣b，
故答案为：＜．
【点拨】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
19．①②⑤
【分析】
根据不等式的性质：两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不改变；两边同时除以或乘以一个负数，不等式方向改变；两边同时加上或减去一个数，不等式仍然成立，进行
逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：①若 ，则 ，则 ，此说法正确；
②若 ，则 ，此说法正确；
③若 ，当 ， 时不能得到 ，此说法错误；
④若 ，当c=1时则 ，此说法错误；
⑤若 ，则 ，此说法正确．
故答案为：①②⑤ ．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
20．不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变
【分析】
根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解
即可．
【详解】
解： ，依据不等式的性质2可得： ，
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
21．1
【分析】
根据x的取值范围判断x+1和-x+1的取值范围，然后根据[x]表示不超过x的最大整数，列
式计算．
【详解】
解：∵0＜x＜1，
∴1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1，
∴[x+1]+[-x+1]=1+0=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是利用不等式的性质确定1＜x+1＜
2，0＜-x+1＜1，并明确[x]表示不超过x的最大整数．22．
【分析】
根据不等式的性质，不等式的两边都除以a−1，不等号方向发生改变，所以得到a−1＜0，
求出即可．
【详解】
解：∵关于x的不等式（a−1）x＞1可化为 ，
∴a−1＜0，
∴a＜1．
故答案为：a＜1．
【点拨】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根
据不等式的解集得出a−1＜0是解此题的关键．
23．（1） ；（2） ；（3） （ 表示地球上的海洋面积， 表示陆
地面积）；（4） （x表示老师的年龄，y表示你的年龄）；（5） （ 表示
铅球的质量， 表示篮球的质量）
【分析】
（1）直接利用已知关系得出不等式；
（2）直接利用非负数的定义（大于或等于0的数是非负数）得出不等式；
（3）利用未知数表示出海洋与陆地面积进而得出答案；
（4）利用未知数表示出老师与自己的年龄进而得出答案；
（5）利用未知数表示出铅球与篮球的质量进而得出答案．
【详解】
解：（1）由题意可得：3x+8＞5x；
（2）由题意可得：x2≥0；
（3）设地球上海洋面积为 ，陆地面积为 ，根据题意可得： ＞ ；
（4）设老师的年龄为x，我年龄为y，根据题意莪哭的：x＞2y；
（5）设铅球的质量为 ，篮球的质量为 ，根据题意可得： ＞ ．【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关
键．
24．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）较去年有所增加，即比去年多的意思；
（2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，
则x＞480 ；
（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，
则3x＞5.
【点拨】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等
关系转化为用数学符号表示的不等式．
25．
（1）y＜1
（2）y＞-4
（3）y＜3
【分析】
根据不等式的性质转换即可．
（1）
原式为5y-5＜0
两边都加上5得5y＜5
两边除以5得y＜1
（2）
原式为3y-12＜6y
两边都加上12-6y得-3y＜12
两边都除以-3得y＞-4
（3）原式为 y-2＞ y-5
两边都加上2 y得-y＞-3
两边都除以-1得y＜3
【点拨】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变. 即若 ，则 ， ；性质2：不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.，即 ；性
质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 即
．
26．不正确；不正确；理由见解析
【分析】
根据不等式的性质进行解答．
【详解】
解：小明和小丽的说法都不正确，理由如下：
选择小明的说法：
当a=0时，a=2a；
当a＜0时，由1＜2得a＞2a．
选择小丽的说法：
当a=c，b=d时，a﹣c＞b﹣d不成立；
故答案为：不正确；不正确．
【点拨】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不
变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除
以）同一个负数，不等号方向改变．
27．（1）-3x+2＜-3y+2，理由见解析；（2）a＜3
【分析】
（1）先在x＞y的两边同乘以-3，变号，再在此基础上同加上2，不变号，即可得出结果；
（2）根据题意，在不等式x＜y的两边同时乘以（a-3）后不等号改变方向，根据不等式的
性质3，得出a-3＜0，解此不等式即可求解．
【详解】解：（1）∵x＞y，
∴不等式两边同时乘以-3得：-3x＜-3y，
∴不等式两边同时加上2得：-3x+2＜-3y+2；
（2）∵x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，
∴a-3＜0，
解得a＜3．
即a的取值范围是a＜3．
【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等
号的方向改变．
