专题2.2平方根与立方根综合（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 2.2 平方根与立方根综合 【例题精讲】 【例1】已知 ，求 的值 【解答】解：由题意可得： ， 解得： ， ， 原式 ． 【例2】已知 的平方根是 ， 的算术平方根是6，求 的算术平方根． 【解答】解：由题意得， ， ， 解得 ， ， 所以， ， ， 的算术平方根是7 【例3】已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的平方根． 【解答】解：由题意得： ， ， ．的平方根为 ． 【例4】阅读材料，解答下面的问题： ，即 ， 的整数部分为2，小数部分为 ． 已知 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， 的小数部分为 ， 的小数部分为 ， ； ， ． 【题组训练】 二次根式非负性 1. 已知 ．求 的立方根． 【解答】解： ， ， 解得 ， ，， 的立方根 ． 2. 已知 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ． 3. 已知 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ． 4. ，求 的立方根．【解答】解；依题意，得 ， 解得 ， ， ， 的立方根是 ． 平方根与立方根 1. （1）已知 的平方根是 ， 的平方根是 ，求 的平方根； （2）若 与 是同一个正数的平方根，求 的值． 【解答】解：（1）依题意，得 且 ， ， ． ． 的平方根为 ， 即 ； （2） 与 是同一个正数的平方根， 或 ， 解得： 或 ． 2. 已知 的立方根是 3， 的算术平方根是 4， 是 的整数部分，求 的平方根． 【解答】解： 的立方根是3， 的算术平方根是4， ， ， ， ，是 的整数部分， ， ， 的平方根是 ． 3. 已知 的平方根是 ，4是 的算术平方根，求 的值． 【解答】解： 的平方根是 ， ， ， 又 是 的算术平方根， ， ， ． 4. 已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 4 ，求 的平方根 ． 【解答】解： 的平方根是 ， ． 的算术平方根是 4 ， ． ， 的平方根是 ． 5. 已知 的平方根为 ， 的平方根为 ，求 的算术平方根． 【解答】解：由 的平方根是 ， 的平方根是 ，得： ， 解得： ，， 的算术平方根为5， 的算术平方根为5 6. 若 是 的平方根， 是 的算术平方根，求 的值． 【解答】解：根据题意知 ， ， 则原式 ． 7. 已知 的平方根为 ， 的立方根为2， （1）求 的算术平方根； （2）若 是 的整数部分，求 的平方根． 【解答】解：（1） 的平方根为 ， 的立方根为2， ， ， 解得 ， ， ， 的算术平方根为 ， 的算术平方根是6； （2） ， 的整数部分为3， 即 ， 由（1）得 ， ， ， 而25的平方根为 ， 的平方根 ． 8. 已知 的平方根是 ， 的立方根是 ，整数 满足不等式 ．求 的算术平方根． 【解答】解： 的平方根是 ， 的立方根是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根是4 9. 已知 的立方根是3， 的算术平方根是4， 是 的整数部分． （1）求 ， ， 的值； （2）求 的平方根． 【解答】解：（1） 的立方根是3， ， 即 ； 又 的算术平方根是4， ，而 ， ， 是 的整数部分，而 ， ， 答： ， ， ； （2） ， ， ， ， 的平方根为 ．10. 已知 的平方根为 ， 是 的平方根，求 的平方根． 【解答】解：由题意得： ， ， 解得： ， ， ， 的平方根为 ． 11. 已知一个正数的两个平方根是 和 ． （1）求这个正数是多少？ （2） 的平方根又是多少？ 【解答】解：（1） 和 是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即： 解得 ． 则这个正数是 ． （2） ，则它的平方根是 ． 整数与小数 1. 已知 的算术平方根是3， 是8的立方根， 是 的整数部分． （1）求 的值． （2）求 的平方根． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ， ， ， ， ， ，； （2）由（1）得： ， ， ， ， ， 的平方根是 ． 2. 已知 的立方根是1， 的算术平方根是2， 是 的整数部分． （1）求 ， ， ． （2）求 的平方根． 【解答】解：（1） 的立方根是1， ， 的算术平方根是2， ， 解得 ， ， ， 是 的整数部分， ； （2） ， 9的平方根是 ， 的平方根是 ． 3. 已知 ， 的平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方 根． 【解答】解： ， ， 解得： ， 的平方根是 ，， 解得： ， ， ， ， ， 的平方根为 ． 4. 已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根是4，c是 的整数部分，求 a+b﹣c的平方根． 【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根是4， ∴2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝64， 解得：a＝5，b＝50， ∵c是 的整数部分，6＜ ＜7， ∴c＝6， ∴a+b﹣c＝5+50﹣6＝49， ∴a+b﹣c的平方根是 ＝±7 5. 已知 的立方根是2， 是 的整数部分， 是9的平方根，求 的算术平方根． 【解答】解： 的立方根是2， ， ， ， ， 是9的平方根， ， 当 时， ，算术平方根为 ；当 时， ，算术平方根为 ； 答： 的算术平方根为 或 ． 6. 已知某正数的两个不同的平方根是 和 ； 的立方根为 ； 是 的整 数部分． （1）求 的值． （2）求 的平方根． 【解答】解：（1）由题意得： ， ， ， ， ， ， 是 的整数部分， ， ； （2）当 ， ， 时， ， 的平方根是 ， 的平方根是 ． 7. 阅读下列材料： ，即 ， 的整数部分为1，小数部分为 ． 请根据材料提示，进行解答： （1） 的整数部分是 3 ，小数部分是 ； （2）若 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值；（3）若 的整数部分为2，求 的取值范围． 【解答】解：（1） ， 的整数部分是3，小数部分是 ． 故答案为：3， ．； （2） ， ， ， ， ； （3） 的整数部分为2， 的整数部分是3， ， ， ． 8. 阅读下面的文字，解答问题： 是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为 ，即 ，所以 的整数部分为1，将 减去其整数部分后，得到的差就是小数部分， 于是 的小数部分为 ． （1）求出 的整数部分和小数部分； （2）求出 的整数部分和小数部分； （3）如果 的整数部分是 ，小数部分是 ，求出 的值．【解答】解：（1） ， 的整数部分为2， 的小数部分为 ； （2） ， 的整数部分为3， 的整数部分为5， 小数部分为 ． （3） ， 的整数部分为5， 的整数部分为8，小数部分 ， 即 ， ， ． 9. 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全 部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，请解答： （1）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值； （2）已知： ，其中 是整数，且 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ，， ； （2） ， ， ， ，其中 是整数，且 ， ， ， ， 的值是 ． 10. 阅读下列材料： ，即 ， 的整数部分为1，小数部分为 ． 请根据材料提示，进行解答： （1） 的整数部分是 3 ，小数部分是 ． （2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值． （3）已知： ，其中 是整数，且 ，请直接写出 ， 的值． 【解答】解：（1） ，即 ， 的整数部分是3，小数部分是 ， 故答案为：3， ； （2） ， ，， ， ； （3） ， ， 的整数部分是15，小数部分是 ， ，其中 是整数，且 ， ， ． 11. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因 此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你 同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1， 将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即 ， 的整数部分为2，小数部分为 ．根据以上知识解答下列各题： （1）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值； （2）已知 ，其中 是整数，且 ，求 的相反数． 【解答】解：（1） ，， 的整数部分为2，小数部分 ， ， ， ， ； （2） ， ． ，其中 是整数，且 ， ， ， ， 的相反数是 ．