文档内容
专题 01 三角形证明
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 等腰三角形的性质与判定
（1） 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
（2）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
（即“三线合一”）
考点2 等边三角形的性质与判定
1.性质定理
（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；
（2）等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；
（3）等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。
2. 判定定理;
（1）有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形;
（2）或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
考点3 直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角
三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正
确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边，简
称：HL）
考点4 线段的垂直平分线（中垂线）
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，
两弧交于点 M、N； 作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分
线。
考点5 角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线
上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线
【经典题型】
考点1等腰三角形性质
【典例1】已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（
）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
【变式1-1】等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（ ）A．10 B．21 C．27 D．21或27
【变式1-2】在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝84°，则∠A＝（ ）
A．66° B．48° C．22° D．12°
【变式1-3】若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
【典例2】如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC
上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式2-1】如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，
使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A
为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9【变式2-3】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中
满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
考点2 等边三角形性质
【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数
为（ ）
A．25° B．60° C．90° D．100°
【变式3-1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，
则∠DEC的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【变式3-2】已知△ABC中，AC＝AB＝3，∠C＝60°，则△ABC的周长等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【变式3-3】如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使
CE＝CD，则BE的长为 ．【变式3-4】如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，分别
过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
考点3 等腰三角形的判定
【典例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是
△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，
点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的
时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角
形？
【变式4-1】如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°．
（1）图中的等腰三角形共有 个，分别是 ；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发
以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从
点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过
G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．【变式4-4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与
B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 2 5 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小
（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，
△ADE是等腰三角形．
考点4 等边三角形的判定
【典例5】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角
形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．【变式 5-1】如图：在△ABC 中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD 与 BE 相交于点 P，
BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是
等边三角形．
【变式5-3】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于
点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝ AB．【变式5-4】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN
交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
考点5 直角三角形全等的判定方法
【典例6】如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【变式6-1】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
【变式6-2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB
＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【变式6-3】如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点
O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．考点6 直角三角形的性质
【典例7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【变式7-1】若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【变式7-2】如图，AD是△ABC的中线，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AD的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【变式7-3】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．10 B．16 C．4.8 D．48
【典例8】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，
则正方形ABDE的面积为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
【变式8-1】如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为（ ）
A．36 B．64 C．28 D．100
【变式8-2】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月
形，面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
1 2 1 2
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【典例9】如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大
正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式9-1】如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形的两角边分别是a、b，且（a+b）2＝15，大正方形的面积是9，则小正方形的面
积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知
大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞
y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝9，其中说法正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-3】如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝
DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；
③四边形ABDE的面积是 ；④ ；⑤该图可以验
证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
考点7 直角三角形斜边上的中线
【典例9】（2021秋•长春期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C
被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【变式9-1】（2019春•英德市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，
点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【变式9-2】（广南）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC于点E，若DE＝1，∠A＝30°，则△ABC的面积为 ．
考点8 线段的垂直平分线
【典例10】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于
点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．19
【变式10-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则
AC的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【变式10-2】甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三
地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
【变式10-3】如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平
分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）A．140° B．130° C．120° D．110°
考点9 角平分线的性质
【典例11】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中
点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．6
【变式11-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB
的距离是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【变式11-2】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，
CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）
A．14 B．8 C．16 D．6
【变式11-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝
8，则△ABD的面积是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
考点10 直角三角形综合问题
【典例12】（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面 BE的宽为16尺，在水池的中
央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【变式12-1】2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹
子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断
处与根部的距离CB．
【变式 12-2】（2021 秋•吉安期中）铁路上 A，B 两站（视为直线上的两点）相距
25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已
知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【变式12-3】（2019秋•西湖区期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现
将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
【典例13】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB
＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【变式13-1】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝
7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．【变式13-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【变式13-3】（2021春•凤山县期末）如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的
顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ABC的面积．专题 01 三角形证明
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 等腰三角形的性质与判定
（2） 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
（2）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
（即“三线合一”）
考点2 等边三角形的性质与判定
3.性质定理
（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；
（2）等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；
（3）等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。
4. 判定定理;（1）有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形;
（2）或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
考点3 直角三角形
（4）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角
三角形。
（5）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正
确的逆命题就是逆定理。
（6）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边，简
称：HL）
考点4 线段的垂直平分线（中垂线）
（4）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（5）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（6）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，
两弧交于点 M、N； 作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分
线。
考点5 角平分线
（4）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线
上。
（5）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（6）如何用尺规作图法作出角平分线
【经典题型】
考点1等腰三角形性质
【典例1】已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（
）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
【答案】D
【解答】解：（1）当6是腰长时，底边为26﹣6×2＝14，
此时6+6＜14，不能组成三角形；
（2）当6是底边时，腰长为 ×（26﹣6）＝10，
此时6，10，10三边能够组成三角形．
所以腰长是10．
故选：D．
【变式1-1】等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．21 C．27 D．21或27
【答案】C
【解答】解：当5为底时，其它两边都为11，11、11、5可以构成三角形，周长为27；
当5为腰时，其它两边为11和5，因为5+5＝10＜11，所以不能构成三角形，故舍去．
所以答案只有27．
故选：C．
【变式1-2】在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝84°，则∠A＝（ ）
A．66° B．48° C．22° D．12°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝84°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣84°﹣84°＝12°，
故选：D．【变式1-3】若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
【答案】C
【解答】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故选：C．
【典例2】如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC
上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解答】解：①AB的垂直平分线交直线 AC于点P ，交BC于点P ，（此时PA＝
1 2
PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P ，P ，交BC于点P ，（此时AB＝
3 1 4
AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P ，P ，交AC有一点P （此时BP＝
5 6 1
BA）．
故符合条件的点有6个．
故选：C．【变式2-1】如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，
使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个
交点（B点除外），
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有4个，
故选：C．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A
为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C
【解答】解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴
的6个交点即为所求；
作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求；
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
【变式2-3】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中
满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C ，C ，C 即为点C的位置；
1 2 3
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C ，C ，C ，C ，C ，C 即为点
3 4 5 6 7 8
C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，故选：B．
考点2 等边三角形性质
【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数
为（ ）
A．25° B．60° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝40°+60°＝100°，
故选：D．
【变式3-1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，
则∠DEC的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ ＝75°，
∴∠DEC＝105°．
故选：A．
【变式3-2】已知△ABC中，AC＝AB＝3，∠C＝60°，则△ABC的周长等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解答】解：∵AC＝AB＝3，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长为9，
故选：D．
【变式3-3】如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使
CE＝CD，则BE的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝ AC＝1，∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
【变式3-4】如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，分别
过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【答案】9
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是3×3＝9．
故答案为：9．
考点3 等腰三角形的判定
【典例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是
△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，
点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的
时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【答案】（1） 秒（2）11秒或12秒
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝ ，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【变式4-1】如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°．
（1）图中的等腰三角形共有 个，分别是 ；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】（1）3，△ABC、△ABD、△BCD；
（2）略
【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°
∵∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，△BCD是等腰三角形，
故答案为：3，△ABC、△ABD、△BCD；
（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°
∵∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分
别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
【答案】（1）AP＝12﹣2t，AQ＝t； （2）t＝4 （3）t＝3
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝ AP，
∴t＝ （12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过
G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．【答案】略
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∴△AFG是等腰三角形．
【变式4-4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与
B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 2 5 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小
（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，
△ADE是等腰三角形．【答案】（1）25°；小 （2）DC＝AB＝2（3）∠ADB＝110°或80°
【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．考点4 等边三角形的判定
【典例5】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角
形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
【答案】略
【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵AE＝EB＝BD，
∴∠ECB＝ ∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝ ∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；
（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．
【变式 5-1】如图：在△ABC 中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD 与 BE 相交于点 P，
BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是
等边三角形．
【答案】略
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形．
【变式5-3】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于
点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝ AB．【答案】略
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝ AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝ AB．
【变式5-4】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN
交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵ ，∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵ ，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
考点5 直角三角形全等的判定方法
【典例6】如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】略
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【变式6-1】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
【答案】略
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
【变式6-2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB
＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【答案】略
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
【变式6-3】如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点
O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】略
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
考点6 直角三角形的性质
【典例7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【变式7-1】若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【答案】D
【解答】解：当12是斜边时，它的斜边长是12；当12是直角边时，它的斜边长＝ ＝13；
故它的斜边长是：12或13．
故选：D．
【变式7-2】如图，AD是△ABC的中线，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AD的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，
∴AD＝ ＝ ＝4，
故选A．
【变式7-3】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．10 B．16 C．4.8 D．48
【答案】C
【解答】解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝62+82，
则c＝10，
∵直角三角形面积S＝ ×6×8＝ ×10×h，
∴h＝ ．
故选：C．
【典例8】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，
则正方形ABDE的面积为（ ）A．5 B．9 C．16 D．25
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴正方形ABDE的面积＝AB2＝52＝25，
故选：D．
【变式8-1】如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形
A的面积为（ ）
A．36 B．64 C．28 D．100
【答案】D
【解答】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为 64和36的正方形
的边长是8和6；
解图中直角三角形得A正方形的边长： ，所以A正方形的面积为100．
故选：D．
【变式8-2】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月
形，面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
1 2 1 2A．12.5 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S +S ＝7，
1 2
∴ × ×（ ）2+ × ×（ ）2+ ×AC×BC﹣ × ×（ ）2＝7，
∴AC×πBC＝14， π π
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64，
∴AC+BC＝8（负值舍去），
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，
故选：C．
【典例9】如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大
正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE ＝92﹣4×18＝9，
∴正方形EFGH的边长＝3，
故小正方形的边长为3，
故选：C．【变式9-1】如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形的两角边分别是a、b，且（a+b）2＝15，大正方形的面积是9，则小正方形的面
积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是9，
∴c2＝9，
∵直角三角形的两角边分别是a、b，
∴a2+b2＝c2＝9，
∵（a+b）2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15，
∴（a2+b2）+2ab＝15，
∴9+2ab＝15，
解得ab＝3，
∴S小正方形 ＝S大正方形 ﹣4S直角三角形
＝9﹣ ab×4
＝9﹣2ab
＝9﹣2×3
＝9﹣6
＝3，
故选：A．
【变式9-2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知
大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞
y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝9，其中说
法正确的有（ ）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵大正方形面积为49，
∴大正方形边长为7，
在直角三角形中，
x2+y2＝72＝49，
故说法①正确；
∵小正方形面积为4，
∴小正方形边长为2，
∴x﹣y＝2，
故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴4× xy+4＝49，
∴2xy+4＝49，
故说法③正确；
∵2xy+4＝49，
∴2xy＝45，
∵x2+y2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49+45，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝ ，
故说法④错误；
故选：C．
【变式9-3】如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝
DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是 ；④ ；⑤该图可以验
证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
故①②正确；
∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴四边形ABDE的面积是 ；
故③正确；
∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，
∴ ab，
∴a2+b2＝c2．
故③④⑤都正确．
故选：A．
考点7 直角三角形斜边上的中线【典例9】（2021秋•长春期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C
被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】C
【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝ AB，
∵AB＝10km，
∴CM＝5（km），
即M，C两点间的距离为5km，
故选：C．
【变式9-1】（2019春•英德市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，
点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝ AB＝7.5，
∵△CDE的周长为21，
∴CD＝21﹣7.5﹣7.5＝6，∴BC＝2CD＝12，
故选：D．
【变式9-2】（广南）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
DE⊥AC于点E，若DE＝1，∠A＝30°，则△ABC的面积为 ．
【答案】
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝ AB
∵DE⊥AC，∠A＝30°，DE＝1
∴AD＝2
∴AB＝4
∴BC＝2
∴AC＝2
∴△ABC的面积为2 ．
故填空答案：2 ．
考点8 线段的垂直平分线
【典例10】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于
点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．19
【答案】A
【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，∴BE＝EC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△AEC的周长为：AE+CE+AC＝AB+AC＝8+6＝14，
故选：A．
【变式10-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则
AC的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：∵ED垂直平分AB，BE＝13，
∴EA＝BE＝13，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝12，
故选：C．
【变式10-2】甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三
地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【解答】解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上，
故选：B．
【变式10-3】如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平
分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】D
【解答】解：设∠BAC＝ ，
∴∠C+∠B＝180°﹣ ， α
∵DE是AB的垂直平α分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣ ，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝ α﹣（180°﹣ ）＝40°，
∴ ＝110°， α α
∴α∠BAC＝110°，
故选：D．
考点9 角平分线的性质
【典例11】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中
点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵点E为AB的中点，AB＝12，∴BE＝6，
∴△DBE的面积＝ BE•DF＝ ×6×3＝9，
故选：C．
【变式11-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB
的距离是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：过P作PD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，
∴PC⊥AC，
∴AP平分∠CAB，
∴PD＝PC，
∵PC＝2，
∴PD＝2，
∴点P到边AB的距离是2，
故选：B．
【变式11-2】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，
CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）A．14 B．8 C．16 D．6
【答案】B
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，
∴AE＝DE，
∵△CDE的周长为12，CD＝4，
∴DE+EC＝8，
∴AC＝AE+EC＝8，
故选：B．
【变式11-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝
8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD ＝ AB•DE＝ ×8×3＝12，
故选：D．
考点10 直角三角形综合问题
【典例12】（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面 BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
【变式12-1】2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹
子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断
处与根部的距离CB．
【答案】3米
【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，
∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，
即：x2+16＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【变式 12-2】（2021 秋•吉安期中）铁路上 A，B 两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已
知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两
村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【答案】10米
【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+152＝（25﹣x）2+102，
整理得，50x＝500，
解得x＝10，
∴E站应建在距A站10km处．
【变式12-3】（2019秋•西湖区期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现
将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
【答案】
【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x．
在直角三角形ABC中，BC＝ ＝5．则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝
2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2．
即：（4﹣x）2+22＝x2．解得：x＝ ．
【典例13】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB
＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【变式13-1】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝
7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
【答案】234
【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B＝ 90°，
由勾股定理得AC2＝242+72＝625．
又∵CD＝15，AD＝20，
∴CD2十AD2＝152+202＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×24×7+ ×15×20＝234．
【变式13-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】24
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC＝ ＝5，
∵52+122＝132，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×5×12﹣ ×3×4＝24．
【变式13-3】（2021春•凤山县期末）如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的
顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）△ABC的周长＝ （2）5
【解答】解：（1）由勾股定理得： ， ，
，
∴△ABC的周长＝ ；（2）由（1）可知，AC2+AB2＝（ ）2+（ ）2＝20，BC2＝（2 ）2＝20，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴ ．
