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专题 01 与角平分线有关辅助线的四种做法
【基础知识点】
1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段：
2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：
3. 构造等腰三角形：类型一、作垂线、分两边
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是
________．
【变式训练1】如图所示， ， 是 的中点， 平分 ．
（1）求证： 是 的平分线；（2）若 ，求 的长．
【变式训练2】如图， 中， ， ，垂足为 ，若 ， ，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．4【变式训练3】四边形 中， ，连接 ．
（1）如图1，若 平分 ，求证： ．
（2）如图2，若 ， ，求证： ．
（3）如图3，在（2）的条件下，作 于点 ，连接 ，若 ， ，求 的长度．
类型二、截线段、构全等
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、
BD三者之间的数量关系，并证明．
【变式训练1】在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： ；
（2）已知 ．
①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝
OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分
∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E
在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说
明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．类型三、角平分线+垂直=等腰
例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【变式训练1】已知：如图，在 中， ， 平分 ， 于 ， 是 的中点，
求证： .【变式训练2】已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若
，求 的长．
【变式训练3】 如图，在 中， ， ， 平分 ， 于 ，交
于 .求证：（1） ；（2） .
类型四、角平分线+垂直=等腰
例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求
EB+DC=_________．【变式训练1】如图，已知 ， 平分 ， ，则 （ ）
A. 105° B. 120° C. 130° D. 150°
【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作
DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
【变式训练3】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、
AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与
BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，
交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.课后训练
1．如图，四边形 中 ， ， 为 上一点，连接 ， ， ，
若 ，则线段 的长为_______．
2. 如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，
则∠BED的度数是（ ）
A. 35° B. 70° C. 110° D. 130°
3．如图，四边形 中， 平分 ， 于点 ， ．求证： ．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：
BE＝ CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE= AD．
5．如图，在 中， ， ， ， 分别平分 , ， ， 交
于点O．
(1)求 的度数；
(2)请你判断 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B的坐标 且a，b满足 ．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点， ， 于D，交y轴于点E，求证： 平分
．
（3）如图（2），点F为 的中点，点G为x正半轴点 右侧的一动点，过点F作 的垂线 ，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时， 的值是否发生变化?若变化，请说明理
由；若不变化，请求出相应结果．
