专题01三角形证明必刷常考题-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 01 三角形证明必刷常考题 选择题必练 ( ) 1．使两个直角三角形全等的条件是 A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 ( ) 2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 A．17 B．15 C．13 D．13或17 3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 ( ) A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 4．如图，ABC 中，AB AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是 ( ) A．BC B．ADBC C．AD平分BAC D．AB2BD 5．如图，已知在ABC 中，CD是 AB边上的高线， BE 平分ABC，交CD于点 E， BC 5，DE 2，则BCE 的面积等于 ( ) A．10 B．7 C．5 D．4 6．ABC 中，AB15，AC 13，高AD12，则ABC 的周长为 ( )A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 ( ) 7．下列各组数中，能构成直角三角形的是 2 A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 ( ) 8．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 9．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为 ( ) A．90 B．60 C．45 D．30 10．如图，在ABC 中，AB AC，A120，BC 6cm，AB的垂直平分线交BC于点 M ，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC 于点F ，则MN 的长为 ( ) A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 11．已知RtABC中，C 90，若ab14cm，c10cm，则RtABC的面积是 ( ) 24cm2 36cm2 48cm2 60cm2 A． B． C． D．( ) 12．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 7 7 7 7 A．12 B． C．12或 D．以上都不对 l l l 13．如图，直线 1、 2、 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 ( ) 三条公路的距离相等，则供选择的地址有 A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 14．如图，RtABC中，ACB90，ABC 60，BC 2cm，D为BC的中点，若动 点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着AB A的方向运动，设E点的运动时间为t秒 (0�t6) ，连接DE ，当BDE是直角三角形时，t的值为 ( ) A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 15．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在 F 处，折痕为MN ，则线段CN 长是 ( )A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 填空题必练 16．把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式： ． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2 ． 18．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ． 19．如图，已知ABC 是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CGCD， DF DE ，则E  度． 20．已知实数x， y 满足 |x4| y80 ，则以x， y 的值为两边长的等腰三角形的周 长是 ． 21．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC 6，BC 5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 解答题必练 22．如图所示，四边形 ABCD中， AB3cm， AD4cm， BC 13cm，CD12cm， A90， 求四边形ABCD的面积． 23．如图，在ABC 中，C 90，AD平分CAB，DE  AB于点E，点F 在AC 上， BEFC ．求证：BDDF．24．如图，在等边 ABC 中， D、 E分别在边 BC、 AC 上，且 DE//AB，过点 E作 EF DE 交BC的延长线于点F ． （1）求F的度数； （2）若CD2cm，求DF 的长． 25．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到 两个村庄距离相等即PC PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 26．如图， RtABC中， C 90， AD平分 CAB， DE  AB于 E，若 AC 6， BC 8，CD3． （1）求DE 的长； （2）求ADB的面积．27．如图，AB AC，A40，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D，求DBC的度数． 28．如图，在ABC 中，D是BC的中点，DE  AB，DF  AC，垂足分别是E，F ， BE CF．求证：AD是ABC 的角平分线．29．已知：点D是ABC 的边BC的中点，DE  AC，DF  AB，垂足分别为E，F ， 且BF CE．求证：ABC 是等腰三角形． 30．如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形， A，C，D三点在同一直线上，连接 BD，AE，并延长AE交BD于F ． （1）求证：ACEBCD； （2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论． 31．如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求ABC 的面积．（2）判断ABC 是什么形状？并说明理由． 32．如图，在ABC 和DCB中，AD90，AC BD，AC 与BD相交于点O． （1）求证：ABC DCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论． 33．如图，在ABC中，AB AC ，AD是高，AM 是ABC外角CAE的平分 线． （1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN ；（保留作图痕迹，不写作法和 证明） （2）设DN 与AM 交于点F ，判断ADF 的形状．（只写结果）34．如图，在四边形 ABCD中，AD//BC ，E为CD的中点，连接 AE、BE ，BE  AE ， 延长AE交BC的延长线于点F ．求证： （1）FC  AD； （2）ABBC AD． 35．如图，在 ABC 中， AB AC，点 D、 E、 F 分别在 AB、 BC、 AC 边上，且 BE CF，BDCE ． （1）求证：DEF 是等腰三角形； （2）当A40时，求DEF 的度数．36．如图 ABC 是等边三角形， BD是中线，延长 BC到 E，使 CECD．求证： DBDE． 37．如图：在ABC 中，C 90，AD是BAC的平分线，DE  AB于E，F 在AC 上， BDDF，证明： （1）CF EB． （2）AB AF 2EB．专题 01 三角形证明必刷常考题 选择题必练 ( ) 1．使两个直角三角形全等的条件是 A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 【答案】D 【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但 不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错 误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS 证全等；若一直角边对应相等， 一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D． ( ) 2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 A．17 B．15 C．13 D．13或17 【答案】A 【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，337不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为37717． 故这个等腰三角形的周长是17． 故选：A． 3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 ( ) A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【答案】B 【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而337，不满足三边关系定理， 因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm． 故选：B． 4．如图，ABC 中，AB AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是 ( ) A．BC B．ADBC C．AD平分BAC D．AB2BD 【答案】D 【解答】解： ABC中，AB AC，D是BC中点 BC，（故A正确） ADBC，（故B正确） BADCAD（故C正确） 无法得到AB2BD，（故D不正确）． 故选：D． 5．如图，已知在ABC 中，CD是 AB边上的高线， BE 平分ABC，交CD于点 E， BC 5，DE 2，则BCE 的面积等于 ( ) A．10 B．7 C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：作EF BC于F ，  BE平分ABC，ED AB，EF BC， EF DE 2， 1 1 S  BCEF  525 BCE 2 2 ，故选：C． 6．ABC 中，AB15，AC 13，高AD12，则ABC 的周长为 ( ) A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 【答案】C 【解答】解：此题应分两种情况说明： （1）当ABC 为锐角三角形时，在RtABD中， BD AB2 AD2  152 122 9 ， 在RtACD中， CD AC2 AD2  132 122 5 BC 5914 ABC的周长为：15131442； （2）当ABC 为钝角三角形时， BD AB2 AD2  152 122 9 在RtABD中， ， CD AC2 AD2  132 122 5 在RtACD中， ， BC 954． ABC的周长为：1513432 当ABC 为锐角三角形时，ABC 的周长为42；当ABC 为钝角三角形时，ABC 的周 长为32． 故选：C． ( ) 7．下列各组数中，能构成直角三角形的是 2 A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B 【解答】解：A、 42 52 62 ，不能构成直角三角形，故A错误； 2 B、 12 12  2 ，能构成直角三角形，故B正确； C、 62 82 112 ，不能构成直角三角形，故C错误； D、 52 122 232 ，不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． ( ) 8．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【解答】解： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：D． 9．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为 ( ) A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】C 【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC BC  5，AB 10 ． ( 5)2 ( 5)2 ( 10)2  ． AC2 BC2  AB2 ． ABC是等腰直角三角形．ABC 45． 故选：C． 10．如图，在ABC 中，AB AC，A120，BC 6cm，AB的垂直平分线交BC于点 M ，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC 于点F ，则MN 的长为 ( ) A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【解答】解： 连接AM 、AN 、过A作ADBC于D， 在ABC 中，AB AC，A120，BC 6cm， BC 30，BDCD3cm， BD AB 2 3cm AC cos30 ，  AB的垂直平分线EM ， 1 BE  AB 3cm 2 同理CF  3cm， BE BM  2cm cos30 ， 同理CN 2cm， MN BCBM CN 2cm， 故选：C． 11．已知RtABC中，C 90，若ab14cm，c10cm，则RtABC的面积是 ( )) 24cm2 36cm2 48cm2 60cm2 A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ab14 (ab)2 196 2ab196(a2 b2)96 1 ab24  2 ． 故选：A． ( ) 12．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 7 7 7 7 A．12 B． C．12或 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：设RtABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得，x5，此时这个三角形的周长34512； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得，x 7 ，此时这个三角形的周长7 7， 故选：C． l l l 13．如图，直线 1、 2、 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 ( ) 三条公路的距离相等，则供选择的地址有 A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 故选：D． 14．如图，RtABC中，ACB90，ABC 60，BC 2cm，D为BC的中点，若动 点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着AB A的方向运动，设E点的运动时间为t秒 (0�t6) ，连接DE ，当BDE是直角三角形时，t的值为 ( ) A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 【答案】D 【解答】解： RtABC中，ACB90，ABC 60，BC 2cm， AB2BC 4(cm) ，  BC 2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， 1 BD BC 1(cm) 2 ， BE ABAE4t(cm) ， 若BED90， 当AB时， ABC 60， BDE30， 1 1 BE BD (cm) 2 2 ， t 3.5， 当B A时，t 40.54.5． 若BDE90时， 当AB时， ABC 60， BED30，BE 2BD2(cm) ， t 422， 当B A时，t 426（舍去）． 综上可得：t的值为2或3.5或4.5． 故选：D 15．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在 F 处，折痕为MN ，则线段CN 长是 ( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【解答】解：设CN xcm，则 DN (8x)cm ，由折叠的性质知 EN DN (8x)cm ， 1 EC  BC 4cm 而 2 ， 在 RtECN中 ， 由 勾 股 定 理 可 知 EN2 EC2 CN2 ， 即 (8x)2 16x2 ， 整理得16x48，所以x3． 故选：A． 填空题必练 16．把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2 ． 【答案】49 【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和49cm2 ． 故答案为：49cm2 ． 18．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ． 【答案】 5 或 7 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为： 42 32  7； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为： 42 32 5； 综上，第三边的长为：5或 7 ． 故答案为：5或 7 ． 19．如图，已知ABC 是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CGCD， DF DE ，则E  度． 【答案】15 【解答】解： ABC是等边三角形，ACB60，ACD120，  CGCD， CDG30，FDE 150，  DF DE， E 15． 故答案为：15． 20．已知实数x， y 满足 |x4| y80 ，则以x， y 的值为两边长的等腰三角形的周 长是 ． 【答案】20 【解答】解：根据题意得，x40， y80 ， 解得x4， y8 ， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，  448， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长48820， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 21．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的 若AC 6，BC 5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】 76 【解答】解：设将AC 延长到点D，连接BD， 根据题意，得CD6212，BC 5． BCD90 BC2 CD2 BD2 ，即52 122 BD2 BD13 ADBD61319 这个风车的外围周长是19476． 故答案为：76 解答题必练 22．如图所示，四边形 ABCD中， AB3cm， AD4cm， BC 13cm，CD12cm， A90， 求四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接BD，  AB3cm，AD4cm，A90 1 S  346cm2 BD5cm， ABD 2 又 BD5cm，BC 13cm，CD12cm BD2 CD2 BC2 BDC 90 1 S  51230cm2 BDC 2 S S S 63036cm2 四边形ABCD ABD BDC ． 23．如图，在ABC 中，C 90，AD平分CAB，DE  AB于点E，点F 在AC 上， BEFC ．求证：BDDF．【解答】证明： AD平分BAC，DE  AB，C 90， DC DE， DC DE  C BED  在DCF和DEB中，CF BE ， DCF DEB， (SAS) ， BDDF ． 24．如图，在等边 ABC 中， D、 E分别在边 BC、 AC 上，且 DE//AB，过点 E作 EF DE 交BC的延长线于点F ． （1）求F的度数； （2）若CD2cm，求DF 的长． 【解答】解：（1） ABC是等边三角形， B60，  DE//AB， EDC B60，  EF DE， DEF 90， F 90EDC 30； （2） ACB60，EDC 60， EDC是等边三角形． EDDC 2(cm) ，  DEF 90，F 30， DF 2DE 4(cm) ． 25．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到 两个村庄距离相等即PC PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．【解答】解：如图，点P为所作． 26．如图， RtABC中， C 90， AD平分 CAB， DE  AB于 E，若 AC 6， BC 8，CD3． （1）求DE 的长； （2）求ADB的面积． 【解答】解：（1） AD平分CAB，DE  AB，C 90， CDDE，  CD3， DE 3； （2）在RtABC中，由勾股定理得：AB AC2 BC2  62 82 10， 1 1 SADB ABDE  10315 ADB的面积为 2 2 ． 27．如图，AB AC，A40，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D，求DBC的度数．【解答】解： AB AC ， 180A 18040 ABC ACB  70 2 2 ，  MN 垂直平分AB， DADB， AABD40， DBC ABCABD704030． 故答案为：30． 28．如图，在ABC 中，D是BC的中点，DE  AB，DF  AC，垂足分别是E，F ， BE CF．求证：AD是ABC 的角平分线． 【解答】证明： DE  AB，DF  AC， RtBDE和RtCDF是直角三角形． BDDC  BE CF ， RtBDERtCDF(HL) ， DEDF ，  DE  AB，DF  AC ，AD AD， RtADERtADF(HL) ，DAEDAF ， AD是ABC 的角平分线． 29．已知：点D是ABC 的边BC的中点，DE  AC，DF  AB，垂足分别为E，F ， 且BF CE．求证：ABC 是等腰三角形． 【解答】证明： D是BC的中点， BDCD，  DE  AC ，DF  AB， BDF 与CDE为直角三角形， 在RtBDF和RtCDE中， BF CE  BDCD ， RtBFDRtCED(HL) ， BC， AB AC ， ABC是等腰三角形． 30．如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形， A，C，D三点在同一直线上，连接 BD，AE，并延长AE交BD于F ． （1）求证：ACEBCD； （2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论． 【解答】（1）证明： ACB和ECD都是等腰直角三角形， AC BC，CECD，ACEBCD90，在ACE 和BCD， AC BC  ACEBCD  CECD ACE BCD(SAS) ； （2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为： 证明： ACE BCD， EAC DBC ， 又 DBCCDB90， EACCDB90， AFD90， AF BD， 即直线AE与BD互相垂直． 31．如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求ABC 的面积． （2）判断ABC 是什么形状？并说明理由． 【解答】解：（1）ABC 的面积4818223264213． 故ABC 的面积为13； （2）正方形小方格边长为1 AC  12 82  65，AB 32 22  13，BC  62 42 2 13， 在ABC 中，AB2 BC2 135265，AC2 65，AB2 BC2  AC2 ， 网格中的ABC 是直角三角形． 32．如图，在ABC 和DCB中，AD90，AC BD，AC 与BD相交于点O． （1）求证：ABC DCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论． 【解答】证明：（1）在ABC 和DCB中，AD90 AC BD，BC为公共边， RtABCRtDCB(HL) ； （2）OBC 是等腰三角形，  RtABCRtDCB， ACBDBC， OBOC ， OBC是等腰三角形． 33．如图，在ABC中，AB AC ，AD是高，AM 是ABC外角CAE的平分 线． （1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN ；（保留作图痕迹，不写作法和 证明） （2）设DN 与AM 交于点F ，判断ADF 的形状．（只写结果）【解答】解：（1）如图所示： （2）ADF 的形状是等腰直角三角形， 理由是： AB  AC，AD BC ， BADCAD， AF 平分EAC，  EAF FAC， 1 1 1 FADFACDAC  EAC BAC  18090  2 2 2 ， 即ADF 是直角三角形，  AB  AC， B ACB，  EAC 2EAF BACB， EAF B， AF //BC ， AFDFDC ， DF 平分ADC， ADF FDC AFD， AD AF， 即直角三角形ADF 是等腰直角三角形． 34．如图，在四边形 ABCD中，AD//BC ，E为CD的中点，连接 AE、BE ，BE  AE ， 延长AE交BC的延长线于点F ．求证： （1）FC  AD； （2）ABBC AD． 【解答】证明：（1） AD//BC（已知）， ADC ECF （两直线平行，内错角相等），  E 是CD的中点（已知）， DEEC（中点的定义）． 在ADE与FCE 中， ADCECF  DEEC  AEDCEF ， ADEFCE(ASA) ， FC  AD（全等三角形的性质）． （2） ADE FCE， AEEF，ADCF （全等三角形的对应边相等）， 又 BE  AF， BE是线段AF 的垂直平分线，ABBF BCCF ，  ADCF （已证）， ABBC AD（等量代换）． 35．如图，在 ABC 中， AB AC，点 D、 E、 F 分别在 AB、 BC、 AC 边上，且 BE CF，BDCE ． （1）求证：DEF 是等腰三角形； （2）当A40时，求DEF 的度数． 【解答】证明： AB AC ， ABC ACB， 在DBE和ECF 中 BECF  ABCACB  BDCE ， DBEECF ， DE EF ， DEF 是等腰三角形； （2） DBEECF ， 13，24，  ABC 180， 1 B (18040)70 2 12110 32110DEF 70 36．如图 ABC 是等边三角形， BD是中线，延长 BC到 E，使 CECD．求证： DBDE． 【解答】证明： ABC是等边三角形，BD是中线， ABC ACB60． DBC 30（等腰三角形三线合一）． 又 CE CD， CDECED． 又 BCDCDECED， 1 CDECED BCD30 2 ． DBC DEC． DBDE（等角对等边）． 37．如图：在ABC 中，C 90，AD是BAC的平分线，DE  AB于E，F 在AC 上， BDDF，证明： （1）CF EB． （2）AB AF 2EB． 【解答】证明：（1） AD是BAC的平分线，DE  AB，DC  AC， DEDC， 在RtCDF和RtEDB中，BDDF  DC DE ， RtCDFRtEDB(HL) ． CF EB； （2） AD是BAC的平分线，DE  AB，DC  AC， CDDE． 在RtADC与RtADE中， CDDE  AD AD ， RtADCRtADE(HL) ， AC  AE， AB AEBE  ACEB AF CF EB AF 2EB．