专题01三角形证明压轴题必练-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 01 三角形证明压轴题必练 选择题必练 1．如图，已知：MON 30，点 A 1、 A 2、 A 3  在射线ON 上，点 B 1、 B 2、 B 3  在射线 OM 上，△ A 1 B 1 A 2、△ A 2 B 2 A 3、△ A 3 B 3 A 4  均为等边三角形，若 OA 1 1 ，则△ A 6 B 6 A 7的 ( ) 边长为 A．6 B．12 C．32 D．64 2．如图，AD是ABC 的角平分线，DF  AB，垂足为F ，DE DG，ADG和AED ( ) 的面积分别为50和39，则EDF 的面积为 A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到 一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又 得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到 一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六 ( ) 边形的边长为1 1 1 1 1 1 1 1 ( )5a ( )5a ( )6a ( )6a A．3 2 B．2 3 C．3 2 D．2 3 填空题必练 4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别 S S S S S S S S  是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 1， 2， 3， 4，则 1 2 3 4 ． 5．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A(10,0) 、 C(0,4) ，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰 长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 6．如图，OP1，过 P作 PP 1 OP ，得 OP 1  2 ；再过 P 1作 P 1 P 2 OP 1且 P 1 P 2 1 ，得 OP 2  3 ；又过 P 2作 P 2 P 3 OP 2且 P 2 P 3 1 ，得 OP 3 2 ；依此法继续作下去，得 OP  2012 ．P 7．如图，图①是一块边长为1，周长记为 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边 1 长为2 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形 1 ) 纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的 2 后，得图③，④，，记第 n(n�3) P P P  块纸板的周长为 n，则 n n1 ． 8．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了 二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向 外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知 ACB 90，BAC 30， AB4． 作 PQR 使得R90，点 H 在边 QR 上， 点D，E在边PR上， 点G ，F 在边 PQ 上， 那么 PQR 的周长 等于 ． 9．如图，过边长为2的等边ABC 的边AB上点P作PE  AC于E， Q 为BC延长线上一点，当 PACQ 时，连 PQ 交AC 边于D，则DE 长为 ． 10．如图，以 AB为斜边的RtABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形 ABMN ， 正方形 BCPQ ，正方形 ACEF ，且边 EF 恰好经过点 N．若 S 3 S 4 6 ，则 S 1 S 5  ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如 S 3表示ABC 的面积） 解答题必练 11．如图1，点P、 Q 分别是边长为4cm的等边ABC 边AB、BC上的动点，点P从顶点 A，点 Q 从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接 AQ 、CP交于点M ，则在P、 Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； PBQ （2）何时 是直角三角形？（3）如图2，若点P、 Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线 AQ 、CP交 点为M ，则 CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 12．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪 以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积 法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2 b2 c2 ． 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF ，则DF EC ba． 1 1 S S S  b2  ab  四边形ADCB ACD ABC 2 2 ． 1 1 S S S  c2  aba 又  四边形ADCB ADB DCB 2 2 1 1 1 1 b2  ab c2  a(ba)  2 2 2 2 a2 b2 c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90． 求证：a2 b2 c2 证明：连接 ，则BF ba， S   五边形ACBED S  又 五边形ACBED  a2 b2 c2 ． 13．如图，四边形 ABCD中，B90， AB//CD，M 为BC边上的一点，且 AM 平分 BAD DM ADCBAD，DM 平分ADC．求证： （1）AM DM ； （2）M 为BC的中点． 14.已知：如图，在RtABC中，C 90，AB5cm，AC 3cm，动点P从点B出发沿 射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当ABP为等腰三角形时，求t的值． 15．如图，点O是等边ABC内一点．将BOC 绕点C按顺时针方向旋转60得 ADC ，连接OD．已知AOB 110． （1）求证：COD是等边三角形； （2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形．16．如图，ABC 中，ABBC  AC 12cm，现有两点M 、N分别从点A、点B同时出 发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一 次到达B点时，M 、N同时停止运动． （1）点M 、N运动几秒时，M 、N两点重合？ （2）点M 、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M 、N在BC边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在， 请求出此时M 、N运动的时间． 17．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A向C运动（与A、 C不重合）， Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运 动 (Q 不与B重合），过P作PE  AB于E，连接 PQ 交AB于D． （1）当 BQD30 时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化 请说明理由．18．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，如图，试 确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为 AB的中点时，如图1，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE  DB（填“”，“ ”或“” ) ． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“ ”或“” ) ．理 由如下：如图2，过点E作EF //BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC．若ABC 的 边长为1，AE2，求CD的长（请你直接写出结果）．19．已知ABC 中，AB AC． （1）如图1，在ADE中，若AD AE ，且DAE BAC ，求证：CDBE ； （2）如图 2，在 ADE中，若 DAEBAC 60，且CD垂直平分 AE， AD3， CD4，求BD的长； （3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H ，且BAC 2ADB时，试探究CD2 BD2，AH2之间的数量关系，并证明． 专题 01 三角形证明压轴题必练 选择题必练 1．如图，已知：MON 30，点 A 1、 A 2、 A 3  在射线ON 上，点 B 1、 B 2、 B 3  在射线 OM 上，△ A 1 B 1 A 2、△ A 2 B 2 A 3、△ A 3 B 3 A 4  均为等边三角形，若 OA 1 1 ，则△ A 6 B 6 A 7的 ( ) 边长为 A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】CAB A 【解答】解：△ 1 1 2是等边三角形， A 1 B 1  A 2 B 1，341260， 2120，  MON 30， 11801203030， 又 360， 5180603090，  MON 130， OA  AB 1 1 1 1 ， A B 1 2 1 ， A B A AB A △ 2 2 3、△ 3 3 4是等边三角形， 111060，1360，  41260， AB //A B //AB B A //B A 1 1 2 2 3 3， 1 2 2 3， 16730，5890， A B 2B A B A 2B A 2 2 1 2， 3 3 2 3， AB 4B A 4 3 3 1 2 ， A B 8B A 8 4 4 1 2 ， AB 16B A 16 5 5 1 2 ， A B 32B A 32 以此类推： 6 6 1 2 ． 故选：C．2．如图，AD是ABC 的角平分线，DF  AB，垂足为F ，DE DG，ADG和AED ( ) 的面积分别为50和39，则EDF 的面积为 A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【解答】解：作DM DE 交AC 于M ，作DN  AC 于点N，  DE DG， DM DG，  AD是ABC 的角平分线，DF  AB， DF DN ， 在RtDEF和RtDMN中， DN DF  DM DE ， RtDEFRtDMN(HL) ，  ADG 和AED的面积分别为50和39， S S S 503911 MDG ADG ADM ， 1 1 S S  S  115.5 DNM EDF 2 MDG 2 ． 故选：B．3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到 一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又 得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到 一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六 ( ) 边形的边长为 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )5a ( )5a ( )6a ( )6a A．3 2 B．2 3 C．3 2 D．2 3 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF 、DB． 六边形ABCDEF 是正六边形， ABC BAF AFE ，AB AF ，E C 120，EF DEBC CD， EFDEDF CBDBDC 30，  AFE ABC 120， AFDABD90， 在RtABD和RtAFD中 AF  AB  AD AD RtABDRtAFD(HL) ，1 BADFAD 12060 2 ， FADAFE60120180， AD//EF ，  G、I 分别为AF 、DE 中点， GI //EF //AD， FGI FAD60， 六边形ABCDEF 是正六边形， QKM 是等边三角形， EDM 60M ， EDEM ， AF QF 同理 ， AF QF EF EM 即 ， 等边三角形 QKM 的边长是a， 1 1 a 第一个正六边形ABCDEF 的边长是3 ，即等边三角形 QKM 的边长的3， 过F 作FZ GI 于Z ，过E作EN GI于N， 则FZ //EN ，  EF //GI ， 四边形FZNE 是平行四边形， 1 EF ZN  a 3 ， 1 1 1 1 GF  AF   a a  2 2 3 6 ，FGI 60（已证）， GFZ 30，1 1 GZ  GF  a 2 12 ， 1 IN  a 同理 12 ， 1 1 1 1 1 GI  a a a a a 12 3 12 2 ，即第二个等边三角形的边长是2 ，与上面求出的第一个正 1 1  a 六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是3 2 ； 1 1  a 同理第第三个等边三角形的边长是 2 2 ，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类 1 1 1   a 似，可求出第三个正六边形的边长是3 2 2 ； 1 1 1 1 1 1 1   a    a 同理第四个等边三角形的边长是2 2 2 ，第四个正六边形的边长是3 2 2 2 ； 1 1 1 1 1 1 1 1 1    a     a 第五个等边三角形的边长是2 2 2 2 ，第五个正六边形的边长是3 2 2 2 2 ； 1 1 1 1 1     a 第 六 个 等 边 三 角 形 的 边 长 是 2 2 2 2 2 ， 第 六 个 正 六 边 形 的 边 长 是 1 1 1 1 1 1      a 3 2 2 2 2 2 ， 1 1 ( )5a 即第六个正六边形的边长是3 2 ， 故选：A． 填空题必练 4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别 S S S S S S S S  是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 1， 2， 3， 4，则 1 2 3 4． 【答案】 4 【解答】 解：观察发现，  ABBE，ACBBDE 90， ABCBAC 90，ABCEBD90， BAC EBD， ABC BDE(AAS) ， BC ED，  AB2  AC2 BC2 ， AB2  AC2 ED2 S S 1 2， S S 1 即 1 2 ， S S 3 同理 3 4 ． S S S S 134 则 1 2 3 4 ． 故答案为：4． 5．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A(10,0) 、 C(0,4) ，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰 长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．(3,4) (2,4) (8,4) 【答案】 或 或 【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点， 此时OPPD5； （2）OD是等腰三角形的一条腰时： ①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角OPC 中，CP OP2 OC2  52 42 3，则P的坐标是 (3,4) ． ②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM BC于点M ， 在直角PDM 中，PM  PD2 DM2 3， 当P在M 的左边时，CP532，则P的坐标是 (2,4) ； 当P在M 的右侧时，CP538，则P的坐标是 (8,4) ． (3,4) (2,4) (8,4) 故P的坐标为： 或 或 ． (3,4) (2,4) (8,4) 故答案为： 或 或 ． 6．如图，OP1，过 P作 PP 1 OP ，得 OP 1  2 ；再过 P 1作 P 1 P 2 OP 1且 P 1 P 2 1 ，得 OP  2012 OP  3 P PP OP PP 1 OP 2  2 2 2 3 2 2 3 3OP 2  3 ；又过 P 2作 P 2 P 3 OP 2且 P 2 P 3 1 ，得 OP 3 2 ；依此法继续作下去，得 OP  2012 ． 【答案】 2013 OP  22 1 5 【解答】解：由勾股定理得： 4 ， OP  2 OP  3  1 ；得 2 ； OP  n1 依此类推可得 n ， OP  2013 2012 ， 故答案为： 2013． P 7．如图，图①是一块边长为1，周长记为 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边 1 长为2 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形 1 ) 纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的 2 后，得图③，④，，记第 n(n�3) P P P  块纸板的周长为 n，则 n n1 ．1 【答案】2n1 P 1113 【解答】解： 1 ， 1 5 P 11  2 2 2 ， 1 11 P 11 3 3 4 4 ， 1 1 23 P 11 2 3 4 4 8 8 ，  11 5 1 1 p  p     3 2 4 2 4 22 ； 23 11 1 1 P P     4 3 8 4 8 23 ，  1 P P  则 n n1 2n1 ， 1 故答案为：2n1 ． 8．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了 二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向 外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知 ACB 90，BAC 30， AB4． 作 PQR 使得R90，点 H 在边 QR 上， 点D，E在边PR上， 点G ，F 在边 PQ 上， 那么 PQR 的周长 等于 ． 2713 3 【答案】【解答】解： 延长BA交 QR 于点M ，连接AR，AP．  AC GC，BC  FC ，ACB GCF ， ABC GFC， CGF BAC 30， HGQ 60 ，  HAC BAD90， BACDAH 180， AD//QR 又 ， RHADAH 180， RHABAC 30， QHG 60 ， QQHG QGH 60 ， QHG 是等边三角形 ． 3 AC  AB cos304 2 3  2 ． QH  HA HG  AC 2 3 则 ． 3 HM  AH sin602 3 3  在直角HMA中， 2 ． AM  HA  cos60 3 ． 在直角AMR中，MR AD AB4． QR2 33472 3 ．QP2QR144 3 ． PRQR 3 7 36  ． PQR RPQPQR2713 3 的周长等于 ． 2713 3 故答案为： ． 9．如图，过边长为2的等边ABC 的边AB上点P作PE  AC于E， Q 为BC延长线上一 点，当 PACQ 时，连 PQ 交AC 边于D，则DE 长为 ． 【答案】1 【解答】解：过P做BC的平行线至AC 于F ， QFPD ， 等边ABC ， APF B60，AFPACB60， APF 是等边三角形，APPF ， APCQ ， APCQ  ， PF CQ ，在PFD和 QCD 中， FPDQ  PDF QDC  PF CQ ， PFDQCD(AAS) ， FDCD， PE  AC 于E，APF是等边三角形，AEEF， AEDC EF FD， 1 ED AC 2 ， AC 2， DE 1． 故答案为1． 10．如图，以 AB为斜边的RtABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形 ABMN ， 正方形 BCPQ ，正方形 ACEF ，且边 EF 恰好经过点 N．若 S 3 S 4 6 ，则 S 1 S 5  ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如 S 3表示ABC 的面积） 【答案】6 【解答】解：如图，连接 MQ ，作MGEC 于G ，设PC交BM 于T ，MN 交EC于W ．ABM CBQ90  ， ABC MBQ ，  BABM ， BC BQ ， ABC MBQ(SAS) ， ACBBQM 90 ， PQB90  ， M ，P， Q 共线， 四边形CGMP是矩形， MGPC BC，  BCT MGB90，BTCCBT 90， BQM CBT 90 ， MQGBTC ， MGW BCT(AAS) ， MW BT ，  MN BM ， NW MT ，可证NWE MTP， S S S 6 1 5 3 ， 解法二： AC2 BC2  AB2 ， S S S S S S S S S 1 2 左空 右空 5 3 4 左空 右空，S S S 6 1 5 4 故答案为6． 解答题必练 11．如图1，点P、 Q 分别是边长为4cm的等边ABC 边AB、BC上的动点，点P从顶点 A，点 Q 从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接 AQ 、CP交于点M ，则在P、 Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； PBQ （2）何时 是直角三角形？ （3）如图2，若点P、 Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线 AQ 、CP交 点为M ，则 CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． CMQ60 【解答】解：（1） 不变． 等边三角形中，AB AC，BCAP60 APBQ 又由条件得 ， ABQCAP(SAS) ， BAQACP ，CMQACPCAM BAQCAM BAC 60 ． （2）设时间为t，则 APBQt ，PB4t PQB90 ①当 时，  B60， 4 t  PB2BQ ，得4t 2t， 3 ； BPQ90 ②当 时，  B60， 8 t  BQ2BP ，得 t 2(4t) ， 3； 4 8 当第3 秒或第3秒时， PBQ 为直角三角形． CMQ120 （3） 不变． 在等边三角形中，BC  AC ，BCAP60 PBC ACQ120 ， BPCQ 又由条件得 ， PBC QCA(SAS) BPC MQC PCBMCQ 又 ， CMQPBC 18060120 12．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪 以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积 法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2 b2 c2 ． 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF ，则DF EC ba． 1 1 S S S  b2  ab  四边形ADCB ACD ABC 2 2 ． 1 1 S S S  c2  aba 又  四边形ADCB ADB DCB 2 2 1 1 1 1 b2  ab c2  a(ba)  2 2 2 2 a2 b2 c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90． 求证：a2 b2 c2 证明：连接 ，则BF ba， S   五边形ACBED S  又 五边形ACBED  a2 b2 c2 ． 【解答】证明：连接BD，过点B作DE 边上的高BF ，则BF ba， 1 1 1 S S S S  ab b2  ab  五边形ACBED ACB ABE ADE 2 2 2 ， 1 1 1 S S S S  ab c2  aba 又  五边形ACBED ACB ABD BDE 2 2 2 ，1 1 1 1 1 1 ab b2  ab ab c2  a(ba)  2 2 2 2 2 2 ， a2 b2 c2 ． 13．如图，四边形 ABCD中，B90， AB//CD，M 为BC边上的一点，且 AM 平分 BAD，DM 平分ADC．求证： （1）AM DM ； （2）M 为BC的中点． 【解答】解：（1） AB//CD， BADADC 180，  AM 平分BAD，DM 平分ADC， 2MAD2ADM 180， MADADM 90， AMD90， 即AM DM ； （2）作NM  AD交AD于N，  B90，AB//CD， BM  AB，CM CD，  AM 平分BAD，DM 平分ADC， BM MN ，MN CM ，BM CM ， 即M 为BC的中点． 14.已知：如图，在RtABC中，C 90，AB5cm，AC 3cm，动点P从点B出发沿 射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当ABP为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）在RtABC中，BC2  AB2 AC2 52 32 16， BC 4(cm) ； （2）由题意知BPtcm， ①当APB为直角时，点P与点C重合，BPBC 4cm，即t 4； ②当BAP为直角时，BPtcm， CP(t4)cm ，AC 3cm， 在RtACP中， AP2 32 (t4)2 ， 在RtBAP中，AB2  AP2 BP2， 52 [32 (t4)2]t2 即： ， 25 t  解得： 4 ，25 t  故当ABP为直角三角形时，t 4或 4 ； （3）①当ABBP时，t5； ②当AB AP时，BP2BC 8cm，t8； ③当BP AP时，APBPtcm， CP(4t)cm ，AC 3cm， 在RtACP中，AP2  AC2 CP2 ， t2 32 (4t)2 所以 ， 25 t  解得： 8 ， 25 t  综上所述：当ABP为等腰三角形时，t5或t8或 8 ． 15．如图，点O是等边ABC内一点．将BOC 绕点C按顺时针方向旋转60得 ADC ，连接OD．已知AOB 110． （1）求证：COD是等边三角形； （2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形．【解答】（1）证明： CO CD，OCD60， COD是等边三角形；（3分） （2）解：当150，即BOC 150时，AOD是直角三角形．（5分）  BOC  ADC ， ADC BOC 150， 又 COD是等边三角形， ODC 60， ADO 90， 即AOD是直角三角形；（7分） （3）解：①要使AO  AD，需AODADO．  AOD360AOBCOD36011060190， ADO60， 19060 125；②要使OAOD，需OADADO．  AOD 190，ADO60， OAD180(AODADO)50 ， 6050 110； ③要使OD  AD，需OADAOD． 19050  140． 综上所述：当的度数为125，或110，或140时，AOD是等腰三角形． （12分） 16．如图，ABC 中，ABBC  AC 12cm，现有两点M 、N分别从点A、点B同时出 发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一 次到达B点时，M 、N同时停止运动． （1）点M 、N运动几秒时，M 、N两点重合？ （2）点M 、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M 、N在BC边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在， 请求出此时M 、N运动的时间． 【解答】解：（1）设点M 、N运动x秒时，M 、N两点重合， x1122x， 解得：x12；（2）设点M 、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM t1t，AN  ABBN 122t， 三角形AMN是等边三角形， t 122t， 解得t 4， 点M 、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M 、N在BC边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M 、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设AMN是等腰三角形， AN  AM ， AMN ANM ， AMC ANB，  ABBC  AC ， ACB是等边三角形， C B， 在ACM 和ABN 中， AMC ANB  BC   AC  AB ， ACM ABN(AAS) ， CM BN ， 设当点M 、N在BC边上运动时，M 、N运动的时间 y 秒时，AMN是等腰三角形， CM  y12 ， NB362y ，CM NB， y12362y ， y16 解得： ．故假设成立． 当点M 、N在BC边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N 运动的时间为16秒．17．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A向C运动（与A、 C不重合）， Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运 (Q PQ 动 不与B重合），过P作PE  AB于E，连接 交AB于D． （1）当 BQD30 时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化 请说明理由． 【解答】解：（1） ABC是边长为6的等边三角形， ACB60， BQD30  ，QPC 90 ， 设APx，则PC 6x， QBx ， QC QBBC 6x ， RtQCP BQD30 在 中， ， 1 1 PC  QC 6x (6x) 2 ，即 2 ，解得x2， AP2； （2）解法一：当点P、 Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变．理由如下： PF //QC 过P作 ， AFP是等边三角形，  P、 Q 同时出发、速度相同，即 BQ AP ， BQPF ， DBQDFP(AAS) ， BDDF ， 而APF是等边三角形，PE  AF ，  AE EF， DE(BD AE) AB6 又 ， DE(DF EF)6 ，即DEDE 6DE3为定值， 即DE 的长不变．Q 解法二：当点P、 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF  AB ，交直线AB于点F ，连接 QE ，PF ， 又 PE  AB于E， DFQAEP90 ， Q 点P、 速度相同， APBQ ，  ABC是等边三角形， AABC FBQ60 ， 在APE和 BQF 中， AEPBFQ90  ， APE BQF ， AEPBFQ  AFBQ  APBQ ， APE BQF(AAS) ， AEBF， PE QF 且 PE//QF ， PEQF 四边形 是平行四边形， 1 DE  EF 2 ，  EB AE BEBF  AB， 1 DE  AB 2 ， 又等边ABC 的边长为6， DE 3，Q 点P、 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变． 18．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，如图，试 确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为 AB的中点时，如图1，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE  DB（填“”，“ ”或“” ) ． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“ ”或“” ) ．理 由如下：如图2，过点E作EF //BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC．若ABC 的 边长为1，AE2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【解答】解：（1）故答案为：． （2）过E作EF //BC 交AC 于F ， 等边三角形ABC，ABC ACBA60，AB AC BC， AEF ABC 60，AFE ACB60， 即AEF AFE A60， AEF 是等边三角形， AE EF  AF ，  ABC ACBAFE60， DBEEFC 120，DBEDFCEECD60，  DEEC， DECD， BEDECF ， 在DEB和ECF 中 DEBECF  DBEEFC  DECE ， DEBECF， BDEF  AE， 即AEBD， 故答案为：． （3）解：CD1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM BC 于M ，过E作EN BC于N， 则AM //EN ，  ABC是等边三角形， ABBC  AC 1，  AM BC， 1 1 BM CM  BC  2 2 ， DECE ，EN BC ， CD2CN ，  AB1，AE2， ABBE1，  EN DC，AM BC ， AMBENB90， 在ABM 和EBN 中， ABM EBN  AMBENB  ABBE ， AMBENB(AAS) ， 1 BN BM  2， 1 3 CN 1  2 2， CD2CN 3； ②如图2，作AM BC 于M ，过E作EN BC 于N， 则AM //EN ，  ABC是等边三角形， ABBC  AC 1，  AM BC， 1 1 BM CM  BC  2 2 ，  DECE ，EN BC ，CD2CN ，  AM //EN ， AB BM   AE MN ， 1 1 2   2 MN ， MN 1， 1 1 CN 1  2 2， CD2CN 1， 即CD3或1． 19．已知ABC 中，AB AC． （1）如图1，在ADE中，若AD AE ，且DAE BAC ，求证：CDBE ； （2）如图 2，在 ADE中，若 DAEBAC 60，且CD垂直平分 AE， AD3， CD4，求BD的长； （3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H ，且BAC 2ADB时，试探究CD2 BD2，AH2之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）如图1，证明： DAE BAC， DAECAEBACCAE ， 即DAC BAE ． 在ACD与ABE中，AD AE  DACBAE  AC  AB ， ACDABE(SAS) ， CDBE； （2）连接BE ，  CD垂直平分AE ADDE，  DAE60， ADE 是等边三角形， 1 1 CDA ADE  6030 2 2 ，  ABE ACD， BECD4，BEACDA30， BE DE ，DE  AD3， BD5； （3）如图，过B作BF BD，且BF  AE，连接DF ， 则四边形ABFE是平行四边形， ABEF ， 设AEF x， AED y ， FEDx y 则 ， BAE180x， EADAED y ， BAC 2ADB1802y ， CAD360BACBAEEAD360(1802y)(180x) y x y ，FEDCAD， 在ACD和EFD中， AC FE  FEDCAD  ADED ， ACDEFD(SAS) ， CDDF ， 而BD2 BF2 DF2， CD2 BD2 4AH2 ．