专题01三角形证明压轴题必练-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 01 三角形证明压轴题必练
选择题必练
1．如图，已知：MON 30，点 A 1、 A 2、 A 3  在射线ON 上，点 B 1、 B 2、 B 3  在射线
OM 上，△ A 1 B 1 A 2、△ A 2 B 2 A 3、△ A 3 B 3 A 4  均为等边三角形，若 OA 1 1 ，则△ A 6 B 6 A 7的
( )
边长为
A．6 B．12 C．32 D．64
2．如图，AD是ABC 的角平分线，DF  AB，垂足为F ，DE DG，ADG和AED
( )
的面积分别为50和39，则EDF 的面积为
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到
一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又
得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到
一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六
( )
边形的边长为1 1 1 1 1 1 1 1
( )5a ( )5a ( )6a ( )6a
A．3 2 B．2 3 C．3 2 D．2 3
填空题必练
4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别
S S S S S S S S 
是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 1， 2， 3， 4，则 1 2 3 4
．
5．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A、C
的坐标分别为 A(10,0) 、 C(0,4) ，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰
长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
6．如图，OP1，过 P作 PP 1 OP ，得 OP 1  2 ；再过 P 1作 P 1 P 2 OP 1且 P 1 P 2 1 ，得
OP 2  3 ；又过 P 2作 P 2 P 3 OP 2且 P 2 P 3 1 ，得 OP 3 2 ；依此法继续作下去，得
OP 
2012 ．P
7．如图，图①是一块边长为1，周长记为 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边
1
长为2 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形
1
)
纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的 2 后，得图③，④，，记第
n(n�3) P P P 
块纸板的周长为 n，则 n n1 ．
8．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了
二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向
外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知
ACB 90，BAC 30， AB4． 作 PQR 使得R90，点 H 在边
QR 上， 点D，E在边PR上， 点G ，F 在边 PQ 上， 那么 PQR 的周长
等于 ．
9．如图，过边长为2的等边ABC 的边AB上点P作PE  AC于E， Q 为BC延长线上一点，当 PACQ 时，连 PQ 交AC 边于D，则DE 长为 ．
10．如图，以 AB为斜边的RtABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形 ABMN ，
正方形 BCPQ ，正方形 ACEF ，且边 EF 恰好经过点 N．若 S 3 S 4 6 ，则 S 1 S 5 
．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如 S 3表示ABC 的面积）
解答题必练
11．如图1，点P、 Q 分别是边长为4cm的等边ABC 边AB、BC上的动点，点P从顶点
A，点 Q 从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接 AQ 、CP交于点M ，则在P、 Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
PBQ
（2）何时 是直角三角形？（3）如图2，若点P、 Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线 AQ 、CP交
点为M ，则 CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
12．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪
以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积
法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2 b2 c2
．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF ，则DF EC ba．
1 1
S S S  b2  ab
 四边形ADCB ACD ABC 2 2 ．
1 1
S S S  c2  aba
又  四边形ADCB ADB DCB 2 2
1 1 1 1
b2  ab c2  a(ba)
 2 2 2 2
a2 b2 c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90．
求证：a2 b2 c2
证明：连接 ，则BF ba，
S 
 五边形ACBED
S 
又 五边形ACBED

a2 b2 c2
．
13．如图，四边形 ABCD中，B90， AB//CD，M 为BC边上的一点，且 AM 平分
BAD DM ADCBAD，DM 平分ADC．求证：
（1）AM DM ；
（2）M 为BC的中点．
14.已知：如图，在RtABC中，C 90，AB5cm，AC 3cm，动点P从点B出发沿
射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当ABP为等腰三角形时，求t的值．
15．如图，点O是等边ABC内一点．将BOC 绕点C按顺时针方向旋转60得
ADC ，连接OD．已知AOB 110．
（1）求证：COD是等边三角形；
（2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形．16．如图，ABC 中，ABBC  AC 12cm，现有两点M 、N分别从点A、点B同时出
发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一
次到达B点时，M 、N同时停止运动．
（1）点M 、N运动几秒时，M 、N两点重合？
（2）点M 、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M 、N在BC边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，
请求出此时M 、N运动的时间．
17．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A向C运动（与A、
C不重合）， Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运
动 (Q 不与B重合），过P作PE  AB于E，连接 PQ 交AB于D．
（1）当 BQD30 时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化
请说明理由．18．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，如图，试
确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为 AB的中点时，如图1，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE  DB（填“”，“ ”或“” ) ．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“ ”或“” ) ．理
由如下：如图2，过点E作EF //BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC．若ABC 的
边长为1，AE2，求CD的长（请你直接写出结果）．19．已知ABC 中，AB AC．
（1）如图1，在ADE中，若AD AE ，且DAE BAC ，求证：CDBE ；
（2）如图 2，在 ADE中，若 DAEBAC 60，且CD垂直平分 AE， AD3，
CD4，求BD的长；
（3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H ，且BAC 2ADB时，试探究CD2
BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
专题 01 三角形证明压轴题必练
选择题必练
1．如图，已知：MON 30，点 A 1、 A 2、 A 3  在射线ON 上，点 B 1、 B 2、 B 3  在射线
OM 上，△ A 1 B 1 A 2、△ A 2 B 2 A 3、△ A 3 B 3 A 4  均为等边三角形，若 OA 1 1 ，则△ A 6 B 6 A 7的
( )
边长为
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】CAB A
【解答】解：△ 1 1 2是等边三角形，
A
1
B
1
 A
2
B 1，341260，
2120，

MON 30，
11801203030，
又 360，
5180603090，

MON 130，
OA  AB 1
1 1 1 ，
A B 1
2 1 ，
A B A AB A
△ 2 2 3、△ 3 3 4是等边三角形，
111060，1360，

41260，
AB //A B //AB B A //B A
1 1 2 2 3 3， 1 2 2 3，
16730，5890，
A B 2B A B A 2B A
2 2 1 2， 3 3 2 3，
AB 4B A 4
3 3 1 2 ，
A B 8B A 8
4 4 1 2 ，
AB 16B A 16
5 5 1 2 ，
A B 32B A 32
以此类推： 6 6 1 2 ．
故选：C．2．如图，AD是ABC 的角平分线，DF  AB，垂足为F ，DE DG，ADG和AED
( )
的面积分别为50和39，则EDF 的面积为
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【解答】解：作DM DE 交AC 于M ，作DN  AC 于点N，

DE DG，
DM DG，

AD是ABC 的角平分线，DF  AB，
DF DN ，
在RtDEF和RtDMN中，
DN DF

DM DE
，
RtDEFRtDMN(HL)
，
 ADG 和AED的面积分别为50和39，
S S S 503911
MDG ADG ADM ，
1 1
S S  S  115.5
DNM EDF 2 MDG 2 ．
故选：B．3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到
一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又
得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到
一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六
( )
边形的边长为
1 1 1 1 1 1 1 1
( )5a ( )5a ( )6a ( )6a
A．3 2 B．2 3 C．3 2 D．2 3
【答案】A
【解答】解：连接AD、DF 、DB．
六边形ABCDEF 是正六边形，
ABC BAF AFE ，AB AF ，E C 120，EF DEBC CD，
EFDEDF CBDBDC 30，

AFE ABC 120，
AFDABD90，
在RtABD和RtAFD中
AF  AB

AD AD
RtABDRtAFD(HL)
，1
BADFAD 12060
2 ，
FADAFE60120180，
AD//EF ，
 G、I 分别为AF 、DE 中点，
GI //EF //AD，
FGI FAD60，
六边形ABCDEF 是正六边形， QKM 是等边三角形，
EDM 60M ，
EDEM ，
AF QF
同理 ，
AF QF EF EM
即 ，
等边三角形 QKM 的边长是a，
1 1
a
第一个正六边形ABCDEF 的边长是3 ，即等边三角形 QKM 的边长的3，
过F 作FZ GI 于Z ，过E作EN GI于N，
则FZ //EN ，
 EF //GI ，
四边形FZNE 是平行四边形，
1
EF ZN  a
3 ，
1 1 1 1
GF  AF   a a

2 2 3 6 ，FGI 60（已证），
GFZ 30，1 1
GZ  GF  a
2 12 ，
1
IN  a
同理 12 ，
1 1 1 1 1
GI  a a a a a
12 3 12 2 ，即第二个等边三角形的边长是2 ，与上面求出的第一个正
1 1
 a
六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是3 2 ；
1 1
 a
同理第第三个等边三角形的边长是 2 2 ，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类
1 1 1
  a
似，可求出第三个正六边形的边长是3 2 2 ；
1 1 1 1 1 1 1
  a    a
同理第四个等边三角形的边长是2 2 2 ，第四个正六边形的边长是3 2 2 2 ；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
   a     a
第五个等边三角形的边长是2 2 2 2 ，第五个正六边形的边长是3 2 2 2 2 ；
1 1 1 1 1
    a
第 六 个 等 边 三 角 形 的 边 长 是 2 2 2 2 2 ， 第 六 个 正 六 边 形 的 边 长 是
1 1 1 1 1 1
     a
3 2 2 2 2 2 ，
1 1
( )5a
即第六个正六边形的边长是3 2 ，
故选：A．
填空题必练
4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别
S S S S S S S S 
是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 1， 2， 3， 4，则 1 2 3 4．
【答案】 4
【解答】
解：观察发现，

ABBE，ACBBDE 90，
ABCBAC 90，ABCEBD90，
BAC EBD，
ABC BDE(AAS)
，
BC ED，
 AB2  AC2 BC2 ，
AB2  AC2 ED2 S S
1 2，
S S 1
即 1 2 ，
S S 3
同理 3 4 ．
S S S S 134
则 1 2 3 4 ．
故答案为：4．
5．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A、C
的坐标分别为 A(10,0) 、 C(0,4) ，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰
长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．(3,4) (2,4) (8,4)
【答案】 或 或
【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，
此时OPPD5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角OPC 中，CP OP2 OC2  52 42 3，则P的坐标是 (3,4) ．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM BC于点M ，
在直角PDM 中，PM  PD2 DM2 3，
当P在M 的左边时，CP532，则P的坐标是 (2,4) ；
当P在M 的右侧时，CP538，则P的坐标是 (8,4) ．
(3,4) (2,4) (8,4)
故P的坐标为： 或 或 ．
(3,4) (2,4) (8,4)
故答案为： 或 或 ．
6．如图，OP1，过 P作 PP 1 OP ，得 OP 1  2 ；再过 P 1作 P 1 P 2 OP 1且 P 1 P 2 1 ，得
OP 
2012
OP  3 P PP OP PP 1 OP 2 
2 2 2 3 2 2 3 3OP 2  3 ；又过 P 2作 P 2 P 3 OP 2且 P 2 P 3 1 ，得 OP 3 2 ；依此法继续作下去，得
OP 
2012 ．
【答案】 2013
OP  22 1 5
【解答】解：由勾股定理得： 4 ，
OP  2 OP  3
 1 ；得 2 ；
OP  n1
依此类推可得 n ，
OP  2013
2012 ，
故答案为： 2013．
P
7．如图，图①是一块边长为1，周长记为 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边
1
长为2 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形
1
)
纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的 2 后，得图③，④，，记第
n(n�3) P P P 
块纸板的周长为 n，则 n n1 ．1
【答案】2n1
P 1113
【解答】解： 1 ，
1 5
P 11 
2 2 2 ，
1 11
P 11 3
3 4 4 ，
1 1 23
P 11 2 3
4 4 8 8 ，

11 5 1 1
p  p    
3 2 4 2 4 22 ；
23 11 1 1
P P    
4 3 8 4 8 23 ，

1
P P 
则
n n1 2n1
，
1
故答案为：2n1
．
8．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了
二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向
外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知
ACB 90，BAC 30， AB4． 作 PQR 使得R90，点 H 在边
QR 上， 点D，E在边PR上， 点G ，F 在边 PQ 上， 那么 PQR 的周长
等于 ．
2713 3
【答案】【解答】解： 延长BA交 QR 于点M ，连接AR，AP．
 AC GC，BC  FC ，ACB GCF ，
ABC GFC，
CGF BAC 30，
HGQ 60
，

HAC BAD90，
BACDAH 180，
AD//QR
又 ，
RHADAH 180，
RHABAC 30，
QHG 60
，
QQHG QGH 60
，
QHG
是等边三角形 ．
3
AC  AB cos304 2 3

2 ．
QH  HA HG  AC 2 3
则 ．
3
HM  AH sin602 3 3

在直角HMA中， 2 ． AM  HA  cos60 3 ．
在直角AMR中，MR AD AB4．
QR2 33472 3
．QP2QR144 3
．
PRQR 3 7 36
 ．
PQR RPQPQR2713 3
的周长等于 ．
2713 3
故答案为： ．
9．如图，过边长为2的等边ABC 的边AB上点P作PE  AC于E， Q 为BC延长线上一
点，当 PACQ 时，连 PQ 交AC 边于D，则DE 长为 ．
【答案】1
【解答】解：过P做BC的平行线至AC 于F ，
QFPD
，
等边ABC ，
APF B60，AFPACB60，
APF 是等边三角形，APPF ，
APCQ
，
APCQ
 ，
PF CQ
，在PFD和
QCD
中，
FPDQ

PDF QDC

PF CQ
，
PFDQCD(AAS)
，
FDCD， PE  AC 于E，APF是等边三角形，AEEF，
AEDC EF FD，
1
ED AC
2 ， AC 2，
DE 1．
故答案为1．
10．如图，以 AB为斜边的RtABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形 ABMN ，
正方形 BCPQ ，正方形 ACEF ，且边 EF 恰好经过点 N．若 S 3 S 4 6 ，则 S 1 S 5 
．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如 S 3表示ABC 的面积）
【答案】6
【解答】解：如图，连接 MQ ，作MGEC 于G ，设PC交BM 于T ，MN 交EC于W ．ABM CBQ90
 ，
ABC MBQ
，
 BABM ， BC BQ ，
ABC MBQ(SAS)
，
ACBBQM 90
，
PQB90
 ，
M ，P， Q 共线，
四边形CGMP是矩形，
MGPC BC，
 BCT MGB90，BTCCBT 90， BQM CBT 90 ，
MQGBTC
，
MGW BCT(AAS)
，
MW BT ，
 MN BM ，
NW MT ，可证NWE MTP，
S S S 6
1 5 3 ，
解法二： AC2 BC2  AB2 ，
S S S S S S S S S
1 2 左空 右空 5 3 4 左空 右空，S S S 6
1 5 4
故答案为6．
解答题必练
11．如图1，点P、 Q 分别是边长为4cm的等边ABC 边AB、BC上的动点，点P从顶点
A，点 Q 从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接 AQ 、CP交于点M ，则在P、 Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
PBQ
（2）何时 是直角三角形？
（3）如图2，若点P、 Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线 AQ 、CP交
点为M ，则 CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
CMQ60
【解答】解：（1） 不变．
等边三角形中，AB AC，BCAP60
APBQ
又由条件得 ，
ABQCAP(SAS)
，
BAQACP
，CMQACPCAM BAQCAM BAC 60
．
（2）设时间为t，则 APBQt ，PB4t
PQB90
①当 时，

B60，
4
t 
PB2BQ ，得4t 2t， 3 ；
BPQ90
②当 时，

B60，
8
t 
BQ2BP ，得 t 2(4t) ， 3；
4 8
当第3 秒或第3秒时， PBQ 为直角三角形．
CMQ120
（3） 不变．
在等边三角形中，BC  AC ，BCAP60
PBC ACQ120
，
BPCQ
又由条件得 ，
PBC QCA(SAS)
BPC MQC
PCBMCQ
又 ，
CMQPBC 18060120
12．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪
以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积
法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2 b2 c2
．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF ，则DF EC ba．
1 1
S S S  b2  ab
 四边形ADCB ACD ABC 2 2 ．
1 1
S S S  c2  aba
又  四边形ADCB ADB DCB 2 2
1 1 1 1
b2  ab c2  a(ba)
 2 2 2 2
a2 b2 c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90．
求证：a2 b2 c2
证明：连接 ，则BF ba，
S 
 五边形ACBED
S 
又 五边形ACBED

a2 b2 c2
．
【解答】证明：连接BD，过点B作DE 边上的高BF ，则BF ba，
1 1 1
S S S S  ab b2  ab
 五边形ACBED ACB ABE ADE 2 2 2 ，
1 1 1
S S S S  ab c2  aba
又  五边形ACBED ACB ABD BDE 2 2 2 ，1 1 1 1 1 1
ab b2  ab ab c2  a(ba)
 2 2 2 2 2 2 ，
a2 b2 c2
．
13．如图，四边形 ABCD中，B90， AB//CD，M 为BC边上的一点，且 AM 平分
BAD，DM 平分ADC．求证：
（1）AM DM ；
（2）M 为BC的中点．
【解答】解：（1） AB//CD，
BADADC 180，

AM 平分BAD，DM 平分ADC，
2MAD2ADM 180，
MADADM 90，
AMD90，
即AM DM ；
（2）作NM  AD交AD于N，

B90，AB//CD，
BM  AB，CM CD，

AM 平分BAD，DM 平分ADC，
BM MN ，MN CM ，BM CM ，
即M 为BC的中点．
14.已知：如图，在RtABC中，C 90，AB5cm，AC 3cm，动点P从点B出发沿
射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）在RtABC中，BC2  AB2 AC2 52 32 16，
BC 4(cm)
；
（2）由题意知BPtcm，
①当APB为直角时，点P与点C重合，BPBC 4cm，即t 4；
②当BAP为直角时，BPtcm， CP(t4)cm ，AC 3cm，
在RtACP中，
AP2 32 (t4)2
，
在RtBAP中，AB2  AP2 BP2，
52 [32 (t4)2]t2
即： ，
25
t 
解得： 4 ，25
t 
故当ABP为直角三角形时，t 4或 4 ；
（3）①当ABBP时，t5；
②当AB AP时，BP2BC 8cm，t8；
③当BP AP时，APBPtcm， CP(4t)cm ，AC 3cm，
在RtACP中，AP2  AC2 CP2 ，
t2 32 (4t)2
所以 ，
25
t 
解得： 8 ，
25
t 
综上所述：当ABP为等腰三角形时，t5或t8或 8 ．
15．如图，点O是等边ABC内一点．将BOC 绕点C按顺时针方向旋转60得
ADC ，连接OD．已知AOB 110．
（1）求证：COD是等边三角形；
（2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形．【解答】（1）证明： CO CD，OCD60，
COD是等边三角形；（3分）
（2）解：当150，即BOC 150时，AOD是直角三角形．（5分）
 BOC  ADC ，
ADC BOC 150，
又 COD是等边三角形，
ODC 60，
ADO 90，
即AOD是直角三角形；（7分）
（3）解：①要使AO  AD，需AODADO．

AOD360AOBCOD36011060190，
ADO60，
19060
125；②要使OAOD，需OADADO．

AOD 190，ADO60，
OAD180(AODADO)50
，
6050
110；
③要使OD  AD，需OADAOD．
19050

140．
综上所述：当的度数为125，或110，或140时，AOD是等腰三角形．
（12分）
16．如图，ABC 中，ABBC  AC 12cm，现有两点M 、N分别从点A、点B同时出
发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一
次到达B点时，M 、N同时停止运动．
（1）点M 、N运动几秒时，M 、N两点重合？
（2）点M 、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M 、N在BC边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，
请求出此时M 、N运动的时间．
【解答】解：（1）设点M 、N运动x秒时，M 、N两点重合，
x1122x，
解得：x12；（2）设点M 、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM t1t，AN  ABBN 122t，
三角形AMN是等边三角形，
t 122t，
解得t 4，
点M 、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M 、N在BC边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M 、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设AMN是等腰三角形，
AN  AM ，
AMN ANM ，
AMC ANB，
 ABBC  AC ，
ACB是等边三角形，
C B，
在ACM 和ABN 中，
AMC ANB

BC


AC  AB
，
ACM ABN(AAS)
，
CM BN ，
设当点M 、N在BC边上运动时，M 、N运动的时间 y 秒时，AMN是等腰三角形，
CM  y12 ， NB362y ，CM NB，
y12362y
，
y16
解得： ．故假设成立．
当点M 、N在BC边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N
运动的时间为16秒．17．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A向C运动（与A、
C不重合）， Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运
(Q PQ
动 不与B重合），过P作PE  AB于E，连接 交AB于D．
（1）当 BQD30 时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化
请说明理由．
【解答】解：（1） ABC是边长为6的等边三角形，
ACB60，
BQD30
 ，QPC 90
，
设APx，则PC 6x， QBx ，
QC QBBC 6x
，
RtQCP BQD30
在 中， ，
1 1
PC  QC 6x (6x)
2 ，即 2 ，解得x2，
AP2；
（2）解法一：当点P、 Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：
PF //QC
过P作 ，
AFP是等边三角形，
 P、 Q 同时出发、速度相同，即 BQ AP ，
BQPF
，
DBQDFP(AAS)
，
BDDF ，
而APF是等边三角形，PE  AF ，

AE EF，
DE(BD AE) AB6
又 ，
DE(DF EF)6 ，即DEDE 6DE3为定值，
即DE 的长不变．Q
解法二：当点P、 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：
作 QF  AB ，交直线AB于点F ，连接 QE ，PF ，
又 PE  AB于E，
DFQAEP90
，
Q
点P、 速度相同，
APBQ
，

ABC是等边三角形，
AABC FBQ60
，
在APE和
BQF
中，
AEPBFQ90
 ，
APE BQF
，
AEPBFQ

AFBQ

APBQ
，
APE BQF(AAS)
，
AEBF， PE QF 且 PE//QF ，
PEQF
四边形 是平行四边形，
1
DE  EF
2 ，

EB AE BEBF  AB，
1
DE  AB
2 ，
又等边ABC 的边长为6，
DE 3，Q
点P、 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变．
18．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，如图，试
确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为 AB的中点时，如图1，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE  DB（填“”，“ ”或“” ) ．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“ ”或“” ) ．理
由如下：如图2，过点E作EF //BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC．若ABC 的
边长为1，AE2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【解答】解：（1）故答案为：．
（2）过E作EF //BC 交AC 于F ，
等边三角形ABC，ABC ACBA60，AB AC BC，
AEF ABC 60，AFE ACB60，
即AEF AFE A60，
AEF 是等边三角形，
AE EF  AF ，

ABC ACBAFE60，
DBEEFC 120，DBEDFCEECD60，

DEEC，
DECD，
BEDECF ，
在DEB和ECF 中
DEBECF

DBEEFC

DECE
，
DEBECF，
BDEF  AE，
即AEBD，
故答案为：．
（3）解：CD1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM BC 于M ，过E作EN BC于N，
则AM //EN ，

ABC是等边三角形，
ABBC  AC 1，

AM BC，
1 1
BM CM  BC 
2 2 ， DECE ，EN BC ，
CD2CN ，

AB1，AE2，
ABBE1，
 EN DC，AM BC ，
AMBENB90，
在ABM 和EBN 中，
ABM EBN

AMBENB

ABBE
，
AMBENB(AAS)
，
1
BN BM 
2，
1 3
CN 1 
2 2，
CD2CN 3；
②如图2，作AM BC 于M ，过E作EN BC 于N，
则AM //EN ，

ABC是等边三角形，
ABBC  AC 1，

AM BC，
1 1
BM CM  BC 
2 2 ，
 DECE ，EN BC ，CD2CN ，
 AM //EN ，
AB BM

 AE MN ，
1
1 2

 2 MN ，
MN 1，
1 1
CN 1 
2 2，
CD2CN 1，
即CD3或1．
19．已知ABC 中，AB AC．
（1）如图1，在ADE中，若AD AE ，且DAE BAC ，求证：CDBE ；
（2）如图 2，在 ADE中，若 DAEBAC 60，且CD垂直平分 AE， AD3，
CD4，求BD的长；
（3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H ，且BAC 2ADB时，试探究CD2
BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）如图1，证明： DAE BAC，
DAECAEBACCAE ，
即DAC BAE ．
在ACD与ABE中，AD AE

DACBAE

AC  AB
，
ACDABE(SAS)
，
CDBE；
（2）连接BE ，

CD垂直平分AE
ADDE，

DAE60，
ADE 是等边三角形，
1 1
CDA ADE  6030
2 2 ，

ABE ACD，
BECD4，BEACDA30，
BE DE ，DE  AD3，
BD5；
（3）如图，过B作BF BD，且BF  AE，连接DF ，
则四边形ABFE是平行四边形，
ABEF ，
设AEF x， AED y ，
FEDx y
则 ，
BAE180x， EADAED y ， BAC 2ADB1802y ，
CAD360BACBAEEAD360(1802y)(180x) y x y
，FEDCAD，
在ACD和EFD中，
AC FE

FEDCAD

ADED
，
ACDEFD(SAS)
，
CDDF ，
而BD2 BF2 DF2，
CD2 BD2 4AH2
．