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专题 01 三角形证明之等腰三角形证明
题型一 等腰三角形的性质
1．如图，在 中， ， 为斜边 上的两个点，且 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ，则 ， ．
，
，
，
．
在 中， ，
，
解得 ，
．故选： ．
2．如图， 中， ，点 在 边上，且 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
， ，
设 ，则 ， ，
可得 ，
解得： ，
则 ，
故选： ．
3．已知 ， 是一个等腰三角形的两边长，且满足 ，则这个等腰三角形的周长为
10 或 11 ．
【解答】解： ，
，
，
解得， ， ，
当 是腰长时，等腰三角形的周长 ，
当 是腰长时，等腰三角形的周长 ，
故答案为：10或11．
4．已知两个等腰 ， 有公共顶点 ， ，连接 ， 是 的中点，连接 、 ．
（1）如图1，当 与 在同一直线上时，求证： ；
（2）如图1，若 ， ，求 ， 的长；
（3）如图2，当 时，求证： ．
【解答】（1）证明：如图1中，延长 交 于点 ．
与 均为等腰直角三角形，
，
点 为线段 的中点，
又 点 为线段 的中点，
为 的中位线，
．
（2）解：如答图 中，延长 交 于点 ，则 与 为等腰直角三角形，， ，
点 为 中点，又点 为 中点，
．
分别延长 与 交于点 ，则 与 均为等腰直角三角形，
， ，
点 为 中点，
又点 为 中点，
．
， ，
，
．
（3）证明：如图2中，延长 交 于点 ，连接 ，则 与 均为等腰直角三角形．
， ，
点 为 中点，
又点 为 中点，
．延长 与 交于点 ，连接 ，则 与 均为等腰直角三角形，
， ，
点 为 中点，
又点 为 中点，
．
在 与 中，
，
，
，
．
5．如图，已知 和 都是等腰直角三角形， ， ， ．连接
交 于 ，连接 交 于 ， 与 交点为 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图1，求证： 是 的平分线；
（3）如图2，当 ， 时，求 的长．
【解答】（1）证明：如图1．
， ，
．
在 和 中，，
，
．
，
．
．
（2）证明：如图1，作 于 ， 于 ．
由（1）知 ，
， ，
．
点 在 的平分线上．
即 是 的平分线．
（3）如图2．
， ，
．
，
．
在 中
， ， ，
．
，
．
在 中
， ，．
．
题型二 等腰三角形的判定
6．下列说法中错误的是
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意三角形的内角和都是
D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
【解答】解： 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故说法错误，符合题意；
、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不合题意
，故本选项不合题意；
、任意三角形的内角和都是 ，说法正确，不合题意；
、三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，说法正确，不合题意；
故选： ．
7．如图， 等腰直角三角形 中， ， 、 分别为 、 边上的点，
， 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，交 于
点 ．
（1） 求证： 为等腰三角形；
（2） 判断线段 、 与 的数量关系并证明你的结论 ．【解答】（1） 证明： 等腰直角三角形 中， ，
， ，
又 ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， 为等腰三角形 ．
（2） 答： 线段 、 与 的数量关系为 ．
证明： 过点 作 的垂线， 交 的延长线于点 ． （见 右图）， ，
．
，
，
，
， ，
由 （1） 可得 ，
，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
，
又 ，
．题型三 等腰三角形的性质与判定的综合
8．如图，已知点 为 内一点， 平分 ， ， ．若 ， ，
则 的长为 ．
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得： ．
故答案为： ．
9．如图， 中， ， ， ， 与 的平分线交于点 ， ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
， ，
，
故选： ．
10．如图，已知 的面积为12， 平分 ，且 于点 ，则 的面积是
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：延长 交 于 ，平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
11．如图， 中， ， ， 是 的角平分线， ，则 的最大值
为 1 0 ．
【解答】解：如图：延长 ， 交点于 ，
平分 ，
，
，，
在 和 中，
，
，
， ；
，
，即 ；
，
，
当 时， 面积最大，
即 最大面积 ．
故答案为10．
12．如图，在 中， 、 分别是 和 的平分线， 于 ，交 于 ，
于 ，交 于 ， ， ， ， ，结论① ；② ；
③ ；④ ．其中不正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：① 平分 ，
，
，
，
，
，
，
①正确；
②同理得： ，
，
，
②正确；
③ ，
由①知： ， ，
中， ，
，
，
③正确；
④当 时， ，
，
，则 与 不相等，
④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选： ．
13．如图， 中， ， 是角平分线， ， ， 、 为垂足，对于结论：① ；② ；③ 上任一点到 、 的距离相等；④ 上任一点到 、 的距离相
等．其中正确的是
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
【解答】解： 是角平分线， ， ， 、 为垂足，
，且 上任一点到 、 的距离相等；
又 ，根据三线合一的性质，
可得 垂直平分
，
上任一点到 、 的距离相等．
故选： ．
14．如图，已知 ，点 、 、 在射线 上，点 、 、 在射线 上；△
、△ 、△ 均为等边三角形．若 ，则△ 的边长为
A． B． C． D．
【解答】解： △ 为等边三角形， ，
， ，同理： ，
，
．
以此类推可得△ 的边长为 ，
故选： ．
15．如图，已知等腰 中， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，
点 是线段 上一点， ，下面的结论：① ；② 是等边三角形；
③ ；④ ，其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图1，连接 ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
；
故①正确；
，
，
，
，
，，
是等边三角形；
故②正确；
如图2，在 上截取 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故③正确；
如图3，过点 作 于 ，
， ，
，
，
，
；
故④正确．
故选： ．16．如图，在 中， ， 是 上任意一点，过 分别向 ， 引垂线，垂足分别为 ，
， 是 边上的高．
（1） ， ， 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
【解答】解：（1） ．
证明：连接 ，
则 ，即 ，
，
．
（2）当点 在 延长线上时，（1）中的结论不成立，但有 ．
理由：连接 ，则 ，
即
，
，
即 ．
同理当 点在 的延长线上时，则有 ，说明方法同上．题型四 等腰三角形的分类讨论
17．若 的三边分别为 ， ，8，且 为等腰三角形，则 的周长为 2 9 或 ．
【解答】解：当 时，
解得 ，
则 ，
，构不成三角形，
时，不成立；
当 时，
解得， ，
则 ，
此时 的周长为： ，
当 时，
解得， ，
则 ，此时 的周长为： ，
所以， 的周长为29或 ，
故答案为29或 ．
18．在等腰 中， ， 上的中线 将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底
边 长为 1 6 或 8 ．
【解答】解： 是等腰 的中线，
设 ，则 ，
又知 将三角形周长分为15和21两部分，
可知分为两种情况，
① ，即 ，解得 ，此时 ；
② ，即 ，解得 ；此时等腰 的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
这个三角形的底边长为8或16．
故答案为：16或8．
19．已知等腰三角形的周长是12，设腰长为 ，底边长为 ，那么 关于 的函数关系式为
（写出自变量 的取值范围）．
【解答】解：由题意得： ，
，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得： ， ，
，
故答案为 ．20．如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动 不与 、 重合），连接 ，
作 ， 交线段 于 ，在点 的运动过程中， 的形状也在改变，当 是等腰三
角形时， 的度数是 或 ．
【解答】解： ，
，
①当 时， ，
，
此时不符合；
②当 时，即 ，
，
；
；
③当 时， ，
，
；
当 是等腰三角形时， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
21．在 中， ， 的垂直平分线与 所在直线相交所得的锐角为 ，则底角 的度数
是 或 ．
【解答】解：当 为锐角三角形时，
如图1，设 的垂直平分线交线段 于点 ，交 于点 ，， ，
，
，
；
当 为钝角三角形时，
如图2，设 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
， ，
，
，
，
，
；
综上可知 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
题型五 等腰三角形存在性问题
22．在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 在 轴上运动，当以点 ， 、 为顶点的三角形为
等腰三角形时，点 的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：如图，当 时，可得 、 满足条件；
当 时，可得 满足条件；
当 时，可得 满足条件，
故选： ．
23．如图，在 中， 为钝角， ， ，点 从点 出发以 的速度向点
运动，点 同时从点 出发以 的速度向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停
止运动．当 是等腰三角形时，运动的时间是
A． B． C． D．
【解答】解：设运动的时间为 ，
在 中， ， ，
点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点 同时出发以每秒 的速度向点 运动，
当 是等腰三角形时， ，
，
即 ，
解得 ．故选： ．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 是 轴上的一个动点，当 是等腰三角形时，
点 的坐标为 ， ， ， ， ．
【解答】解： 时， ；
时， ， ， ， ．
，设 点坐标为 ，即 ，解得 ， ， ，
故答案为： ， ， ， ， ， ， ．
25．在平面直角坐标系中点 、 分别是 轴、 轴上的点且点 坐标是 ， ．点 在线
段 上，是靠近点 的三等分点．点 是 轴上的点，当 是等腰三角形时，点 的坐标是
或 或 或 ． ．
【解答】解： 点 坐标是 ， ，
， ，点 在线段 上，是靠近点 的三等分点，
，
过点 作 ，
，
，
为等腰三角形，
当 时，点 的坐标为 或 ；
当 时，点 在 的垂直平分线上，
， ，
，
，
，
，
，
当 时， ，
，
当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
26．如图，正方形 边长为2， 为 上一动点，作 于 ，连接 ．当 是以为腰的等腰三角形时， 的长为 或 2 ．
【解答】解：过 作 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
当 是以 为腰的等腰三角形时，此时只能 ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，
，
，
解得： ，
，
，
，
当 与 重合，则 与 重合， 是以 为腰的等腰三角形，此时 ，
故答案为： 或2．
27．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
且与正比例函数 的图象交于点 ．
（1）求一次函数 的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3）若点 在第二象限， 是以 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1） 点 在正比例函数 的图象上，
，得 ，点 的坐标为
点 ， 在一次函数 的图象上，
，解得 ，
故一次函数的解析式为： ；
（2）在一次函数 中，令 ，则 ，解得 ，
点 的坐标为
即 ，
点 的坐标为
；
（3）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
点 在第二象限， 是以 为直角边的等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，即可得出点 的坐标为 ；
同理可得出： ，
， ，
点 的坐标为 ．
综上可知点 的坐标为 或 ．
28．如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ，且 ， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线
交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下， 为 延长线上一点，且 ，在线段 上是否存在点 ，使 是
以 为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 交 轴于点 ，
， ，
直线 解析式为 ，令 ， ，
．
（2） ， ，
， ，
，
，
，
点 ，
设直线 解析式为 ，
，
，
直线 解析式为 ，
在直线 上，
可设点 ，
轴，且点 在 上，
，（3）过点 作 于 ，
，
轴，
，
，
，
，
， ，
过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
可设 ，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
在直线 上，
，
， ， ， ， ．
29．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，
且 ，点 是直线 上的一个动点，连接 ．
（1）求 点的坐标和 的值；
（2）求 的面积 与 之间的函数关系式；
（3）探索：
①当点 运动到什么位置时， 的面积是 ？
②在①的情形下， 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有 点
的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ，
， ，
解得 ， ，
，
点 ， ；
把点 代入 得， ，
解得： ，
（2）直线解析式为 ，
当点 在 轴上方时，即： ，
，
的面积 ，
当点 在 轴下方时，即： ，
，
的面积 ，
（3）当点 在 轴上方时，即： 时，① 面积 ，
当 时， ，
解得： ，
此时 ，
则点 的坐标为 ；
②存在这样的点 ．理由如下：
由②知， 的坐标是 ，则 ．
如图，
当 是 的顶角顶点时 ， 的坐标是 或 ，
当 是 的顶角顶点时 ， 与过 的与 轴垂直的直线对称，则 的坐标是 ；
当 是 的顶角顶点时 ，设 ，则
，
解得， ，
则 ．
综上所述，符合条件的点 的坐标是： 或 或 或当点 在 轴下方时，即： ，
① 面积 ，
当 时， ，
解得： ，
此时 ，
则点 的坐标为 ；
②不存在这样的点 ．理由如下：
由②知， 的坐标是 ，
点 在 轴上，而点 ， 也在 轴上，不能构成三角形；
综上所述，符合条件的点 的坐标是： 或 或 或
30．如图1，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的
图象交于点 ．
（1）求一次函数的解析式及点 的坐标；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请
说明理由；
（3）如图 2，过点 作 轴于点 ，点 是线段 上一点， 是 轴正半轴上一点，且
，连接 ，求 的面积的最大值．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入一次函数表达式得 ，解得 ，故一次函数表达式为： ，
则 ，解得 ，
故点 ；
（2）设点 ，而点 、 的坐标分别为 、 ，
则 ，同理 ， ，
当 时，则 ，解得： 或3（舍去 ；
当 时，同理可得： ；
当 时，同理可得： ；
故点 的坐标为 或 或 或 ；
（3）过点 作 轴于点 ，
设： ， ， 点 ，故 ，
将 围绕点 旋转 得到 ，
则 ，
，
而 ， ，
的面积 的面积，当 的面积最小时， 的面积最大，
，
最小时， 的面积最小，
当 时， 的值最小（备注），
，
解得 ，
故 的面积的最大值为 ．
备注：设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，
，
，
当且仅当 时取到最小值，
最小值 ，
即等腰直角的时候的斜边才是最小的．
31．如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求 的面积；
（2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ， ， 为线段 （不含 ， 两点）上一点，过点
作 轴的平行线交线段 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系
式；
（3）在（2）的条件下， 为线段 延长线上一点，且 ，在直线 上方的直线 上是否存
在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．【解答】解：（1） 交 轴于点 ，
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
令 ， ， ；
， ，
， ，
，
；
（2） ， ，
，
，
点 ，
设直线 解析式为 ，
，，
直线 解析式为 ，
在直线 上，
可设点 ，
轴，且点 在 上，
，
；
（3）过点 作 于 ，
，
轴，
，，
，
在 与 中，
，
，
， ，
过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，可设 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
即 ，
在直线 上，
，
，
， ．
32．如图（1）， 中， ， ， ， 的平分线 交 于 ，过
点作与 垂直的直线 ．动点 从点 出发沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点 运
动，运动时间为 秒，同时动点 从点 出发沿折线 以相同的速度运动，当点 到达点 时 、
同时停止运动．
（1）求 、 的长；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）当 在 上 在 上运动时，如图（2），设 与 交于点 ，当 为何值时， 为等
腰三角形？求出所有满足条件的 值．【解答】（1）解： ， ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
平分 ，
，
，
在 中， ，
，
，
答： ， ．
（2）解：①当 在 上， 在 上时， ，
则 ， ，
过 作 于 ，
，
，
， ，
，
即 ；②当 在 上， 在 上时 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
即 ．
④当 时， 在 点， 在 上，如图（3）
过 作 于 ， 于 ，
，由（1）知 ，，
有勾股定理得： ，
，
，
；
综合上述： 与 的函数关系式是： ；
．
（3）解：如图（2）， ，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
① 时，
，
，，
，
解得： ，
② 时，
此时 ，
，
，
此时不存在；
③ 时，
过 作 于 ，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
解得：
综合上述：当 为 或 时， 是等腰三角形．
33．如图，正方形 的边 ， 在坐标轴上，点 的坐标为 ．点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 轴向点 运动；点 从点 同时出发，以相同的速度沿 轴的正方向运动，规定点
到达点 时，点 也停止运动．连接 ，过 点作 的垂线，与过点 平行于 轴的直线 相交于点
． 与 轴交于点 ，连接 ．设点 运动的时间为 ．
（1） 的度数为 ，点 的坐标为 （用 表示）；
（2）当 为何值时， 为等腰三角形？
（3）探索 周长是否随时间 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
【解答】解：（1）如图1，
由题可得： （秒
．
四边形 是正方形，
，
．
，
．
．
， ，
．
在 和 中，．
， ．
， ，
．
，
．
点 坐标为 ．
故答案为： ， ．
（2）①若 ，则 ，
②若 ，
则 ．
．
．
在 和 中，
．
．
点 与点 重合 ．
点 与点 重合 ．点 ，
．
此时 ．
③若 ，
在 和 中，
．
．
，
．
．
，
．
延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图2所示．
在 和 中，
．
， ．
， ，
．
．
．
在 和 中，．
．
．
．
．
解得：
综上所述，当 为0秒或4秒或 秒时， 为等腰三角形．
（3） ，
．
周长是定值，该定值为8．
题型六 等边三角形的性质与判定
34．等边 的边长为 6， 是 边上的中线， 是 上的动点， 是 边上的动点，则的最小值 ，若 ， 的最小值为 ．
【解答】解：如图1，
是等边三角形， 是 边上的中线，
，
点 与点 关于直线 对称，
过 作 交 于 ，
此时， 的值最小， 的最小值 ，
是等边三角形，
，
， ， ，
；
的最小值 ；
如图2所示，在 上取 ，连接 ，过点 作 ．
为等边三角形，
．
， 是 边上的中线，
．
在△ 和 中， ，
△ ，
．
由两点之间线段最短可知：当 、 、 在一条直线上时， 有最小值．，
在 △ 中， ，
， ．
， ．
．
在 △ 中， ．
．
故答案为： ， ．
35．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 和点 关于 轴对称，连接 ，点
是 外一点， ，点 是 上一点，点 是 上一点，且 ，连接 ， ．
若 ，则 的值为 1 6 ．
【解答】解： 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
， ， ，点 和点 关于 轴对称，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
如图，连接 、 ，
，
，
根据三角形的外角，得
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
， ，，
，
在 中，根据勾股定理，得
，
．
故答案为：16．
36．如图，在 中， ， ， ，点 是 上的动点，连接 ，以 为
边作等边 ，连接 ，则点 在运动过程中，线段 长度的最小值是 ．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，， ，
，
，
当 时， 的值最小，
在 中， ， ，
，
的最小值为 ．
37．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 为等边三角形， 是 轴上一个
动点 （不 与原点 重合） ，以线段 为一边在其右侧作等边三角形 ．
（1） 求点 的坐标；
（2） 在点 的运动过程中， 的大小是否发生改变？如不改变， 求出其大小；如改变，
请说明理由 ．
（3） 连接 ，当 时， 求 点的坐标 ．
【解答】解： （1） 如图 1 ，过点 作 轴于点 ，
为等边三角形， 且 ，， ，
，而 ，
， ，
点 的坐标为 ， ；
（2） ，始终不变 ． 理由如下：
、 均为等边三角形，
、 、 ，
，
在 与 中，
，
，
；
（3） 当点 在 轴负半轴上时， 点 在点 的下方，
， ， ．
又 ，可求得 ，由 （2） 可知， ，
，
此时 的坐标为 ， ．
当点 在 轴正半轴时， 点 必在第一象限， 和 不可能平行；
38．如图1，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ．
（1）操作发现如图2，固定 ，使 绕点 顺时针旋转．当点 恰好落在 边上时．
①线段 与 的位置关系是 ．（不需证明）②设 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系是 ，证明你的结论；
（2）猜想论证
当 绕点 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作
出了 和 中 ， 边上的高，请你证明小明的猜想．
【解答】解：（1）① ，
理由如下：如图2， 绕点 旋转点 恰好落在 边上，
，
，
是等边三角形，
，
又 ，
，
；
② ， ，
，
，
根据等边三角形的性质可得， 的边 、 上的高相等，
的面积和 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即 ，
故答案为：① ；② ；
（2）如图3， 是由 绕点 旋转得到，， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
的面积和 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即 ．
