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专题 15.2 垂直平分线的性质和判定（五大题型）
【题型1：线段垂直平分线的性质】............................................................................1
【题型2：线段垂直平分线的判
定】.............................................................................3
【题型3：线段垂直平分线的应用】............................................................................7
【题型4：作已知线段的垂直平分线】........................................................................7
【题型5：作垂线（尺规作
图）】...............................................................................10
【题型1：线段垂直平分线的性质】
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC=7cm，则ED的长
为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若
BC=12，AC=10，则△ACE的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．如图，在△ABC中，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD．若AD=3cm,AC=10cm，则BD的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若
BC=12，则△AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，在 ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点
E．若BD△＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．9cm
6．如图，在△ABC中，AC=6cm，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，连接
AE．若△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长为 cm．
7．如图，AC垂直平分线段BD，若AB=2cm，CD=3cm，则四边形ABCD的周长为
．8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB
的延长线于点F．若AD=12，CD=5，则AB的长为 ．
【题型2：线段垂直平分线的判定】
1．如图，AC=AD，BC=BD，下列结论一定正确的是（ ）
A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分
2．如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB=AD，CB=CD，则有（ ）
A．AC与BD互相垂直平分 B．AC垂直平分BD
C．BD垂直平分AC D．BD平分∠ABC
3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
4．如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC
的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接
EF，EF与AD交于点G．
(1)求证：AD是EF的垂直平分线；
(2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积．
6．如图，已知：AB=AC，DB=DC，点E在AD的延长线上．
(1)求证：AE垂直平分BC；
(2)求证：△BDE ≌△CDE7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE，
求证：AB+BD=DC．
8．已知，如图，AE⊥BE,AF⊥CF，点E､F分别为垂足，BE=CF，
∠ABC=∠ACB．
(1)证明：AE=AF；
(2)试说明DA平分∠EDF
(3)延长EB､FC相交于点D，连结AD．证明：AD垂直平分线段BC．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且
BD=DE，连接AE．
(1)求证：AB=EC；
(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：
“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如
图1所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形ABCD满足AB=AD且
CB=CD，则四边形ABCD为筝形．
【任务1】如图2是由小正方形组成的10×5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，
画出一个顶点在格点的筝形EFGH；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并
选其中一条性质进行证明．
1
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相
2
交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和D，连接AD．
(1)若∠C=25°，求∠EDC的度数；
(2)若AE=3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长．【题型3：线段垂直平分线的应用】
1．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现
若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（
）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2.在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（
）
A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
3．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩
抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子
应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【题型4：作已知线段的垂直平分线】
1．如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图
痕迹，不写作法）
(2)若AB=6，△ABC的周长是17，F为直线DE上一动点，求△ACF周长的最小值．2．如图，公园一角有一片三角形空地ABC，公园负责人计划在边AC上找一点D，使得点
D到点B，C的距离相等，请利用尺规作出点D．（不写作法，保留作图痕迹）
3．如图，已知△ABC，请按下列要求解答问题：
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足是E，交AB于点D，连接CD（保留作图痕
迹，不写作法）；
(2)若△ABC的周长是27cm，△BCD的周长是21cm，求AC的长．
4．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路
OM，ON距离相等的一条小路逃窜（如图，在∠MON内），要使埋伏在A，B两处
的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，
并简述你的理由．5．已知：直线AO、BO表示两条互相交叉的公路，Q是一个大型货物批发站，现在要在
∠AOB内部建一个货物中转站P，要求它到AO、BO的距离相等，且PO=PQ．
6．如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E；（保留作图痕迹，
不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接BD．若△ABC的周长为16，BE=3，求△ABD的周长．
7．如图，在△ABC中，∠C是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作AC的垂直平分线交AB于点D；（保留作图痕迹，不
要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，若∠A=44°，∠B=20°，求∠DCB
的大小．8．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田
地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹．
9．如图，在△ABC中，∠A=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边AB上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保
留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，当点P到直线BC、AC的距离也相等时，则∠B的度数为
______°．
【题型5：作垂线（尺规作图）】
1．如图，在△ABC中，∠B=90°．请用尺规作图法，在BC的上方求作一点D，使
DC⊥BC，且BD=AC．（保留作图痕迹，不写作法）2．如图，△ABC中，点P为边BC上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：
保留作图痕迹，不需要写作法．
(1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点P．
(2)如图②，过点P作直线MN，使得MN⊥BC．
3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm；
(1)作出△ABC的边AB边上的高CD，并求CD的长；
(2)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．
1．如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、
AH、BH，AP=BP，若AH=11，则BH的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．82．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC边的中点，连接AE、DE，且
AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB=10，CD=4，则AD的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
3．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为22，
BC=10，则AC的长度为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
