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第一章 三角形的证明
1.4 线段的垂直平分线
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【素养目标】
1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质
和判定解题。(重点)
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学
方法。(难点)
【复习导入】
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB ，使 A ，B 两点重合，设折痕与
AB 的交点为 O .
你发现了什么？
【合作探究】
探究点一、线段垂直平分线的性质
如图，点P是线段AB垂直平分线上的一点，AB和PC相等吗？改变点P的位置，
结论还成立吗？
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
你能证明这一结论吗？
【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB ，垂足为C，AC=BC , P是MN上的任意
一点。求证：PA = PB .
第 1 页【知识要点】
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
例1 如图，在△ABC中， AB = AC = 20cm ， DE 垂直平分 AB ，垂足为 E
，交 AC 于 D ，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 ( )
A. 5cm
B. 10cm
C. 15cm
D. 17.5cm
【练一练】
1.如图 ① 所示，直线 CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且
PA = 5 ，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在 △ABC 中， BC = 8cm ，边AB的垂直平分线交AB于点 D ，
交边AC于点 E , △BCE的周长等于 18cm , 则AC的长是______.
探究点二、线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
这个定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 你能证明吗？
想一想：如果 PA = PB ，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
第 2 页【知识要点】
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
应用格式：
∵PA = PB ,
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上。
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上。
例2 已知：如图，在△ABC中，AB =AC ，O是 △ABC 内一点，且OB = OC .
求证：直线AO垂直平分线段BC .
试一试：
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB ，垂足分别
为C,D ，连接CD . 求证：OE是CD的垂直平分线。
第 3 页当堂反馈
1.已知PA＝6，当PB＝______ 时，点P在线段AB的垂直平分线上。
2.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN上。若∠ACB＝80°，则∠A
的度数为________.
第2题图 第3题图
3.如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE，AB＋AC＝15，则△ABD的周长为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分
AB于D.求证：BE＋DE＝AC.
第 4 页参考答案
探究点一、线段垂直平分线的性质
【证一证】证明： ∵ MN⊥ AB ,∴∠PCA =∠PCB = 90∘ .
又 AC = BC , PC = PC , ∴ △PCA≌△PCB (SAS).
∴ PA = PB (全等三角形的对应边相等).
例1 C. 练一练： 1. B. 2. 10cm .
探究点二、线段垂直平分线的判定
想一想： ① 当点P在线段AB上时，
∵PA = PB ，∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示。
∵PA = PB,∴△ PAB 是等腰三角形。
过顶点P作PC⊥AB ，垂足为点C .
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线。
即 PC⊥AB ，且 AC = BC .
∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上。
例2 证明：∵AB=AC , ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O在线段BC的垂直平分线上。
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线 (两点确定一条直线).
证法2 证明： 延长 AO 交 BC 于点 D .
∵AB = AC,AO = AO,OB = OC ,
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO =∠CAO .
∵AB =AC ,∴AO⊥BC .
∵OB = OC,OD = OD ,
∴Rt△DBO≌Rt△DCO ( HL ).
∴BD = CD . ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC .
试一试： 证明： ∵OE 平分 ∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB ,
∴DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴OE 是CD的垂直平分线。
当堂反馈
1. 6 2. 50°. 3. A
4.证明：∵ BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE.
∵DE⊥AB,∴∠EDB=90°=∠C.
第 5 页∠EDB＝∠C，
{
在△DEB和△CEB中， ∠DBE＝∠CBE，
BE＝BE，
∴△DEB≌△CEB(AAS). ∴ DE=CE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE. ∴BE+DE=AE+CE=AC.
第 6 页
