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第 24 章 圆能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
2．如图，在⊙O中，A´B=C´D，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．A´C=B´D D．AD=BD
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在圆上，∠E=25°，则∠D=（ ）
A．115° B．125° C．105° D．65°
4．已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π cm2 B．16π cm2 C．20π cm2 D．24π cm2
5．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．126．如图， △ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F且AD=2，
BC=5 ，则△ABC的周长为（ ）.
A．7 B．1 C．10 D．14
7．如图，在扇形ABC中，∠BAC=90°，AB=6，若以点C为圆心，CA为半径画弧，
与B´C交于点D，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
8．在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°．⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、
OC，则∠BOC的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
9．如图， 的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧 ⏜ 的中点，P是直
⊙O
AN
径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）❑√2
A．❑√2 B． C．1 D．❑√3−1
2
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别相交于A(6,0)，B两点，
∠BAO=30°，圆心P的坐标为(−2,0)，⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴
向右平移，当⊙P与直线AB的位置关系是相交时，横坐标为整数的点P的个数是
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，⊙O是它的内切圆，用剪刀沿
⊙O切线DE剪一个△ADE，则△ADE的周长为 ．
12．如图，⊙O是边长为 的等边 的外接圆，点D是 ⏜ 的中点，连接 ，
4❑√3 △ABC BD
BC
CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ．
13．秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作
树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长4πcm，圆心角为120°，则这片银杏叶的面积为 cm2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2❑√2，点D是AB上的动点，连
接CD，过点A作AG⊥CD于点G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，OA=OB，AB 交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD．
(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(2,4)，B(4,−4)，
C(1,−1)．(1)画△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A B C ；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长．
17．（8分）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60m，拱高PM=18m，当洪水泛滥时，
跨度只有30m时要采取紧急措施．当测量人员测得水面A′B′到拱顶距离只有4m时，是
否需要采取紧急措施？
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点F在边AB上，以AF为直径的⊙O
切BC于点D，交AC于点E，连接AD．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知⊙O的半径是2，连接OE，若OE⊥AD，求弧AE的长（结果保留π）．19．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷
泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息
如下：
信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB=8米，D是弦AB的中点，
连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD=2米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．
请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3，
结果保留整数）
20．（8分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利
用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又
割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，
他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，若⊙O的半径为1．（在求
圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计⊙O的面积，可得圆内接正十二边
形面积是_____，可得π的估计值为_____．
21．（10分）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚
动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排
斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球
的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M
或点N）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的
一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示
接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说
明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什
么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
