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第 24 章 圆能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆
⏜ ⏜
周角定理．根据垂径定理推出 BC=BD ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由
∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【详解】∵AB是直径，AB⊥CD，
⏜ ⏜
∴ BC=BD ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选：C．
2．如图，在⊙O中，A´B=C´D，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．A´C=B´D D．AD=BD
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．根据等弧可直接判断A选项结论；由同弧可得∠BAC=∠BDC，进而得出∠ADC=∠DAB，
可判断B、C选项结论；根据已知条件无法证明D选项结论．
【详解】解：在⊙O中，A´B=C´D，
∴AB=CD，∠ADB=∠CAD，A选项结论正确，不符合题意；
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ADB−∠BDC=∠CAD−∠BAC，
∴∠ADC=∠DAB，
∴A´C=B´D，AC=BD，B、C选项结论正确，不符合题意；
无法证明AD=BD，则D选项错误，符合题意；
故选：D
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在圆上，∠E=25°，则∠D=（ ）
A．115° B．125° C．105° D．65°
【答案】A
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆内接四边
形的性质．连接AC，得出∠CAB=∠E=25°，∠ACB=90°，再利用圆内接四边
形对角互补求解可得出答案．
【详解】解：连接AC，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠CAB=∠E=25°，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−25°=65°，
∴∠D=180°−65°=115°，
故选：A．
4．已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π cm2 B．16π cm2 C．20π cm2 D．24π cm2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，
圆锥的侧面积公式为S侧 =πrl，其中r是底面圆半径，l是母线长.
❑
【详解】解：根据题意，得底面圆半径r=3cm，母线长l=4cm，
∴S侧 =π×3×4=12πcm2.
❑
故选：A.
5．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点A、B、
C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到
∠AOB=2∠ACB，即可得到结论．
【详解】解：如图，设正多边形的中心为O，
∵A、B、C为正多边形的顶点，
∴点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ACB=20°，
∴∠AOB=2∠ACB=40°，
∵360°÷40°=9，
∴该正多边形的边数为9．
故选：B．
6．如图， △ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F且AD=2，
BC=5 ，则△ABC的周长为（ ）.
A．7 B．1 C．10 D．14
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，
根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们
的切线长度相等”是解题的关键．
【详解】解：∵ △ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC=5，
∴△ABC的周长为：
AD+DB+BC+CF+AF
=AD+AF+BC+(BD+CF)
=14
故选：D．
7．如图，在扇形ABC中，∠BAC=90°，AB=6，若以点C为圆心，CA为半径画弧，
与B´C交于点D，则图中阴影部分的面积和是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影
部分的面积=扇形BAD的面积是解此题关键．
连接AD，根据等边三角形的判定得出△DAC是等边三角形，根据等边三角形的性质
得出∠DAC=∠DCA=60°，求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积，再根据扇形的
面积公式求出扇形BAD的面积即可．
【详解】解：连接AD，
∵以点C为圆心，CA为半径画弧，与B´C交于点D，AB=6，
∴AD=AC=CD=6，
∴△DAC是等边三角形，
∴∠DAC=∠DCA=60°，AD=DC,
∴分别以 ⏜ ⏜ 为弧的弓形面积相等，则阴影面积等于扇形 的面积，
BAD
AD,DC
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=90°−60°=30°，
30π×62
∴阴影部分的面积=S = =3π．
扇形BAD 360
故选：C．
8．在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°．⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、
OC，则∠BOC的度数为（ ）A．105° B．110° C．115° D．125°
【答案】C
【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切
1
圆的定义得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠OBC= ∠ABC=23°，
2
1
∠OCB= ∠ACB=42°，再根据三角形内角和定理求解即可．
2
【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∵∠ABC=46°，∠ACB=84°，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC=23°，∠OCB= ∠ACB=42°，
2 2
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=115°．
故选：C．
9．如图， 的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧 ⏜ 的中点，P是直
⊙O
AN
径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
❑√2
A．❑√2 B． C．1 D．❑√3−1
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，
熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；作点A关于MN的对称点A′，由轴对称的性质确定PA+PB的最小值为A′B的长，再利
用圆的知识和勾股定理求出A′B的长．
【详解】由题知，⊙O的半径为1，MN为⊙O的直径，故MN=2，
如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，OB，OA′，
则PA+PB=PA′+PB≥A′B，
当A′,P,B三点共线时，PA+PB取得最小值，为A′B的长，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠AON=60°，
点B是弧 ⏜ 的中点，
∵
AN
1
∴∠BON= ∠AON=30°，
2
∵点A与点A′关于直径MN对称，
∴∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又OB=OA′=1，
由勾股定理得， ，
A′B=❑√OA′2+OB2=❑√2
∴PA+PB的最小值为❑√2．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别相交于A(6,0)，B两点，
∠BAO=30°，圆心P的坐标为(−2,0)，⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴
向右平移，当⊙P与直线AB的位置关系是相交时，横坐标为整数的点P的个数是
（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，30°角的特殊直角三角形的性质，掌握求圆与直线相
切的点坐标是解题的关键．
由数形结合，画出圆与直线相切的情形，即可求解．
【详解】解：如图所示，
当点P在P 、P 时，圆与直线相切，
1 2
当点P在P 、P 之间移动时，⊙P与直线相交，
1 2
∵A(6,0)，
∴OA=6
∵P(−2,0)，
∴OP=2
∵⊙P 与AB相切，
1
∴∠P CA=90°，CP =OP=2，
1 1
∵∠BAO=30°，
∴AP =2CP =4，
1 1
∴OP =OA−AP =2
1 1
同理AP =4，
2
∴OP =OA+AP =10
2 2
故P点在2~10之间移动⊙P与直线AB的位置关系是相交，
∴点P在2~10之间移动横坐标整数点有： 3，4，5，6，7，8，9，共7个．故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，⊙O是它的内切圆，用剪刀沿
⊙O切线DE剪一个△ADE，则△ADE的周长为 ．
【答案】12
【分析】设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，由切
线长定理可知AF=AG，根据DE是⊙O的切线，可得MD=DF，EM=EG，根据
勾股定理可得∠ACB=90°，得四边形OHCG是正方形，再求出内切圆的半径为
1
(AC+BC−AB)，进而可得△ADE的周长．
2
【详解】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G，连接OF、OH、OG，
由切线长定理可知AF=AG，BF=BH，CH=CG，
∵DE是⊙O的切线，
∴MD=DF，EM=EG，
∵BC=6，AC=8，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
则四边形OHCG是正方形，∵⊙O是△ABC的内切圆，
1 1
∴内切圆的半径= (CH+CG)= (AC+BC−AB)=2，
2 2
∴CG=2，
∴AG=AC−CG=8−2=6，
∴AF=AG=6，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=6+6=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关
键是掌握切线的性质．
12．如图，⊙O是边长为 的等边 的外接圆，点D是 ⏜ 的中点，连接 ，
4❑√3 △ABC BD
BC
CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ．
16π 16
【答案】 / π
3 3
【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇
形的圆心角和半径是解决本题的关键．
首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和
半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积．
【详解】连接OB、OC，过O作OE⊥BC于点E，如图，因为⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
所以∠BOC=2∠BAC．
由于△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，
所以∠BOC=120°．
因为OB=OC，△ABC是等边三角形，
1
所以BE=EC= BC．
2
已知BC=4❑√3，则BE=2❑√3．
1 BE
在Rt△BOE中，∠BOE= ∠BOC=60°，sin∠BOE= ，
2 OB
2❑√3 ❑√3 2❑√3
即sin60°= ， = ，解得OB=4．
OB 2 OB
因为点D是 ⏜ 的中点，
BC
1
所以∠BDC= ∠BOC=60°．
2
又因为OB=OC=OD=4，BD=CD，∠BDC=60°，
所以△BDC是等边三角形，则BD=BC=4❑√3．
所以扇形BDC的圆心角为120°，r=BD=4❑√3．
扇形面积公式可得： 120π×(4❑√3) 2 120π×48 16π．
S= = =
360 360 3
16π
故答案为： ．
3
13．秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作
树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现
这个扇形的弧长4πcm，圆心角为120°，则这片银杏叶的面积为 cm2．
【答案】12π
【分析】本题考查扇形的弧长，面积公式，掌握知识点是解题的关键．根据扇形的弧长，面积公式，即可解答．
120πr
【详解】由题意知， =4π，
180
解得r=6cm，
∴银杏叶的面积为
120π⋅62
=12πcm2．
360
故答案为12π．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2❑√2，点D是AB上的动点，连
接CD，过点A作AG⊥CD于点G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是
【答案】2−❑√2/−❑√2+2
【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角
1
形的性质，，取AC的中点O，连接OG，则OG= AC=❑√2，可得点G在以AC为直
2
径的⊙O上，连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，利用勾股定理求出
OE的长即可得到答案．
【详解】解：∵AG⊥CD，
∴∠AGC=90°．
1
如图所示，AC=2❑√2，取AC的中点O，连接OG，则OG= AC=❑√2，
2
∴点G在以AC为直径的⊙O上，⊙O的半径为❑√2，
连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，
∵点E是BC的中点，BC=2❑√2，1
∴CE= BC=❑√2，
2
∴ ，
OE=❑√OC2+CE2=❑√ (❑√2) 2+(❑√2) 2=2
∴≥=OE−OG=2−❑√2，即GE的最大值为2−❑√2，
故答案为：2−❑√2．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，OA=OB，AB 交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD．
(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能
用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得CF=DF，由等腰三角形的性质得AF=BF，即可求证；
（2）由勾股定理得CO2=CF2+OF2，即可求解；
【详解】（1）证明：∵OE⊥AB，OE是半径，OA=OB
∴CF=DF，AF=BF，
∴AF−CF=BF−DF
∴AC=BD
（2）解：设⊙O的半径是r，如图，连接CO ，
∵CD=8，EF=2
由垂径定理得：CF=FD=4，OF=r−2∵CO2=CF2+OF2
∴
r2=42+(r−2) 2
∴r=5
∴⊙O的半径是5.
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(2,4)，B(4,−4)，
C(1,−1)．
(1)画△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A B C ；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)❑√5π
【分析】本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先分别找出△ABC关于y轴对称的点A ,B ,C ，再依次连接，即可作答．
1 1 1
（2）先分别找出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的点A ,B ,C ，再依次连接，即
2 2 2
可作答．
（3）先运用勾股定理算出OA=2❑√5，再结合弧长公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求．
1 1 1（2）解：如图，△A B C 即为所求：
2 2 2
（3）解：如图所示：
则 ，
OA=❑√(−4) 2+22=2❑√5
在（2）的条件下，∠AOA =90°，
2
⌢ 90
∴A A = ×2❑√5×π=❑√5π．
2 180
即点A所经过的路径长为❑√5π．
17．（8分）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60m，拱高PM=18m，当洪水泛滥时，跨度只有30m时要采取紧急措施．当测量人员测得水面A′B′到拱顶距离只有4m时，是
否需要采取紧急措施？
【答案】不需要采取紧急措施
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接OA、OA'，由题意可得AB=60m，
PM=18m，PN=4m，OA=OA'=OP，OP⊥AB，OP⊥A'B'，由垂径定理可得
AM=BM=30m，A'B'=2A'N，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接OA、OA'，
，
由题意可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA'=OP，OP⊥AB，
OP⊥A'B'，
由垂径定理可得：AM=BM=30m，A'B'=2A'N，
由勾股定理可得：AO2=AM2+OM2，
∴ ，
OA2=302+(OA−18) 2
∴OA=34m，
∵OP=OA=OA'=34m，PN=4m，
∴ON=30m，
∴ ，
A'N=❑√OA'2−ON2=16m
∴A'B'=2A'N=32m，
∵32m>30m，
∴不需要采取紧急措施．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点F在边AB上，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，连接AD．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知⊙O的半径是2，连接OE，若OE⊥AD，求弧AE的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
2π
(2)
3
【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等
三角形的判定与性质以及弧长公式的应用．熟练掌握圆的切线性质、平行线的判定与
性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用是解题的关
键．
（1）连结OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到
∠ODA=∠DAC，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，根据角平分线
的定义即可得到结论；
（2）连接OE交AD于点H，根据全等三角形的性质得到OD=AE，推出△OAE是等
边三角形，根据等腰三角形的性质得到∠AOE=60°，根据弧长公式得到结论．
【详解】（1）证明：连结OD，
∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC．
∴OD∥AC，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠DAC．
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接OE交AD于点H，∵OE⊥AD，
∴AH=DH，∠AHE=∠DHO=90°，
∵∠ODA=∠CAD，
∴△ODH≌△EAH(ASA)，
∴OD=AE，
∵OD=OA=OE，
∴OA=AE=OE，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
60π×2 2π
∴弧AE的长= = ．
180 3
19．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷
泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息
如下：
信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB=8米，D是弦AB的中点，
连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD=2米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．
请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3，
结果保留整数）【答案】(1)喷泉的半径为5米
(2)大约需要安装24盏景观灯
【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；
（1）连接OA，设喷泉的半径为r，则：OA=OC=r，然后可得OC⊥AB，
1
AD= AB=4，进而根据勾股定理可进行求解；
2
（2）由（1）可知R=5+1=6米，然后根据圆的周长可进行求解．
【详解】（1）解：连接OA，设喷泉的半径为r，则：OA=OC=r，
∴OD=OC−CD=r−2
，
∵D是弦AB的中点，
1
∴OC平分弦AB，AD= AB=4，
2
∴OC⊥AB，
∴OA2=AD2+OD2，
，
∴r2=42+(r−2) 2
∴r=5米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：R=5+1=6米，
∴2×6×3÷1.5=24（盏）
答：大约需要安装24盏景观灯．
20．（8分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利
用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又
割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，
他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，若⊙O的半径为1．（在求
圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计⊙O的面积，可得圆内接正十二边
形面积是_____，可得π的估计值为_____．
3❑√3
【答案】(1)
2
(2)2❑√2
(3)3；3
【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点O作
OC⊥AB于点C；求出△ABO的面积即可求解；
（2）设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点B作BC⊥OA于点
C；求出△ABO的面积即可求解；
（3）设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点
C；求出△ABO的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点
O作OC⊥AB于点C；
由题意知∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB=1，
∴△OAB是等边三角形，
1 1
∴AB=OA=1，AC= AB= ；
2 2
❑√3
由勾股定理得OC=❑√OA2−AC2= ，
2
1 1 ❑√3 ❑√3
∴S = AB⋅OC= ×1× = ，
△OAB 2 2 2 4❑√3 3❑√3
∴正六边形的面积为6× = ；
4 2
（2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点B作
BC⊥AO于点C；
由题意知∠AOB=360°÷8=45°，OA=OB=1，
∴∠OBC=∠AOB=45°，
∴OC=BC；
由勾股定理得OC2+BC2=OB2，
❑√2 ❑√2
∴BC= OA= ，
2 2
1 1 ❑√2 ❑√2
∴S = BC⋅OA= × ×1= ，
△OAB 2 2 2 4
❑√2
∴圆内接正八边形的面积为8× =2❑√2；
4
故答案为：2❑√2；
（3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，过点B作
BC⊥AO于点C；
由题意知∠AOB=360°÷12=30°，OA=OB=1，
1 1
∴BC= OB= ，
2 2
1 1 1 1
∴S = BC⋅OA= × ×1= ，
△OAB 2 2 2 4
1
∴圆内接正十二边形的面积为12× =3；
4
圆的面积为π×12=π，则π≈3；故答案为：3；3．
21．（10分）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚
动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排
斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球
的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M
或点N）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的
一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示
接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求
出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说
明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什
么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）图见解析（2）变强（3）∠CAD=2∠BAC，理由见解析（4）见解
析（答案不唯一）【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线
的判定和性质，是解题的关键．
（1）圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M,N，连接MC,NC，分别作
MC,NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作
PM⊥OM，则PM为圆O的切线，∠PMN即为所求；
（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
（3）连接OA，等边对等角，得到∠ABC=∠OAB，切线的性质，结合等角的余角
相等，得到∠BAD=∠BAC，进而得到∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC即
可；
l π l
（4）可以根据 = n，进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进
r 180 r
行作答即可．
【详解】解：（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M,N，连接MC,NC；
②分别作MC,NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3）∠CAD=2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA=OB，∴∠ABC=∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠ABC=∠OAB，
∴∠BAD=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC；
nπr
（4）∵水滴弧的长度为：l= ，
180
l π
∴ = n，
r 180
l l
∴可以根据 的大小，进行判断， 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯
r r
一）．
