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2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷
第24章 圆
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧
⏜
A´B，圆弧的半径OA=40cm，圆心角∠AOB=90°，则 AB=（ ）
A．40π cm B．20π cm C．10π cm D．30π cm
【答案】B
nπr
【思路引导】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式l= ，代入圆心角
180
90°和半径40cm计算即可．
nπr
【规范解答】解：由弧长公式l= ，其中n=90，r=40，
180
90π×40
则A´B的长为 =20π（cm）．
180
故选：B．
2．（25-26九年级上·北京·月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB=32°，则∠ABC
等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．54°【答案】C
【思路引导】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得
∠ADB=90°，则可得∠ADC=58°，再根据圆周角定理求解即可得．
【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDB=32°，
∴∠ADC=∠ADB−∠CDB=58°，
由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC=58°．
故选：C．
3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，AB,BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若
⊙O的直径为5，BC=4，则AD的长为（ ）
A．2❑√5 B．2❑√3 C．4 D．5
【答案】C
【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OD的长是解
3
此题的关键．由垂径定理求出BD=2，再由勾股定理求出OD= ，即可求解．
2
【规范解答】解：连接OB，如图所示：
AO⊥BC,BC=4
∵ ，
1
∴BD= BC=2，∠ODB=90°，
2
∵⊙O的直径为5，
5
∴OB=OA= ，
23
∴OD=❑√OB2−BD2=
，
2
5 3
∴AD=OA+OD= + =4．
2 2
故选：C．
4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）在等边△ABC中，以A为圆心，AB长为半径画圆，则点C
在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
【答案】B
【思路引导】本题考查等边三角形的性质，点与圆的位置关系，由于等边三角形的三边相等，得到
AC=AB．以A为圆心、AB为半径画圆，点C到圆心的距离等于半径，因此点C在圆上，即可得出结果．
【规范解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．
∵ 以A为圆心、AB长为半径画圆，
∴ 点C到圆心A的距离AC=AB（半径），
∴ 点C在圆上；
故选B．
5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点
H的直线HF经过圆心，且垂直底座CD于点F，点A，B在圆上，AC，BD都垂直于CD．已知
AC=BD=2cm，CD=12cm，HF=32cm，则灯罩截面所在圆的半径为（ ）
A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm
【答案】B
【思路引导】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接AB交HF于点M，设灯罩截面所在圆的圆心为
O，连接OA，设灯罩截面所在圆的半径为r,则OM=30−r,OA=r,由勾股定理可得，
OM2+AM2=OA2，据此即可求出答案．
【规范解答】解：连接AB交HF于点M，∵AC，BD都垂直于CD．AC=BD=2cm，
∴AC∥BD,AC=BD，
∴四边形ABDC是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=12cm，
∵HF⊥CD，
∴HF⊥AB于点M，
1
∴AM=BM= AB=6cm，FM=AC=2cm
2
∴HM=HF−FM=30cm，
设灯罩截面所在圆的圆心为O，连接OA，
设灯罩截面所在圆的半径为r,则OM=30−r,OA=r,
由勾股定理可得，OM2+AM2=OA2，
即(30−r) 2+62=r2
解得r=15.6
即灯罩截面所在圆的半径为15.6cm
故选：B
6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，
∠AOC=160°，则∠BCO的度数为（ ）
A．20° B．60° C．40° D．50°
【答案】B
【思路引导】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键．
先根据圆周角定理推导出∠B=100°，根据等边对等角得到∠DAC=50°，∠OCA=10°，再根据平行线求解．
【规范解答】解：如图所示，连接AC，
1
∵∠D= ∠AOC=80°，
2
∴∠B=180°−∠D=100°，
∵AD=CD，OA=OC，
∴∠DAC=∠DCA=50°，∠OCA=∠OAC=10°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=50°，
∴∠BCO=10°+50°=60°，
．
故选：B．
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD，若
∠AOD=120°，AD=3，则AC的长度为（ ）
3❑√2+❑√6 9❑√2
A．3 B．2❑√3 C． D．
2 4
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、
勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的
性质证明△BCE是等腰直角三角形，△AED是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再根据圆
周角定理及直角三角形的性质求出∠BAC=30°，再利用勾股定理求出CE的长，即可求解．
【规范解答】解：∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠CAD，∵∠CBE=∠CAD，
∴∠BCA=∠CBE，
∴BE=CE，
∵AC⊥BD，
∴△BCE是等腰直角三角形，
同理可得，△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∵AD=3，
∴AD2=AE2+DE2=2DE2，即32=2DE2，
3❑√2 3❑√2
解得DE= ，则AE=DE= ，
2 2
∵∠AOD=120°，
1
∴∠ACD= ∠AOD=60°，
2
∴∠CDE=90°−60°=30°，
∴CD=2CE，
∴CE2+DE2=CD2=4CE2，即CE2+
(3❑√2) 2
=4CE2，
2
❑√6
解得CE= ，
2
3❑√2+❑√6
∴AC=CE+AE= ．
2
故选：C．
8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在△ABC中，∠A=90°，
AB=6步，AC=8步，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的直径为（ ）
A．4步 B．5步 C．6步 D．7步
【答案】A【思路引导】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段
的长是解题的关键．
先根据勾股定理求得BC=10步，如图：过O作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，则半径为
OE=OG=OF，再运用等面积法求得OG=2，进而求得⊙O的直径．
【规范解答】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=6步，AC=8步，
∴BC=❑√AB2+AC2=10步，
如图：过O作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，则半径为OE=OG=OF，连接OA,OB,OC，
1 1 1 1
∵ AC⋅AB= AB⋅OG+ AC⋅OF+ BC⋅OE，
2 2 2 2
1 1 1 1
∴ ×8×6= ×6OG+ ×8OG+ ×10OG，
2 2 2 2
解得：OG=2，
∴⊙O的直径为2OG=4步．
故选：A．
9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是
⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC=30°，则∠D=（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】D
【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得
∠ACB=90°，即得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠A=90°−∠ABC=60°，
∵⊙O为△ABC的外接圆，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=180°−∠A=120°，
故选：D．
10．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=33°，CD是斜边AB上的中线，
以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E，则D´E的度数是（ ）
A．52° B．48° C．44° D．42°
【答案】B
【思路引导】本题考查求弧的度数，斜边上的中线.
1
根据斜边上的中线求出得到CD= AB=AD，进而得到∠DAC=∠ACD，三角形的外角得到∠CDE
2
的度数，作图可知CD=CE，等边对等角求出∠DCE的度数即可．
【规范解答】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB上的中线，
1
∴CD= AB=AD，
2
∴∠DAC=∠ACD=33°，
∴∠CDE=∠DAC+∠ACD=66°，
由作图可知CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=66°，
∴∠DCE=180°−2×66°=48°.
故选：B．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O半径为2cm，
OP=6cm．若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的最短距离为 ．【答案】2cm
【思路引导】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，
当⊙O′与AP相切时，O′C⊥AP，再根据直角三角形的性质得O′P=4cm，然后根据OO′=OP−O′P可
得答案．
【规范解答】解：如图所示，当⊙O′与AP相切时，O′C⊥AP，
由题意可知∠APB=30°，OP=6cm，O′C=2cm，
∴O′P=2CO′=4cm，
∴OO′=OP−O′P=6−4=2cm，
即圆心O移动的最短距离是2cm．
故答案为：2cm．
12．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC=CD，∠AOC=50°，则
∠OBD=
【答案】50°
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理的应用，根据AC=CD，∠AOC=50°，即得∠COD=50°，
故∠AOD=100°，再根据圆周角定理即可求解．
【规范解答】解：∵AC=CD，∠AOC=50°，
∴∠COD=50°，∴∠AOD=100°，
1
∴∠OBD= ∠AOD=50°．
2
故答案为：50°．
13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交BA
的延长线于点D，连接BC，若∠ABC=α，则∠D的大小是 .(用含α的式子表示)
【答案】90°−2α
【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键．
连接OC，先根据圆周角定理可得：∠AOC=2α，再利用切线的性质可得：∠OCD=90°，然后利用直
角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【规范解答】解：连接OC，
∵∠ABC=α
，
∴∠AOC=2∠ABC=2α，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°−∠COD=90°−2α，
故答案为：90°−2α．
14．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，AC，AB，BD是⊙O的切线，切点分别为C，E，D点，
若AB=12，BD=3，则AC的长为 ．
【答案】9【思路引导】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理．
根据切线长定理得到AC=AE，BE=BD=3，然后求出AE，进而得到AC=AE=9．
【规范解答】解：∵AC，AB，BD是⊙O的切线，
∴AC=AE，BE=BD=3，
∵AE=AB−BE=12−3=9，
∴AC=AE=9．
故答案为：9．
15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D
是⊙O中弦AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点C，并且AB=1m，CD=2.5m，则⊙O的半径为
．
【答案】1.3m
【思路引导】本题考查了等腰三角形三线合一和勾股定理，圆的基本概念，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．连接OA，OB，由等腰三角形三线合一得AD=BD=0.5m，∠ODA=90°，设⊙O的半径为r，
则OA=OC=r，那么OD=CD−OC=2.5−r，在Rt△ODA中，根据OA2=OD2+AD2，列出方程，
然后解方程即可．
【规范解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵D是弦AB的中点，AB=1m，OA=OB，
∴AD=BD=0.5m，∠ODA=90°，
设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，
∵CD=2.5m，
∴OD=CD−OC=2.5−r，在Rt△ODA中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=(2.5−r) 2+0.52，
解得r=1.3．
则⊙O的半径为1.3m．
故答案为：1.3m．
16．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，
则∠BAD等于 ．
【答案】15°
【思路引导】如图，连接OD、CE，OD交CE于点F，根据矩形的性质得出∠AOB=90°，证明△OCF
是等边三角形，结合等边三角形的性质及角的和差求出∠DOB，再根据圆周角定理即可得出答案．
【规范解答】解：如图，连接OD、CE，OD交CE于点F，
∵四边形OCDE是矩形，
1 1
∴∠AOB=90°，CF= CE= OD=OF，
2 2
∵矩形OCDE内接于扇形AOB，点C是OA的中点，
1 1
∴OC= OA= OD，
2 2
∴CF=OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠COF=60°，
∴∠DOB=∠AOB−∠COF=90°−60°=30°，
∵在⊙O中，圆心角∠DOB和圆周角∠BAD所对的弧为B´D，1 1
∴∠BAD= ∠DOB= ×30°=15°，
2 2
即∠BAD等于15°．
故答案为：15°．
【考点剖析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是
解题的关键．
17．（25-26九年级上·山西朔州·月考）作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深
厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥
舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转60°，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为
平方米．
π 1
【答案】 / π
6 6
【思路引导】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出木棍扫过的区域是扇形，并利用扇形面积
公式求解．
确定木棍扫过的图形为圆心角60°、半径1米的扇形，代入扇形面积公式计算即可．
【规范解答】解：木棍扫过的区域是扇形，圆心角为60°，半径为1米，
nπr2 60π×12 π
扇形面积公式为 ，代入得 = （平方米）．
360 360 6
π
故答案为： ．
6
18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且
圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．测得AB=2cm，则圆形玉佩的半径为 cm．
【答案】2❑√3【思路引导】本题考查的是切线性质的应用，连接OA，OB，根据题意得到∠BAO=60°，则
∠AOB=30°根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可．
【规范解答】解：连接OA，OB，
由题意得，∠BAC=180∘−60∘=120∘，
∵圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．
1
∴∠BAO= ∠BAC=60∘ ，OB⊥AB，
2
∴∠AOB=30°
∴AO=2AB
∴OB=❑√AO2−AB2=❑√3AB=2×❑√3=2❑√3(cm)，即圆形玉佩的半径为2❑√3cm，
故答案为：2❑√3
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，
EC与⊙O相切于点C，AD⊥CE于点D，连接AC．求证：∠DAC=∠EAC．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活利用平行线的判定
与性质是解答本题的关键．连接OC，利用切线的性质，先证明OC∥AD，即有∠DAC=∠OCA，再
根据OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，即有∠DAC=∠EAC．
【规范解答】证明：连接OC，如图，∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠EAC．
20．（本题6分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在⊙O中，AB=AC，半径OM⊥AB，
ON⊥AC，垂足为D，E．
⏜ ⏜
(1)求证： BM=CN ；
(2)若⊙O的半径为5，AB=8，则EN=______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【思路引导】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
⏜ ⏜ ⏜ 1 ⏜ ⏜ 1 ⏜
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得 AB=AC ，再根据垂径定理得BM= AB和CN= AC，即可得出结
2 2
论；
1
（2）连接OA，根据垂径定理得AE= AC，由勾股定理求得OE=3，进而求出EN的长．
2
【规范解答】（1）证明：∵AB=AC，⏜ ⏜
∴AB=AC ，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
⏜ 1 ⏜ ⏜ 1 ⏜
∴BM= AB，CN= AC
2 2
⏜ ⏜
∴BM=CN ；
（2）解：如图，连接OA，
∵AB=AC=8 ON⊥AC
， ，
1
∴AE= AC=4，
2
∵OA=5，
∴OE=❑√OA2−AE2=❑√52−42=3，
∴EN=5−3=2．
故答案为：2 ．
21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点G
在边DC的延长线上．
(1)求证：∠BAD=∠GCB；
(2)若∠DBA=80°，∠CDA=50°，求∠CAD的度数．
【答案】(1)见详解
(2)∠CAD=50°
【思路引导】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是
关键．（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠CBA=130°，则∠CBD=50°，由同弧所对圆周角相等即可求解．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠GCB=180°，
∴∠BAD=∠GCB；
（2）解：∵∠CDA+∠CBA=180°，∠CDA=50°，
∴∠CBA=180°−∠CDA=130°，
∴∠CBD=∠CBA−∠DBA=130°−80°=50°，
⏜ ⏜
∵ CD=CD ，
∴∠CAD=∠CBD=50°．
22．（本题8分）（25-26九年级上·天津和平·期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
AT=10．
(1)如图①，若∠ATB=45°，求直径AB的长；
(2)如图②，点C是OB上一点，若∠ATC=45°，TC与⊙O相交于点D，过点D作弦DE∥AT，与AB
相交于点F，DE=12，求AF和直径AB的长．
【答案】(1)10
(2)AF=4，AB=13；
【思路引导】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题
的关键．；
（1）由题意得∠BAT=90°；推出∠ABT=45°=∠ATB即可求解；
（2）连接OD，同理可得AC=AT=10；根据DE∥AT，推出AB⊥DE，即∠CFD=90°；进而得
1
DF= DE=6=CF，设半径为r，则OF=r−4，根据OF2+DF2=OD2，即可求解；
2
【规范解答】（1）解：∵AT是⊙O的切线，∴AB⊥AT，即∠BAT=90°；
∵∠ATB=45°，
∴∠ABT=45°，
∴AB=AT=10；
（2）解：连接OD，如图所示：
∵∠ATC=45°，∠BAT=90°；
∴∠ACT=45°=∠ATC，
∴AC=AT=10；
∵DE∥AT，
∴AB⊥DE，即∠CFD=90°；
∵∠ACT=45°，
∴∠CDF=45°=∠ACT，
∴CF=DF，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，
1
∴DF= DE=6=CF，
2
∴AF=AC−CF=4；
设半径为r，则OF=r−4，
∵OF2+DF2=OD2，
13
∴(r−4) 2+62=r2，解得：r= ，
2
∴AB=2r=13；
23．（本题8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，⊙O的弦AD∥BC，点D为A´C中点，连
接AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接DO并延长，分别交AC、BC于点G、F．(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD=5，DE=8，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
25
(2)
6
【思路引导】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据垂径定理得到OD⊥AC，根据DE∥AC得到OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）先证明四边形ACED是平行四边形，得到AC=DE=8，根据勾股定理得到DG=3，设⊙O的半径
长为x，连接OA，根据勾股定理得到(x−3) 2+42=x2，求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵点D为A´C中点，OD是半径，
∴OD⊥AC，
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=8，
∵OD⊥AC，
1
∴AG=CG= AC=4，
2
∴DG=❑√AD2−AG2=❑√52−42=3，
设⊙O的半径长为x，则OA=OD=x，
∴OG=x−3，
连接OA，在Rt△OAG中，OG2+AG2=OA2，∴(x−3) 2+42=x2，
25
解得x= ，
6
25
∴⊙O的半径长为 ．
6
24．（本题8分）（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉
车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的
直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
(1)小明猜想∠BDC=∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由．
(2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离2.5米，BC的长为1.5米，求车轮的半径．
【答案】(1)小明的猜想正确，证明见解析
4
(2)车轮的半径为 米
3
【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内
容是解题的关键．
（1）连接OD，由切线的性质可证∠ODB+∠BDC=90°，由直径所对的圆周角是直角可证
∠A+∠OBD=90°，再证明∠ODB=∠OBD，进而可证∠BDC=∠A；
（2）设车轮的半径为r，则OC=r+1.5，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：小明的猜想正确．
连接OD，如图∵CD ⊙O
与 相切，
∴OD⊥CD，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠BDC；
（2）设车轮的半径为r，则
OC=r+1.5，
∵CD=2.5米，
∴(r+1.5) 2=r2+2.52．
4
解得r= ．
3
4
答：车轮的半径为 米．
3
25．（本题10分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点
D,BG⊥AC于点G，交AD于点E，延长BG交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)当∠ACB=37°，∠BAC=66°时，求∠AFC的度数．
(2)求证：AE=AF．
(3)当OE⊥AD时，求证：AF=2ED．
【答案】(1)103°
(2)见解析(3)见解析
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，
垂径定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB=37°，∠BFC=∠BAC=66°，即可求解；
（2）根据直角三角形的性质可得∠ACB=∠AEG，再由圆周角定理可得∠AEG=∠AFB，即可求证；
（3）延长AD交⊙O于点H，连接BH，根据圆周角定理可得∠H=∠BED，从而得到BE=BH，再由
等腰三角形的性质可得EH=2DE，然后根据垂径定理可得AE=EH，可得AE=2DE，即可求证．
【规范解答】（1）解：∵∠ACB=37°，∠BAC=66°，
∴∠AFB=∠ACB=37°，∠BFC=∠BAC=66°，
∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=37°+66°=103°；
（2）证明：∵AD⊥BC，BG⊥AC，
∴∠ADC=∠AGE=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°,∠AEG+∠CAD=90°，
∴∠ACB=∠AEG，
∵∠ACB=∠AFB，
∴∠AEG=∠AFB，
∴AE=AF；
（3）证明：如图，延长AD交⊙O于点H，连接BH，
∵∠BED=∠AEF，∠AEF=∠AFB，
∴∠BED=∠AFB，
∵∠H=∠AFB，
∴∠H=∠BED，
∴BE=BH，
∵AD⊥BC，
∴EH=2DE，
∵OE⊥AD，
∴AE=EH，∴AE=2DE，
∵AE=AF，
∴AF=2DE．
26．（本题10分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知A，B为圆上两定点，点C在该圆上，
∠C为A´B所对的圆周角．
【知识回顾】
（1）如图①，在⊙O中，点B，C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长．
【逆向思考】
（2）如图②，P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：点P为该圆的圆心．
【答案】（1）①∠C＝45°
② BC=7❑√2
（2）见解析
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理．
(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；
②构造直角三角形，根据勾股定理可以求出AB=5❑√2，BM=3❑√2，根据线段之间的关系求出BC的长度；
(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可．
【规范解答】(1) ①解：∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，
∴3∠C=135°，
∴∠C=45°；
②解：如下图所示，连接AB，过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵∠C=45° AC=8
， ，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4❑√2，
∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=❑√2OA=5❑√2，
在直角△ABM中，BM=❑√AB2−AM2=3❑√2，
∴ BC=CM+BM=4❑√2+3❑√2=7❑√2．
(2)证明：如下图所示，延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，
∵∠APB=2∠C
，
∴∠APB=2∠N，
∵∠APB=∠N+∠PBN，
∴∠N=∠PBN，
∴PN=PB，
∵PA=PB，
∴PA=PB=PN，
∴P为该圆的圆心．
