文档内容
第 08 讲 线段的垂直平分线的性质（1 个知识点+3 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，
到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外
心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
题型强化
题型一．线段垂直平分线的性质
1．（2023秋•阳信县期末）如图， ，若 和 分别垂直平分 和 ，
则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由 ，可求得 的度数，又由 ， 分别垂直平分 ，
，根据线段垂直平分线的性质，可得 ， ，继而求得
的度数，则可求得答案．【解答】解： ，
，
， 分别垂直平分 ， ，
， ，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意
掌握数形结合思想的应用．
2．（2024春•萧县期末）如图， 中 ， 的垂直平分线 交 于点
．若 ，则 的周长为 ．
【 分 析 】 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 性 质 知 ， ． 的 周 长
．
【解答】解： 垂直平分 ，
．
的周长
．故答案为： ．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，内容单一，属基础题．
3．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分
线交于点 ，两垂直平分线交 的边于点 ， ， ， ，连接 ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： 平分 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得
出 ， ，求出 ， ，求出 ，即
可求出答案；
（2）连接 ， ，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定
义即可得到结论．
【解答】（1）解： ，
，
边 、 的垂直平分线分别交 边于点 、 ，
， ，
， ，
，
；
（2）证明：连接 ， ，
边 、 的垂直平分线分别交 边于点 、 ，
， ，
，
，
， ，
， ，，
同理 ，
，
即 平分 ．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定
三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
题型二、线段垂直平分线的判定
4．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（ ）
A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线
B．若直线AB是线段CD的垂直平分线，则CD也是AB的垂直平分线
C．线段AB的中垂线平分线段AB
D．线段AB的中垂线有无数条
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定
【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进
行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的
两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键．
【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本
选项不符合题意；
B．直线AB是线段CD的垂直平分线，则CD不一定是AB的垂直平分线，故本选项不符合
题意；
C．线段AB的中垂线平分线段AB，故本选项符合题意；
D．线段AB的中垂线只有一条，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，
， ．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得 垂直平分 ，
则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知命题“如图，在 中， ，
， 为 的角平分线，那么点 在线段 的垂直平分线上”是真命题，
请证明．
【答案】证明见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的
定义，过点D作 于点E，则 ，证明 ，得到 ，
进而证明 ，据此可证明结论．
【详解】证明：如图，过点D作 于点E，则 ．
，
．
∵ 为 的角平分线，
．
在 和 中，，
．
，
，
，
所在直线是线段 的垂直平分线，即点 在线段 的垂直平分线上．
题型三、作已知线段的垂直平分线
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 ，用尺规作图的方法在 上
确定一点P，使 ，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】作已知线段的垂直平分线
【分析】根据 即 ，只需作线段 的垂直平分线即可．
本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．
【详解】解：根据题意， 即 ，只需作线段 的垂直平分线即可．
故选B．
8．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图， ， 是 的垂直平分线，
，则 ．【答案】30
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作已知线段的垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 ，再根
据等边对等角的性质求出 ，然后根据直角三角形两锐角互余列式求解即可．解
题的关键是证得 ．
【详解】解：∵ 是AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：30．
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，
(1)尺规作图：作 的垂直平分线，交 于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ， 的周长等于50，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的作图，以及线段的垂直平分线的性质，
正确理解 的周长 是关键．
（1）利用尺规作图即可作出；
（2）根据线段的垂直平分线的性质可得 ，则 的周长 ，据此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线 即为所求，
（2）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴ ．
分层练习
一、单选题
1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，可得到到三角
形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2．在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢
凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放
的最适当的位置是 的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据题意可知凳子到 的三个顶点
的距离相同，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知凳子到 的三个顶点的距离相同，故凳子是三边垂直平分
线的交点，
故选：D．3．如图， 是 的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线 于D，E两
点，分别以D，E为圆心以大于 为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线 的
两侧），作直线 交 于点F，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B．7 C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．根据尺规作图可得 垂直平分 ，
再由角平分线的性质可得点M到 的距离等于点M到 的距离等于 ，
【详解】解：由作法得 垂直平分 ，
∵ 是 的角平分线，
∴点M到 的距离等于点M到 的距离等于 ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
4．如图，在 中， ， ，分别以点 ，点 为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧交于点 ， ，过点 ， 作直线交 于点 ，连接 ，则
的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明 ，
根据 的周长 ，即可求出答案．【详解】解：由作图知， 垂直平分 ，
，
的周长 ，
， ，
的周长 ，
故选：C．
5．如图，在 中， ，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两
弧分别交于点M，N，直线 交 于点D，连接 ，则 的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分
线的性质证明 ，可得结论．
【详解】由作图可知 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故选：D．
6．如图，已知线段 ，小蒲利用尺规作 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点
A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线 ．直线 就是线段
的垂直平分线．则a的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】A【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据作图方法和步骤，即可解答．
【详解】解：根据尺规作图—作垂直平分线的步骤可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴a的值可能是6，
故选：A．
7．如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、
于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
连接 并延长交 于点 ，以下结论错误的是（ ）
A． 是 的平分线 B．
C．点 在线段 的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含 的直角三角形
的性质，A根据作图的过程可以判定 是 的角平分线；B利用角平分线的定义可以
推知 ，则由直角三角形的性质来求 的度数；C利用等角对等边可以证
得 ，由线段垂直平分线的判定可以证明点 在 的垂直平分线上；D利用 角
所对的直角边是斜边的一半求出 ，进而可得 ，则
．
【详解】解：根据作图方法可得 是 的平分线，故A正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．如图， ，则有（ ）
A． 垂直平分 B． 垂直平分
C． 与 互相垂直平分 D． 平分
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据 证明 ，根据全等三
角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
在 与 中，
，
，
，
∴ 垂直平分 ，故A正确，
无法得出 ，故 不能垂直平分 ，故B和C错误，
也无法得出 ，故 不能平分 ，故D错误，
故选：A．
9．如图， 中，边 AB 的垂直平分线分别交 ，AB 于点 ， ， ，
的周长为 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计
算，得到答案．
【详解】解： 是 的垂直平分线，， ，
的周长为 ，
，
的周长 ，
故选：D．
10．如图，已知 ， ，用尺规作图的方法在 上取一点 ，使得
，则下列选项正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图、判定和性质等知识，根据题意证明点P为
的垂直平分线与 的交点即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
即：点P为 的垂直平分线与 的交点．
只有B选项符合题意，
故选：B．
二、填空题
11． ， 点 在线段 的垂直平分线上． （填推理的依据）【答案】到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理．
根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可．
【详解】解： ，
点 在线段 的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上）．
故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
12．如图，已知线段 ．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交于 点 ．观察图形，请写出图中线
段之间的一个等量关系 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得 垂直平分 ，即可得
到答案．
【详解】解：由作法得 垂直平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在 中， ， 是 的垂直平分线， 周长为14，
，则 长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线
的性质得到 ，再由三角形周长计算公式推出 ，再由 ，可得．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 周长为14，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：8．
14．如图，在 中， ， ，分别以点A， 为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 ，交 于点 ，连接AD，则
的度数是 ．
【答案】 /42度
【分析】本题主要考查作图一基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
根据内角和定理求得 ，由中垂线性质知 ，即 ，从而
得出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
，
由作图可知 为 的中垂线，
，
，
，
故答案为： ．
15．如图， 中，AB的垂直平分线交 于点D， 的垂直平分线交 于点E，若
，则 的周长为 cm．【答案】12
【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的
关键是利用垂直平分线的性质．
【详解】解：∵边AB的垂直平分线交边 于点D，边 的垂直平分线交边 于点E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的周长
＝12，
故答案为：12．
16．如图，已知 ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于两
点，过这两点作直线分别交 、 于点 、 ，连接 ，若 ， 的周长
为 ，则 的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方
法，是解答本题的关键．
由作图得： 垂直平分 ，故 ， ，然后利用等线段代换计算
的周长，由此得到答案．
【详解】解：由作图得：
垂直平分 ，
， ，的周长为 ，
，
，
即 ，
的周长是：
，
故答案为： ．
17．在 中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作 的角平分线
交 于点D；然后作线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点F．据此，我们可以
推出：线段 与线段 的关系为 ．
【答案】互相垂直平分
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明
，得到 ，即可得到线段 与线段 的关系为互相垂直平
分．
【详解】解：设线段 与线段 交于H，
∵线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，
∴ ，
∵ 的角平分线 交 于点D，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 与线段 的关系为互相垂直平分．18．如图，在 中， 于点 ，且 ， ，
于点 ，若 ， ，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线
构造全等三角形．
由线段垂直平分线的性质得到 ，由补角的性质推出 ，由 证明
，得到 ， ，又 ，推出 ，
得到 ，求出 ，即可得到 ．
【详解】解：过 作 交 延长线于 ，连接 ，
于点 ，且 ，
，
， ，
，
于点 ，
，，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
三、解答题
19．如图，设 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所
小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．
（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
故作出 的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点．
本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【详解】解：如图，点P就是学校的位置．20．如图，在四边形 中， 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，且
．
求证：点 一定在 的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】题目主要考查垂直平分线的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的判定和性质是解
题关键．
连接 ，根据垂直平分线的性质得出 ，再由等量代换得出
，即可证明．
【详解】解：连接 ，
∵ 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 一定在 的垂直平分线上．
21．已知：如图， ， ， 是 上的一点．
求证： （利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明）【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其
逆定理是解题的关键，证点 在线段 的垂直平分线上，点 在线段 的垂直平分线上，
得AD垂直平分 ，从而 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，点 在线段 的垂直平分线上，
∴AD垂直平分 ，
∴ ．
22．如图， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，求
的周长．
【答案】19
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出 ，从
而得出 ，即可得解．
【详解】解∵ 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
23．为了落实“爱国卫生运动”，某市计划在 村、 村之间建一个洗手台 ，两村坐落
在两相交的笔直公路 ， 内（如图所示），洗手台 点必须满足下列条件：① 点到
两公路距离相等，② 点到两村的距离也相等．请你通过作图确定 点的位置（保留作图
痕迹，不写作法）．【答案】见解析
【分析】作线段CD的垂直平分线 ，作 的角平分线 ，交 于点 ，点 即
为所求．
本题考查作图 应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：如图，点 即为所求．
24．如图，已知 ，求作点 ，使点 同时满足以下两个条件：
①点 到 两点的距离相等；
②点 到 两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查尺规作图，涉及作垂直平分线和角平分线，由①要求知作线段
的垂直平分线，由②可知作 的角平分线，上述二者的交点即为所求．
【详解】解：如图，点 即为所求．25．如图，在 中， ．
(1)尺规作图：在 边上找一点D，使 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相
等．
（1）由 可得点D在 的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作
出 的垂直平分线，与 的交点D即为所求；
（2）由（1）可得 ，从而 ，根据等角的余角相等得到
，从而 ，根据 即可解答．
【详解】（1）解：如图，点D为所求．
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
26．已知：如图所示 ．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作 的平分线和 的垂直平分线，它们的
交点为D．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ， ，过点D画 ，则 的长为 ．（如需画草图，请使用备用
图）
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性
质．
（1）根据点D到边 的距离相等，即点D在 的角平分线上，又根据
，即点D在线段 的垂直平分线上，所以，点D为 的角平分线与线段
的垂直平分线的交点，据此作图即可；
（2）过点点D作 交 于点E，过点D作 交 于点F，由（1）知，证明 ，再证 ，
推出 ，再根据 即可求出 的长
【详解】（1）解：如图，点D即为所求，
（2）解：如图，过点作 交 于点E，过点D作 交 于点F，
由（1）知 ，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，，
，
，
，即 ，
，
， ，
．
故答案为：3．
