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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题6.3实数专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
22
1．（2022秋•锦江区校级期中）以下四个数：−√2，3.14， ，0.101，无理数的个数是（ ）
7
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：3.14，0.101是有限小数，属于有理数；
22
是分数，属于有理数；
7
无理数有−√2，共1个．
故选：A．
1
2．（2022秋•开福区校级期中）在四个数﹣2，﹣0.6， ，√3中，最小的数是（ ）
2
1
A．﹣2 B．﹣0.6 C． D．√3
2
【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两
个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
1
【解答】解：∵﹣2＜﹣0.6＜ ＜√3，
2
∴四个数中最小的数是﹣2．
故选：A．
3．（2022秋•鄞州区校级期中）现有4个数：﹣3.5，−√2， ，﹣22，其中在﹣3和4之间的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 π D．4 个
【分析】根据实数大小比较方法，比较各数与﹣3，4的大小即可得答案．
【解答】解：∵﹣3.5＜﹣3＜−√2＜ ＜4＜22，
∴在﹣3和4之间的有−√2和 两个，π
π故选：B．
4．（2022秋•李沧区期中）如图，√7在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点M D．点P
【分析】先判断出√7的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵√4＜√7＜√9，
∴2＜√7＜3，
∴点M符合题意，
故选：C．
5．（2022秋•杭州期中）以下几种说法：①每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②近似数1.70所
表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705；③在数轴上表示的数在原点的左边；④立方根是它本身的
数是0和1；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①数轴上的点与实数是一一对应关系，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；
②根据四舍五入来判定x的取值范围；
③在数轴上表示的数可以在原点的左边右边或原点上；
④根据立方根的定义解答．
【解答】解：①数轴上的点与实数是一一对应关系，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；
②根据四舍五入来判定近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705；
③在数轴上表示的数可以在原点的左边右边或原点上；
④立方根是它本身的数为0，1，﹣1．
故选B．
6．（2022秋•杭州期中）下列大小关系判断正确的是（ ）
1 1
A．0＞|﹣10| B．− ＞−（− ）
9 10
C．﹣3＞−√10 D．﹣32＞﹣
【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行比较即可．π
【解答】解：|﹣10|＝10＞0，故A不符合题意；
1 1 1
∵− ＜0，﹣（− ）= ＞0，
9 10 101 1
∴− ＜−（− ），故B不符合题意；
9 10
∵10＞9，
∴√10＞3，
∴﹣3＞−√10，故C符合题意；
∵32＝9， ≈3.14，
∴32＞ ，π
∴﹣32π＜﹣ ，故D不符合题意．
故选：C．π
7．（2022秋•苍南县期中）估计实数√7+1介于整数（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据算术平方根估算无理数√7的大小，进而得出√7+1的大小即可．
【解答】解：∵2＜√7＜3，
∴3＜√7+1＜4，
故选：C．
8．（2022秋•朝阳区校级期中）在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为√2，点B关于点A的对
称点为C，则C所表示的数为（ ）
√2−1
A．√2−1 B． C．−√2−2 D．−2√2−1
2
【分析】首先根据数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为√2，可以求出线段AB的长度，然后根据
点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【解答】解：∵数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为√2，
∴BA=√2−（﹣1）=√2+1，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴BA＝AC，
设点C表示的数为x，则
√2+1＝﹣1﹣x，
∴x＝﹣2−√2；
∴点C的坐标为：﹣2−√2．
故选：C．
9．（2022•雨花台区校级模拟）√2+√3的小数部分是（注：[n]表示不超过n的最大整数）（ ）
A．√2+√3−2 B．√2+√3−3 C．4−√2−√3 D．[√2+√3]﹣2【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则其算术平方根越大）解决此题．
【解答】解：∵1＜1.96＜2＜2.89＜3＜4，
∴1＜1.4＜√2＜√2.89＜√3＜2．
∴1.4＜√2＜1.7＜√3＜2．
∴√2+√3的小数部分是√2+√3−3．
故选：B．
10．（2022•南京模拟）对于示数 x，规定 f（x）＝x2﹣2x，例如 f（5）＝52﹣2×5＝15，
1 1 1 7
f(− )=(− ) 2−2×(− )= ，现有下列结论：
3 3 3 9
①若f（x）＝3，则x＝﹣1；
②f（x）的最小值为﹣1；
③对于实数a，b，若a+b=√3，ab＝﹣1，则f(a)+f(b)=5−2√3；
④f（10）﹣f（9）+f（8）﹣f（7）+⋯+f（2）﹣f（1）＝65．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】依据题意，规定f（x）＝x2﹣2x，①题直接解一元二次方程；②题用配方法求最值；③题用
完全平方公式进行变形；④题把特殊值代入，即可得出答案．
【解答】解：依据题意f（x）＝x2﹣2x，
①f（x）＝3，即x2﹣2x＝3，解得x ＝﹣1，x ＝3，因此①错误，不符合题意，
1 2
②f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，故f（x）的最小值为﹣1，因此②正确，符合题意，
③对于实数a，b，若a+b=√3，ab＝﹣1，
即 f （ a ） +f （ b ） ＝ （ a2﹣ 2a ） + （ b2﹣ 2b ） ＝ （ a+b ） 2﹣ 2ab﹣ 2 （ a+b ）
，故③正确，符合题意，
=(√3) 2−2×(−1)−2×√3=5−2√3
④∵f（10）＝102﹣2×10＝80，f（9）＝92﹣2×9＝63，f（8）＝82﹣2×8＝48，f（7）＝72﹣2×7＝35，f
（6）＝62﹣2×6＝24，f（5）＝52﹣2×5＝15，f（4）＝42﹣2×4＝8，f（3）＝32﹣2×3＝3，f（2）＝22﹣
2×2＝0，f（1）＝12﹣2×1＝﹣1，
∴f（10）﹣f（9）+f（8）﹣f（7）+f（6）﹣f（5）+f（4）﹣f（3）+f（2）﹣f（1）＝45，故④错误，
不符合题意．
∴答案为②③．
故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•武侯区校级期中）比较：√37−2 ＞ 4．
【分析】比较两数的大小，可以比较两数差与0的大小，差大于0，被减数大于减数，反之，则被减数
小于减数．
【解答】解：√37−2﹣4
=√37−6
=√37−√36，
显然√37−√36＞0，
∴√37−2＞4．
故答案为：＞．
12．（2022秋•萧山区校级期中）已知6−√13的整数a，小数部分b，则a＝ 2 ，2a﹣b＝ √13 ．
【分析】先估算6−√13的范围，再确定它的整数a和小数部分b，最后代入计算2a﹣b．
【解答】解：∵√9＜√13＜√16，即3＜√13＜4，
∴﹣4＜−√13＜−3，
∴6﹣4＜6−√13＜6﹣3，即2＜6−√13＜3．
∴a＝2，b＝6−√13−2＝4−√13．
∴2a﹣b＝2×2﹣（4−√13）
＝4﹣4+√13
=√13．
故答案为：2，√13．
13．（2022春•梁平区期中）√2−3的相反数是 3−√2 ，√81的平方根是 ± 3 ．
比较：√37−2 ＞ 4，−√5 ＜ ﹣2．
【分析】利用相反数的意义，平方根的意义和有理数的大小比较的法则解答即可．
【解答】解：√2−3的相反数是3−√2，√81的平方根为±3；
故答案为：3−√2；±3；
∵√37＞√36，
∴√37＞6，
∴√37＞4+2，
∴√37−2＞4；
故答案为：＞；
∵√5＞√4，
∴√5＞2，∴−√5＜−2．
故答案为：＜．
14．（2022春•海丰县期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝ 2 b ．
【分析】根据点在数轴的位置，知：a＜0，b＞0，且a的绝对值大于b的绝对值．根据实数的运算法则，
知：a﹣b＜0，a+b＜0．再根据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：根据数轴得：
a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝b﹣a+b+a
＝2b．
故答案为：2b．
15．（2022春•牡丹江期中）已知a是√8的整数部分，b是√8的小数部分，则（﹣a）3+（b+2）2＝ 0
．
【分析】根据4＜8＜9，开方求出√8的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b的值，代入所求式子
计算即可求出值．
【解答】解：∵4＜8＜9，∴2＜√8＜3，
∴√8的整数部分a＝2，小数部分b=√8−2，
则原式＝﹣8+8＝0．
故答案为：0
16．（2022春•滨州期末）m，n分别是√2−1的整数部分和小数部分，则2m﹣n＝ 1−√2 ．
【分析】先估算出√2的大致范围，然后可求得√2−1的整数部分和小数部分，从而可得到m、n的值，
最后代入计算即可．
【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1＜√2＜2，
∴0＜√2−1＜1．
∴m＝0，n=√2−1．
∴2m﹣n＝0﹣（√2−1）＝1−√2．
故答案为：1−√2．
17．（2022春•启东市期中）对于任意两个正数x和y，规定x y {√x−y(√x≥ y)，例如，4 1
= =√4−
y−√x(√x＜y)
⊕ ⊕1＝1．请计算（5 2）﹣（5 3）＝ 2√5− 5 ．
【分析】利用规定⊕x y的运算⊕法则分别计算5 2和5 3后，再利用实数的运算法则运算即可．
【解答】解：∵5 2⊕=√5−2，5 3＝3−√5，⊕ ⊕
∴（5 2）﹣（5⊕3） ⊕
＝（√⊕5−2）﹣（⊕3−√5）
=√5−2﹣3+√5
＝2√5−5，
故答案为：2√5−5．
18．（2022春•黔西南州期末）如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数为1．
将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点分
别为A′，B′，C′，D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记
为S．当S＝1时，数轴上点B'表示的数是 2. 5 ．
【分析】根据正方形ABCD的面积为4得到边长AD＝AB＝2，移动方向不确定，应该分类讨论，即可
得到点B'表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长AD＝AB＝2，
∴点A表示的数为3，
当正方形沿数轴向右移动时，
当S＝1时，AD×AB′＝1，
1
∴AB′= ，
2
∴点B'表示的数为2.5；
当正方形沿数轴向左移动时，
当S＝1时，BC×A′B＝1，
1
∴A′B= ，
2
∴BB′＝1.5，
∴点B'表示的数为1﹣1.5＝﹣0.5；故答案为：2.5或﹣0.5．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•安岳县校级月考）计算：
（1）（√3）2−√16+√3−8；
√121
（2）（﹣2）3× +（﹣1）2013−√327；
4
√ 1 √ 3
（3）√(−4) 2+ 2 +33 −√32+42．
4 8
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（√3）2−√16+√3−8
＝3﹣4+（﹣2）
＝﹣3；
√121
（2）（﹣2）3× +（﹣1）2013−√327
4
11
＝﹣8× +（﹣1）﹣3
2
＝﹣44﹣1﹣3
＝﹣48；
√ 1 √ 3
（3）√(−4) 2+ 2 +33 −√32+42
4 8
3 3
＝4+ + −5
2 2
＝2．
20．（2022 秋•萧山区校级期中） 课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
4 1 π 4 π
− ，√3，|− |，0， ，−√16．其中，甲同学说“− ”，乙同学说“√3”，丙同学说“
7 2 3 7 3
”．（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： 0 、 −√16 ；
4
负分数： − ．
7
【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
4 π
【解答】解：（1）因为“− ”是负分数，属于有理数；“√3”是无理数，“ ”是无理数．
7 3
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲；
故答案为：甲；
1 1
（2）−√16=−4，|− |= ，
2 2
整数有：0，−√16；
4
负分数有：− ．
7
4
故答案为：0，−√16；− ．
7
21．（2022春•重庆月考）已知√5的整数部分是a，√5的小数部分是b，c﹣1是9的算术平方根，求
2b
√2a+ −√3 ac+|b+1|的值．
a
【分析】估算无理数的大小得到a，b的值，再根据算术平方根的定义求出c的值，然后代入代数式进
行计算即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴a＝2，b=√5−2，
∵c﹣1是9的算术平方根，
∴c﹣1＝3，
∴c＝4，
2b
∴√2a+ −√3 ac+|b+1|
a
2(√5−2)
=√4+ −√32×4+|√5−2+1|
2＝2+√5−2﹣2+√5−2+1
＝2√5−3．
22．（2022 秋•杭州期中）（1）若 a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c=|√7−√11|，
|x+2|+√y−3=0．
则a＝ 1 ；b＝ 0 ；c＝ √11−√7 ；x＝ ﹣ 2 ；y＝ 3 ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，|e|=√2，求代数式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根的非负性，进行计算即可解答；
（2）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，e＝±√2，然后代入式子中进行计算即可
解答．
【解答】解：（1）∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，
∴a＝1，b＝0，
∵c=|√7−√11|，
∴c=√11−√7，
∵|x+2|+√y−3=0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
故答案为：1；0；√11−√7；﹣2；3；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，|e|=√2，
∴a+b＝0，cd＝1，e＝±√2，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的
＝4×0+（﹣1）﹣2
＝0﹣1﹣2
＝﹣3，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值为﹣3．
23．（2022秋•南岸区校级期中）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+√x+ y+z=0，求x﹣2y+z的平方根．
（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简 |c﹣b| |a+c|．
√3 c3+ −√(a−b) 2+
【分析】（1）已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，求x、y、z的值，即
可求得x﹣2y+z的值，进一步得出答案；
（2）根据数轴判断a、b、c的正负，然后判断c﹣b、a﹣b、a+c的正负，然后去绝对值，去根号，最后整理即可．
【解答】解：（1）∵|2x﹣4|+（y+3）2+√x+ y+z=0，
∴2x﹣4＝0，y+3＝0，x+y+z＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，z＝1，
∴x﹣2y+z＝2+6+1＝9，
∴x﹣2y+z的平方根为±3．
（2）由数轴可知，
b＜a＜0＜c，|c|＞|a|，
∴c﹣b＞0，a﹣b＞0，a+c＞0，
∴ |c﹣b| |a+c|
√3 c3+ −√(a−b) 2+
＝c+c﹣b﹣（a﹣b）+a+c
＝c+c﹣b﹣a+b+a+c
＝3c．
24．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 2 的点重合；
（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示 ﹣ 3 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示
11 15
的数是 − ；点B表示的数是 ．
2 2
③表示√5点与表示 2−√5 的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的
速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意确定纸片是沿着0点进行折叠的，再求解即可；
（2）①由题意确定纸片是沿着表示1的点进行折叠的，再求解即可；
x+x+13
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，根据折叠的性质可得 =1，求出x的值再求
2
解即可；
③由①的折痕点，可求出表示√5点与表示2−√5的点重合；（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，则x＝﹣1+2t，根据题意列出方程|x+1|
＝2|x﹣2|，求出x后再求t的值即可求解．
【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，
∴纸片是沿着0点进行折叠的，
∴表示﹣2的点与表示2的点重合，
故答案为：2；
（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
−1+3
又∵ =1，
2
∴纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
∴表示5的点与表示﹣3的点重合，
故答案为：﹣3；
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，
∵A、B两点经折叠后重合，
x+x+13
∴ =1，
2
11
解得x=− ，
2
11 15
∴− +13= ，
2 2
11 15
∴点A表示的数是− ，点B表示的数是 ，
2 2
11 15
故答案为：− ， ；
2 2
③∵纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
∴表示√5点与表示2−√5的点重合，
故答案为：2−√5；
（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，
∴x＝﹣1+2t，
∵它到点P的距离是到点Q的距离的2倍，
∴|x+1|＝2|x﹣2|，
解得x＝1或x＝5，
当x＝1时，2t﹣1＝1，解得t＝1，当x＝5时，2t﹣1＝5，解得t＝3，
∴运动1秒或3秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍．
