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专题 1.2 等边三角形
等边三角形的性质
【例1】下列说法错误的是
A．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【解答】解： ．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 不符合题意；
．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故 符合题意；
．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故 不符合题意题意；
．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故 不符合题意题意；
故选： ．
【变式训练1】下列说法：
①两个图形全等只与形状、大小有关，而与它们的位置无关；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
④所有的等边三角形都是全等图形．
其中正确的说法为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：两个图形全等只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，①正确，符合题
意；
全等三角形的对应边相等、对应角相等，②正确，符合题意；
全等图形的面积相等，面积相等的两个图形不一定是全等图形，③错误，不符合题意；
所有的等边三角形不一定是全等图形，④错误，不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
B．角平分线是角的对称轴C．等腰三角形的角平分线与高互相重合
D．有一个角为 的等腰三角形是等边三角形
【解答】解： 、三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部，错误，三角形的高不一
定在三角形内部，本选项不符合题意．
、角平分线是角的对称轴，错误，应该是角平分线所在的直线是角的对称轴，本选项不
符合题意．
、等腰三角形的角平分线与高互相重合，错误，应该是等腰三角形的顶角的角平分线与
高互相重合．本选项不符合题意．
、有一个角为 的等腰三角形是等边三角形，正确，本选项符合题意，
故选： ．
【变式训练3】以下叙述中不正确的是
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为 的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两
个角不相等，那么它们所对的边也不相等
【解答】解： ，正确，符合等边三角形三线合一性质；
，正确，符合等边三角形的判定；
，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；
，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．
故选： ．
求角度
【例2】如图， 是等边三角形，点 在 边上， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 是等边三角形，，
， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，点 在等边 的边 的延长线上，点 在线段 上，连接
， ，若 ，且 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图， 是等边 的一条中线，若在边 上取一点 ，使得
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 为等边三角形，，
是等边 的一条中线，
， ，
，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图， 为等边三角形， 为中线，延长 至 ，使 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 是等边三角形， 是中线，
， ．
又 ，
．
又 ，
．
．
．
故选： ．
求长度
【例3】如图，在等边三角形 中 ， 是 边上的高，延长 至点 ，使
，则 的长为 3 ．【解答】解： 是等边三角形，
，
是 的平分线，
为 的中点，
，
，
，
．
故答案为：3
【变式训练1】一个等腰三角形的腰长是 ，一个外角是 ，则它的底边长是 5
．
【解答】解： 等腰三角形一个外角等于 ，
与这个外角相邻的内角是 ，
该等腰三角形是等边三角形，
腰长为 ，
该三角形的底边长 ．
故答案为：5
【变式训练2】如图， 是等边三角形，点 在 的延长线上，点 是 的中点，
连接 并延长交 于点 ，且 ，若 ，则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： 是等边三角形，点 是 的中点，
， ，，
，
，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
故选： ．
【变式训练3】如图，等边 中， ，点 是 边上一点，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：过 点作 于 ，如图，
为等边三角形，
，
，
当 点与 点重合时， 的值最小，
的最小值是 ．
故选： ．等边三角形的判定
【例4】下列对三角形 的判断，错误的是
A．若 ，则 是直角三角形
B．若 ， ，则 是等边三角形
C．若 ， ，则 是等腰三角形
D．若 ， ，则
【解答】解： ．若 ， ， ， ，所以
是直角三角形，正确，故选项不符合题意；
．若 ， ，所以 ， ，所以 是等边三角形，
正确，故选项不符合题意；
．若 ， ，所以 ， ，所以 是等腰三角形，
正确，故选项不符合题意；
．若 ， ，所以 ，那么 ，故 选项错误，符
合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列三角形中，不是等边三角形的是
A．有一个角为 的等腰三角形
B．有两个外角相等的等腰三角形
C．三个外角都相等的三角形
D．腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形
【解答】解： 、有一个角为 的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
、有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故符合题意；
、三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形，故不符合题意；
、腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】在 中， ，则 的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：设 ， ， ，
，，
解得： ，
，
是直角三角形，
故选： ．
【变式训练3】下列推理中，不能判断 是等边三角形的是
A． B． ，
C． ， D． ，且
【解答】解： 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角
形，故本选项不符合题意．
、由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故
本选项不符合题意．
、由“ ， ”可以得到“ ”，则由“三个角都相等
的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故本选项不符合题意．
、由“ ，且 ”只能判定 是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
常见的证明题
【例5】如图，在 中， 是 边上的高， 平分 交 边于 ，两线相
交于 点．
（1）若 ， ，求 的大小；
（2）若 是 的中点， ，求证： 是等边三角形．
【解答】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，，
，
．
（2）证明： ， 平分 ，
，
， ，
，
是等边三角形．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， 于 ， 的
平分线分别交 ， 于点 ， ，求证： 是等边三角形．
【解答】证明： 在 中， ， ，
， ，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
为等边三角形．
【例6】如图，已知 和 均为等边三角形，且点 、 、 在同一条直线上，
连接 、 ，交 和 分别于 、 点，连接 ．
（1）请说出 的理由；
（2）试说出 的理由；
（3）试猜想： 是什么特殊的三角形，并加以说明．【解答】解：（1） 和 均为等边三角形
，
；
（2）
，点 、 、 在同一条直线上
又
；
（3） 是等边三角形，理由如下：
（全等三角形的对应边相等）
又
是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
【变式训练1】如图，已知点 、 、 在同一条直线上， 和 都是等边三角
形． 交 于 ， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．【解答】证明：（1） 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
．
（2）由（1）知 ，
则 ，
又 和 都是等边三角形，且点 、 、 在同一条直线上，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
为等边三角形
，
．
【变式训练2】如图， 、 、 三点在同一直线上，分别以 、 为边，在直线
的同侧作等边 和等边 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接
得 ．
（1）求证： ．
（2）试判断 的形状，并说明理由．【解答】解：（1）证明： 等边 和等边 ，
， ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2） 为等边三角形，理由为：
证明： ，
，
又 ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
则 为等边三角形．
【变式训练3】图1、图2中，点 为线段 上一点， 与 都是等边三角形．
（1）如图1，线段 与线段 是否相等？证明你的结论；
（2）如图2， 与 交于点 ， 与 交于点 ，探究 的形状，并证明你
的结论．【解答】解：（1） 与 都是等边三角形，
， ， ．
， ，
在 和 中
，
．
．
（2） ， ，
，
，
．
在 和 中
．
．
的形状是等边三角形．【例7】如图， 是等边三角形，点 、 、 分别是边 、 、 上的点，且
，
求证： 是等边三角形．
【解答】证明： 是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中
，
，
同理 ，
，
是等边三角形．
【变式训练1】证明题：如图： 是等边三角形，点 、 、 分别在 、 、
边延长线上，且 ．
求证： 是等边三角形．
【解答】证明： 为等边三角形，
， ，，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
同理可得 ，
，
，
为等边三角形．
【变式训练2】如图， 、 、 分别是等边 各边上的点，且 ，
．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求等边 的周长．
【解答】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
， ，
， ，
， ，
在 与 中，
，，
，
同理可得 ，
，
，
为等边三角形；
（2）解： ， ，
，
、 、 均为直角三角形，且 ，
，
，
，
等边 的周长为： ．
【例8】如图， 和 均是边长为2的等边三角形， 、 分别是 、 上的
两个动点，且满足 ．
（1）求证： ；
（2）判断 的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1） 和 都为正三角形，
，
四边形 是菱形，
， ，
，而 ，
，
；
（2） ，， ，
，
即 ，
为正三角形；
【变式训练1】如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕
点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【解答】（1）证明： 将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
， ，
是等边三角形；
（2）解 或 或 时， 是等腰三角形．
理由： 是等边三角形．
，
将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
，
①若 ， 是等腰三角形，
②若 ， 是等腰三角形
则③若 ， 是等腰三角形
则
或 或 时， 是等腰三角形
【变式训练2】如图， 为等边 内的一点， ， ， ，将
绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1） 是等边三角形；
（2） 是直角三角形．
【解答】解：（1）正确，理由如下：
将 绕 点逆时针旋转 得到 ，
， ，
是等边三角形；
（2）错误，
， ，
， ， ，
，
即 ；
不是直角三角形．
