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5.3-5.4 简单的轴对称图形、利用轴对称进行设计
考点一：等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰
三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
考点二、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB
求作：AB的垂直平分线。
作法：
（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2
的长为半径作弧两弧相交于点C和D；
（２）作直线CD．
则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
考点三：角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）在OA和OB分别截取OM，ON使OM=ON
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。射线OP就是∠AOB的角平分线。
3、作法：
考点四、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够
重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
考点五、镜面对称
1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；
2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；
3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样；
学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法：
（1）利用镜子照(注意镜子的位置摆放)；（2）利用轴对称性质；
（3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；
（4）可以看像的背面；（5）根据前面的结论在头脑中想象。
题型一：角平分线的判定和性质
1．（2020·山东济南·七年级期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P
到边OA的距离是（ ）A．1 B．2 C． D．4
2．（2020·内蒙古·七年级专题练习）如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B．下列结论中,不
一定成立的是( )
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
3．（2018·全国·七年级课时练习）如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结
论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC．其中正
确的是( )
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
题型二：画轴对称图形
4．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格
点C，连接AC，BC，使 ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对
折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）A． B． C． D．
6．（2021·四川成都·七年级期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列
图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：等腰三角形问题
7．（2021·山东泰安·七年级期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ， 平分 ，
交 于点 ，交 于点 ．若 ， ，则线段 的长为（ ）
A． B．3 C． D．1
8．（2021·全国·七年级专题练习）如图， 中， ，点 在边 上（不与顶点 重
合），则 的度数可能是（ ）A． B． C． D．
9．（2019·广东深圳·七年级期末）下面说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
B．等腰三角形是轴对称图形，底边中线是它的对称轴
C．有一边对应相等的两个等边三角形全等
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
题型四：垂直平分线问题
10．（2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
， 垂直平分 ，点 为直线 上的任一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·七年级课时练习）如图， ， ，点 在线段 的垂直平分线上，若 ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，点 在 的内部， ， ，垂足分别为 ， ，
，则 与 的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定
题型五：尺规作图
13．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交边AC于点D（保留作图痕迹，不需写出作法）．
（2）求证：BD⊥AC．
14．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
15．（2019·全国·七年级单元测试）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图.
（1）在图（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：
①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；
②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴.
（2）在图（2）中画出 的对称轴，并写出画图的方法
题型六：等腰三角形、角平分线综合问题16．（2022·江苏无锡·七年级期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边
上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA＝∠A．
(1)求证：DE平分∠CDF；
(2)若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．
17．（2021·山东·枣庄市山亭区教育和体育局教研室七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ，E为
CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
18．（2021·全国·七年级专题练习）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与
∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB= ．一、单选题
19．（2022·上海静安·七年级期中）下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
20．（2021·河南濮阳·七年级期中）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·山东聊城·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC
平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
22．（2021·山东泰安·七年级期中）如图，在 的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），
若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂
黑的小正方形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（2021·全国·七年级专题练习）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下的6个空白的小
方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共有 ( )种不同的填涂方法．A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
24．（2021·辽宁大连·七年级期中）如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，则
（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，在 中， 是高， 是中线， 是角平分线，
交 于点G，交 于点H，下面说法正确的是（ ）
① 的面积 的面积 ② ； ③ ④ ．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
一：选择题
26．（2021·全国·七年级）下列说法错误的是（ ）
A． ， 是线段 的垂直平分线上的两点，则 ，
B．若 ， ，则直线 是线段 的垂直平分线
C．若 ，则点 在线段 的垂直平分线上
D．若 ，则过点 的直线是线段 的垂直平分线
27．（2021·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
28．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，有三条道路围成Rt ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿
着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时△这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000m B．800m C．200m D．1800m
29．（2020·福建省泉州实验中学七年级期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，
△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P，点P关于OB对称点为P，当点P在
1 2
直线NM上运动时，△OP P 的面积最小值为（ ）
1 2
A．6 B．8 C．12 D．18
二、填空题
30．（2021·江苏苏州·七年级期末）如图，在 中， ， 于 点， 平分 交 于点
．若 ，则 的度数为___________．
31．（2021·四川乐山·七年级期末）如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，
AE是△ABC的高，则∠DAE＝___．32．（2021·全国·七年级专题练习） 中， 是直角， 是两内角平分线的交点， ， ，
， 到三边的距离是______.
33．（2021·山东淄博·七年级期末）如图， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ， ，
，则 的长为______．
34．（2021·全国·七年级专题练习）如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD
＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为_____．
35．（2020·四川省成都市七中育才学校七年级期中）如图，在 中， ， 为 边 上一点，
， 平分 的外角，且 ．连接 交 于 为边 上一点，满足 ，连接
交 于 ．以下结论：① ；② ；③ ；④若 平分 ，则 平分
，正确的是_____________．三、解答题(共0分)
36．（2022·江苏·泰兴市洋思中学七年级阶段练习）如图，在 中， ， 于点D， 平分
交 、 于点F、E．
（1）求 的度数；
（2）说明： ．
（3）若 、 ， 、 、 的面积分别表示为 、 、 ，且 ，
则 ______（仅填结果）．
37．（2021·全国·七年级课时练习）如图，已知 、 是 上两点， 、 是 上两点，且 ，
，试问：点 是否在 的平分线上？
38．（2021·全国·七年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的中点，
交 于点 ， 为线段 上任意一点，点 在线段 上，且 ，连结 与 ，过点 作 ，
交直线 于点 ．（1）试说明 的理由；
（2）判断 与 的数量关系，并说明理由．
39．（2020·辽宁·凌海市石山镇初级中学七年级阶段练习）已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，
点C、D分别在射线 、 上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC与PD在
（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
40．（2019·广东深圳·七年级期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个
格点 （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出 关于直线l对称的 ；（要求：A与 ，B与 ，C与 相对应）
（2）在（1）的结果下，连接 ， ，则 面积是________.
（3）在对称轴上有一点P，当 周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点.
41．（2021·浙江·七年级期中）如图，CD是∠ACB的平分线，∠EDC=25º，∠DCE=25º，∠B=70º．
（1）试证明：DE∥BC；
（2）求∠BDC的度数．42．（2019·广东汕头·七年级期末）如图，等边三角形纸片ABC中，点D在边AB（不包含端点A、B）上运动，
连接CD，将 ADC对折，点A落在直线CD上的点A′处，得到折痕DE；将 BDC对折，点B落在直线CD上的点
B′处，得到折∠痕DF． ∠
（1）若 ADC=80°，求 BDF的度数；
（2）试∠问 EDF的大小∠是否会随着点D的运动而变化？若不变，求出 EDF的大小；若变化，请说明理由．
∠ ∠1．B
【详解】
如图，过点P作 ，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得， ．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“AAS”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形
对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．
【详解】
解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A选项正确；
∵∠PAO=∠PBO=90°，∠POA=∠POB，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP（AAS），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故B，C选项正确；
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误；
即不一定成立的是选项D，
故选：D．【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全
等是解题的关键．
3．D
【解析】
【详解】
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③正确；
∵∠BAD=∠CAD，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②正确；
∵AD是BC的中垂线，
∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④正确.
故选D.
4．B
【解析】
【分析】
画出 ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
【详△解】
解：C点落在网格中的4个格点使 ABC为轴对称图形，
故选：B． △
【点睛】
本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
5．B
【解析】【分析】
严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【详解】
解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
6．B
【解析】
【分析】
作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，此时PA+PB最小．
【详解】
解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
此时PA+PB最小，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出
∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
中，，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，FC=FG，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
与 关于线段AF成轴对称图形
∴AC=AG=3
∴BG=5-3=2
设FC=CE=FG=x
∴BF=4-x，
在Rt 中，
解得x= ，
∴CF=CE= ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关
键．
8．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形性质可求得∠B＝∠ACB＝50°，由三角形的外角性质及内角和定理可证80°＜∠BDC＜130°，即可
得出结论．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠ACB＝50°．
∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∴∠BDC＞80°．
∵∠B＋∠BDC＋∠DCB＝180°，
∴∠BDC＜130°．
∴80°＜∠BDC＜130°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念、全等三角形的判定定理判断即可.
【详解】
解:A、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于直线成轴对称的图形，A说法错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，底边中线所在的直线是它的对称轴，B说法错误;
C、有一边对应相等的两个等边三角形全等，C说法正确；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，D说法错误.
故选:C
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念、对称轴的概念、全等三角形的判定，握轴对称图形的概念、全等三角形的判定
定理是解题的关键.
10．B
【解析】
【分析】
根据题意知点 关于直线 的对称点为点 ，故当点 在 上时， 有最小值．
【详解】
解：连接 ．
垂直平分 ，
，
，
当点 ， ， 在一条直线上时， 有最小值，最小值为 ．故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点 ， ， 在一条直线上时， 有最小值是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解： ， ，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．B
【解析】
【分析】
由角平分线的判定定理可知，点 在 的平分线上，据此解题．
【详解】
， ， ，
点 在 的平分线上，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线；
（2）根据等腰三角形的“三线合一”进行证明．
【详解】
（1）解：如图，BD为所作；（2）证明：∵AB=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵BD为角平分线，
∴BD⊥AC．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法及等腰三角形的性质．
14．（1）见解析；（2）27
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法利用尺规即可作∠ABC的角平分线交AC于点G；
（2）作GD⊥AB，GE⊥BC，根据角平分线的性质可得GD＝GE，根据AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，即
可求△CBG的面积．
【详解】
解：（1）如图，BG即为所求；
（2）如图，∵BG平分∠ABC，
过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，
∴GD＝GE，
∵AB＝8，△ABG的面积为18，
∴
∴GD＝ ，
∵BC＝12，GE＝GD＝ ，
∴△CBG的面积为 12× ＝27．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
15．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）按题中所给的条件画即可；
（2）∠AOB的对称轴是∠AOB角平分线所在的直线．如果用度量的方法，应由（1）得到启发，作出一个等腰三
角形，作出中点即可．
【详解】
（1）
；
（2）
．
画图方法：
＜1＞利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD；
＜2＞连接CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E；
＜3＞画直线OE，直线OE即为∠AOB的对称轴．
【点睛】
用到的知识点为：等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线．
16．(1)见解析
(2)20°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得到，∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，等量代换可得∠CDE＝∠FDE，即可得解；
（2）根据三角形的内角和求出∠A＝40°，即得∠DFA＝40°，根据对顶角相等得到∠GFB＝40°，再根据三角形的外角定理求解即可．
(1)
证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
(2)
解：∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°−60°−80°＝40°，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠GFB＝∠DFA＝40°，
∵∠G＋∠GFB＝∠ABC，
∴∠G＝∠ABC−∠GFB＝60°−40°＝20°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的判定等知识，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，然后根据三角形
全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得 ，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得 ，然后根据线段
的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1） ，
，
点E是CD的中点，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）由（1）已证： ，，
又 ，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知， ，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三
角形全等的判定定理与性质是解题关键．
18．（1）35°；（2）90°- α；（3） β
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠DCG= ∠ACG，∠DBC= ∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC= ∠ABC，∠CBE= ∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=
∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°- α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD= ∠ABC，∠DAM= ∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG= ∠ACG，∠DBC= ∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D= ∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC= ∠ABC，∠CBE= ∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE= （∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，
∵∠D= ∠A，∠A=α，
∴∠D= α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°- α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD= ∠ABC，
∴∠DAM= ∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB= ∠ACB= β．
故答案为： β．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
19．A
【解析】
【分析】
根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意；
B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意；
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意；
D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意．
故选：A．【点睛】
此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义．
20．D
【解析】
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、有四条对称轴，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、有三条对称轴，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．一个图形的一部分，以某条直线
为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
21．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得 ，
继而即可求解．
【详解】
解：∵ 平分 ， 平分 的外角，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选择C．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得 ．
22．C
【解析】
【分析】
由题意直接根据轴对称图形的定义进行分析作图即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，共有4种涂黑的方法，即可涂黑的小正方形共有4个．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是利用轴对称的性质设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
23．D
【解析】
【分析】
如图，将图中的空白正方形标号，然后根据轴对称图形的定义对其不同的组合进行判断即可．
【详解】
解：如图所示：
当将①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分别组合，都可以得到轴对称图形，共有6种方法．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的设计，熟知概念、明确方法是解题的关键．
24．C
【解析】【分析】
先根据角平分线的定义求出 的度数，再由三角形外角的性质即可求出 的度数．
【详解】
解： 是 的角平分线， ，
，
， 是 的外角，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的
和．
25．C
【解析】
【分析】
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的
定义可求解∠AFG=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】
解：∵BE是 ABC的中线，
∴AE=CE， △
∴△ABE的面积等于 BCE的面积，故①正确；
∵AD是 ABC的高线△，
∴∠ADC△=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CF为 ABC的角平分线，
△
∴∠ACF=∠BCF= ∠ACB，
∵∠AFG=∠ABD+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确；根据已知条件无法证明BH=CH，故④错误，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
26．D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】
解: 、 是线段 的垂直平分线上的点，
， ．故 正确，不符合题意；
、若 ，
在 的垂直平分线上．
同理 在 的垂直平分线上．
直线 是线段 的垂直平分线．故 正确，不符合题意；
、若 ，则点 在线段 的垂直平分线上，故 正确，不符合题意；
、若 ，则点 在线段 的垂直平分线上．但过点 的直线有无数条，不能确定过点 的直线是线段
的垂直平分线．故 错误，符合题意．
故选： ．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．
27．A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三
角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．
【详解】
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝65°，
故选：A．【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
28．C
【解析】
【分析】
据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于
CD，而CD=BC-BD即得答案．
【详解】
如下图
过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．
∵AD平分∠CAB，AC⊥BC
∴DE=CD=BC-BD=1000-800=200（米）
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于
D到AB的距离．
29．B
【解析】
【分析】
连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP P 是等腰直
1 2
角三角形，OP最小时，△OP P 的面积最小．
1 2
【详解】
解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S ＝ •MN•OH＝12，MN＝6，
OMN
△
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P，点P关于OB对称点为P，
1 2
∴∠AOP＝∠AOP ，∠POB＝∠POB，OP＝OP ＝OP
1 2 1 2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P OP ＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
1 2
∴△OP P 是等腰直角三角形，
1 2
∴OP＝OP 最小时，△OP P 的面积最小，
1 1 2
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP P 的面积的最小值＝ ×4×4＝8，
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP P 是等腰直角三角形，属于中考常
1 2
考题型．
30．14°
【解析】
【分析】
利用垂直的定义得到∠ADC=90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD=64°，接着利用角平分线的定义得到
∠CAE=50°，然后计算∠CAD-∠CAE即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．
故答案为14°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形高、角平分线．
31．25°
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再根据AE是△ABC的高和三角形的内角和定理得出∠BAE的度数，即可得出∠DAE．
【详解】
解：在△ABC中，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=35°．
又∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∵在△ABE中∠BAE=90°-∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，三角形外角的性质，解答的关键是三角形的内角
和定理，一定要熟练于心，难度适中．
32．2
【解析】
【分析】
根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可．
【详解】
解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∵O为∠A、∠B的平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
设OD＝OE＝OF＝R，
∵S ＝S ＋S ＋S ，
ACB AOC BCO ABO
△ △ △ △
则 ×6×8＝ ×6R＋ ×8R＋ ×10R，
解得R＝2，
即OD＝OE＝OF＝2，
∴点O到三边的距离为2，
故答案为：2．【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识
是解答此题的关键．
33．5
【解析】
【分析】
作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴ ×AB×DF+ ×BC×DE= ，
即 ×AB×2+ ×7×2=12，
解得：AB=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
34．
【解析】
【分析】
作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PM＝3，
S ODP＝ ×OP×DH＝ ×OD×PE，
△
∴ ×7×DH＝ ×4×3，
解得，DH＝ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
35．①，②，④
【解析】
【分析】
①可推导∠ACB=∠ACE=60°，进而可证全等；②先证 BFC≌△DGC，得到∠FBC=∠CDG，∠BFC=∠DFH，从而推
导得出∠BCF=∠DHF=60°；③是错误的，无法得出；△④利用 BCE的外角∠ECM和 ABC的外角∠ACM的关系，
结合∠DEC=∠A可推导得出． △ △
【详解】
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°
∵CE是∠ACM的角平分线，
∴∠ACE=∠ECM=60°
∴∠ACB=∠ACE
∵BC=DC，AC=CE
∴△ABC≌△EDC(SAS)，故①正确；
∵CF=CG，已知∠BCF=∠DCG=60°，BC=DC
∴△BCF≌△DCG(SAS)
∴∠FBC=∠GDC
∵∠BFC=∠DFH
∴∠BCF=∠DHF=60°，故②正确；
条件不足，无法得出 ，故③错误；
∵BE是∠DEC的角平分线，
∴∠DEF=∠CEF
∵∠ECM=∠CBF+∠FEC=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°
∴∠A+∠ABC=2(∠FBC+∠FEC)=2∠FBC+2∠FEC=2∠FBC+∠DEC
∵∠DEC=∠A∴∠ABC=2∠FBC
∴BE平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义和三角形外角的性质，在解决此类题型时，我们往往首先需
要找出全等三角形，然后利用全等三角形对应边角相等的性质进行推导求解．
36．（1） ；（2）答案见解析；（3）3．
【解析】
【分析】
（1）证明 即可得到结论；
（2）首先证明 ， ，由角平分线定义可得 ，进一步可得结
论；
（3）分别求出 ， ，再利用 求解即可．
【详解】
解：（1）
（2） ，
平分
（3）∵AC=3CE，AB=4BD
∴∴
故答案为：3
【点睛】
此题主要考查了直角的证明，角平分线的定义以及三角形面积的关系，得出 是解题的
关键．
37．在，理由见解析
【解析】
【分析】
过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，根据面积相等可证 ，可证点 在 的平分线上．
【详解】
解：点 在 的平分线上．
理由：过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，
∵ ，
∴
∵ ，
，
点 是在 的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段相等．
38．（1）见解析；（2） ，见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出∠A＝∠AGD＝45°，根据等腰三角形的判定得出AD＝DG，再由AD＝DC即可得出结论；
（2）根据已知可依次证得FG＝CE，∠GFH＝∠DCF，∠HGF＝∠FEC，利用ASA推出△HGF≌△FEC，再由全等
三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ．∵ ，所以 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
∵ ， ，
∴
即 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
同理可得： ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ．
∴ ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形及全等三角形的判定和性质的应用，掌握等腰三角形与全等三角形的判定与性质的相关知
识点并能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．
39．（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得出PC=PD；
（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质得PE=PF，然后根据同角的补角相等得出
∠FCP=∠PDE，即可由AAS证明△CFP≌△DEP，从而得证．【详解】
解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及补角的性质等知识点，作出辅助线构造全等三角形是
解题的关键．
40．(1)见解析；（2）4；（3）见 解析
【解析】
【分析】
(1)依次作出A、B、C关于直线l的对称点 ，并顺次连接即可；
（2）直接用三角形面积公式进行计算即可；
（3）由（1）知C点关于L的对称点C 连接BC 与L相交于P， P点即为所求.
1 1
【详解】
解：（1）如图所示， 为所求作；（2）
故答案为4
（3）如图所示，P为所求.
【点睛】
本题考查图形关于一条直线对称，三角形形的面积以及轴对称最短线路问题，本题关键是掌握两点间线段最短.
41．(1)答案见解析；（2）∠BDC=85°
【解析】
【分析】
（1）先利用角平分线的定义求出∠DCB的度数，等量代换得出∠DCB=∠EDC=25°，进而根据内错角相等两直线
平行得出结论；
（2）利用两直线平行同旁内角互补求角的度数即可．
【详解】
（1）证明：∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=25°
∵∠EDC=25°
∴∠EDC=∠BCD=25°
∴DE//BC.
（2）解：∵DE∥BC，
∵∠BDE+∠B=180°，
∴∠BDE=180°－70°=110°，
∵∠BDC+∠EDC=∠BDE，
∴∠BDC=110°－∠EDC=85°．
42．（1） BDF=50°；（2） EDF=90°．
【解析】 ∠ ∠
【分析】（1）根据翻折的性质解答即可；
（2）利用角平分线的定义和翻折的性质求得∠EDF=90°，是定值．
【详解】
解：（1）∵将∠ADC对折，折痕DE，
∴∠ADE=∠A′DE．
∵将∠BDC对折，折痕DF，
∴∠BDF=∠B′DF．
∵∠ADC=80°，
∴∠BDB′=180-∠ADC=180°-80°=100°．
∵∠BDF=∠B′DF= ∠BDC，
∴∠BDF= ×100°=50°；
（2）∵∠ADC+∠BDC=180°，∠A′DE= ∠ADC，∠B′DF= ∠BDC，
∴∠A′DE+∠B′DF= ∠ADC+ ∠BDC，
∴∠EDF= （∠ADC+∠BDC）= ×180°=90°．
