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第 02 讲 解题技巧专题：二元一次方程组中易错及含参数问题(6 类热
点题型讲练)
目录
【考点一 忽略二元一次方程中一次项系数不为0】......................................................................................1
【考点二 解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘】.........................................................................3
【考点三 构造二元一次方程组求解】............................................................................................................6
【考点四 二元一次方程组中同解方程组】....................................................................................................8
【考点五 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】...........................................................12
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】......................................................................................................19
【考点一 忽略二元一次方程中一次项系数不为0】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）若方程 是关于x、y的二元一次方程，
则m的值是 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值．
【详解】根据题意得： ， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校考阶段练习） 已知 是二元一次方程，则
．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，得出关于 的方程，进而求得 的值，代入代数式，即可求解．
【详解】根据二元一次方程的定义，可得
解得： ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首
先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
2．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）若 是关于 ， 的二元一次方程，则
．
【答案】0
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知
项的次数是1的整式方程是二元一次方程，是解题的关键．
3．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）方程 是关于 ， 的二元一次方
程，则 的值为 .
【答案】
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．
【详解】解：∵方程 是关于 ， 的二元一次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
4．（2023春·天津滨海新·七年级校考期末）若 是关于x，y的二元一次方程，那么
的值为 ．
【答案】8
【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二
元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义．
【考点二 解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘】
例题：（2023春·新疆博尔塔拉·七年级校考期末）解方程组： ．
【答案】
【分析】将原方程组化为： ，再用加减消元法消去一个未知数 ，即 ，求出 ，再
把 代入①求出 即可．
【详解】解：原方程组化为： ，
得： ，
，
把 代入①得： ，
，
原方程组的解是 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，掌握消元法将二元一次方程组转化成一元一次
方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）解方程组： ．
【答案】
【分析】将方程②变形为 ，再运用加减消元法求解即可．
【详解】
②变形为： ，③
得， ，
解得， ，
把 代入①，解得 ，所以，原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．
2．（2023秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考阶段练习）解方程组： ．
【答案】
【分析】将方程组变形为 ，然后用加减消元法解二元一次方程即可．
【详解】解：原方程组可变为： ，
得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消
元法消去一个未知数．
3．（2021春·上海闵行·六年级上海上师初级中学校考期中）解方程组： .
【答案】
【分析】去分母、移项、合并同类项整理方程组后，即可求解．
【详解】解：原方程组可化为：
②－①得：
将 代入①得：
解得：
故方程组的解为：
【点睛】本题考查求解二元一次方程组．注意计算的准确性．4．（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）解方程组：
【答案】
【分析】先将二元一次方程 去分母变为 ，然后再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
原方程可变为
得
解得：
把 代入②得： ，解得： ，
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元
法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
5．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）解二元一次方程组 ．
【答案】
【分析】原方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：原方程组整理，得：
，
，得 ，
解得 ，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解答本题的关键．【考点三 构造二元一次方程组求解】
例题：（2023春·新疆阿克苏·七年级校考期末）若实数 ， 满足 ，则 的值
为（ ）
A． B．8 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据非负数的性质求出x、y，进而求解.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故选：D.
【点睛】本题考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求解方程组是
关键.
【变式训练】
1．（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知 ，则 的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质构建二元一次方程求出x和y的值，再根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
得， ，
解得 ，
将 代入①，解得 ，
∴ ，
∴ 的平方根 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和平方根的概念，构建二元一次方程是解答此题的关键．
2．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）函数 中，当 时， ，当时， ，那么k＝ ，b＝ ．
【答案】
【分析】根据 ， 的值，代入一次函数中，可得到一个二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵当 时， ，当 时， ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据题意列出方程组．
3．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知 ，当 时， ；当 时， ；那么当
时， ．
【答案】5
【分析】先根据题意列出方程组求得表达式，再将 代入表达式即可求解；
【详解】解：将当 时， ；当 时， 两组值代入 得，
，解得： ，
∴ ，
将 代入 得， ．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组及求代数式的值，正确求出表达式是解题的关键．
4．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若规定 ，若 ，求
的值．
【答案】
【分析】根据 列方程组 ，再根据新规定进行计算即可；
【详解】∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
∴ ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据新规定运算列出方程组是解题的关键．
5．（2022春·湖南衡阳·七年级校考期中）在等式 中，当 时， ；当 时， ；
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可；
（2）把 代入（1）的等式中求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得： ，
解得： ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以当 时， ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键．
【考点四 二元一次方程组中同解方程组】
例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组 与 有相同的解，求a，
b的值．
【答案】
【分析】利用二元一次方程组同解可得 ，解得 ，再将 代入 即可求
解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
把 代入 ，
则有 ,解得： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，
则 ．
【答案】25
【分析】根据同解方程组，得到方程组 的解与两个方程组的解也相同，求出 的值，代入方
程组 ，求出 的值，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：方程组 的解与两个方程组的解也相同，
解 ，得： ；
将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，
求出未知数的值．
2．（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 的解和关于
x，y的二元一次方程组 的解相同，求 的平方根．
【答案】
【分析】先解方程组 ，得 ，将 代入 ，再解方程组
，得 ，得到 的值及平方根．【详解】解：解方程组 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
解方程组 ，得 ，
∴ ，
∵1的平方根是 ,
∴ 的平方根是 ．
【点睛】此题考查了同解方程组，解二元一次方程组，求一个数的平方根，正确掌握同解方程组的解题思
路是解题的关键．
3．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 和 的解相同，
求 的值．
【答案】4
【分析】将两个方程组中的不含除 ， 方程联立可得一个二元一次方程组，求解出 ， 的值，将 ，
的值带到含 ， 的两个方程中并联立即可求出 ， 的值，最后将 ， 的值代入 ；即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程组 和 的解相同，
∴x，y满足 ，
由 可得：
，
，
将 代入①可得：
，
，
∴两个方程组的解为 ，
将两个方程组中含 ， 的方程联立可得： ，
将 代入可得： ，由③得： ，
将 代入④得：
，
，
，
将 代入③得： ，
，
∴两个方程组的解为 ，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的解法．
4．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知方程组 ，与方程组 的解相
同．
(1)求这个相同的解；
(2)求方程 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两方程组解相同，联立②和③，再用加减消元法求解即可；
（2）将（1）所求的解代入①，④，求得a和b的值，再代入 中求解即可．
【详解】（1）解：∵方程组 ，与方程组 的解相同，
∴联立②③可得 ，
解得 ；
（2）将 代入①，④，并联立可得方程组 ，
解得 ，
代入方程 ，得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查同解方程组，解二元一次方程，解一元一次方程．理解同解方程组的定义和掌握解二元
一次方程的方法和步骤是解题关键．
5．（2023春·河南周口·七年级统考期中）已知方程组 与方程组 的解相同．
(1)求a、b的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程
组，得到 ，进行求解即可；
（2）将（1）中的结果代入计算即可．
【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，
所以方程组 的解即是它们的公共解，
解得： ，
将 分别代入另两个方程得： ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的
值，再进行求解．【考点五 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】
例题：（2022春·福建泉州·七年级校考周测）如果关于x、y的二元一次方程组 的解满足
，那么k的值是 ．
【答案】
【分析】两个方程相减可得 ，与 联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案．
【详解】解： ，
②-①，得 ，
解方程组 ，得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．
【变式训练】
1．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若关于x、y的方程组 的解满足x与y互为相
反数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得 ，把 代入 ，得 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵x与y互为相反数，
∴ ，
把 代入 ，得
，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，相反数，解题的关键是掌握这些知识点．
2．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如果 是方程组 的解，那么代数式 的值为
．
【答案】5【分析】将解代入方程组，可得 ，两式相减可得结果．
【详解】解：将 代入 中，
得： ，
得： ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，解题的关键是利用加减消元的方法得到 的值．
3．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则
代数式 的值是 ．
【答案】1
【分析】将 代入方程组，整体相加可得答案．
【详解】解：将 代入方程组得： ，
①+②得： ．
故答案为：1．
【点睛】此题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解题的关键．
4．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）已知关于 ， 的方程组 ，以下结论其中不成立
是 ．
①不论 取什么实数， 的值始终不变；
②存在实数 ，使得 ；
③当 时， ；
④当 ，方程组的解也是方程 的解
【答案】④
【分析】把 看成常数，解出关于 ， 的二元一次方程组 解中含有 ，然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解： ，解得： ，
①不论 取何值， ，值始终不变，成立；
② ，解得 ，存在这样的实数 ，成立；
③ ，解得 ，成立；④当 时， ，则 ，不成立；
故答案为：④．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组(解中含有参
数)是解决本题的关键．
5．（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 （k为常数）
（1）若方程组的解是 ，则k的值为 ；
（2）若方程组的解满足 ，则k的值为 ；
（3）当k每取一个值时， 就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，则这组公共解为
．
【答案】 7
【分析】（1）将 代入 即可求得；
（2）先求解 ，将 代入 即可求得；
（3） 可化为 ，当 时，即可求出公共解．
【详解】（1）将 代入 得 ，
解得： ，
故答案为： ．
（2）∵方程组 的解满足 ，
即方程组 与 的解相同；
得： ，
解得： ，
将 代入 解得： ，故方程组 的解为： ，
将 代入 得 ，
解得： ，
故答案为： ．
（3）将 整理为 ，
当 时，代入求得 ，
即 ，
∴公共解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，公共解，熟练掌握这些含义是解题的关键．
6．（2023春·河南周口·七年级校联考期末）已知关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次
方程 的解．
(1)分别用含 的式子表示 ；
(2)求 的值和方程组的解．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）由同解方程的定义可求 的值，再求方程组的解即可．
【详解】（1）解： ，
① ②得， ，
将 代入①得， ，
方程组的解为 ；
（2） 二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，，
，
方程组的解为 ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
7．（2021秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）已知关于 ， 的方程组 ，其中 为实数．
(1)当 时，求方程组的解；
(2)求 的值（用含 的代数式表示）；
(3)试说明无论 取何数时，代数式 的值始终不变．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）把 代入方程组，利用加减消元法求出解即可；
（2）把 看作已知数，利用加减消元法求出方程组的解，即可求解；
（3）结合（2）中结论计算 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入方程组，得：
得：
解得： ，
将 代入 ，得：
解得： ，
∴ ．
（2）解：
得：
解得： ，
将 代入 得： ，
∴ ．
（3）解：由（2）可得 ， ，∴ ，
即无论 取何数时，代数式 的值始终不变．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）已知关于 ， 的方程组 （ 是常数）．
(1)当 时，则方程组可化为 ．
①请直接写出方程 的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程 ，求 的值．
(2)当 时，如果方程组有整数解，求整数 的值．
【答案】(1)① ， ②
(2) 或0
【分析】（1）①根据 ， 为非负数即可求得方程 的所有非负整数解；②先解方程组 ，
然后将 ， 的值代入方程 中即可获得答案；
（2）将 代入原方程组，利用加减消元法得到 ，再根据方程组有整数解，且 为整数，分
情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵ ， 为非负整数，
∴方程 的所有非负整数解为
， ；
②∵根据题意可得 ，
解得 ，
将 代入 中，
解得 ；
（2）当 时，原方程组可化为 ，
由 ，可得 ，整理可得 ，
∵方程组由整数解，且 为整数，
∴ 或 ，
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）．
综上所述，整数 的值为 或0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定
的值是解题关键．
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
则关于m、n的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】 /
【分析】由关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，可得出关于 ， 的二元一
次方程组 的解是 ，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴出关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
解得：
，∴关于m、n的二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组 的解是 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察两个方程组结合二元一次方程组的解的定义，得出 ， ，结合 ，即可
作答．
【详解】解：因为方程组 的解是 ，
所以 的解是x和y，
那么得 ，
因为 ，
则解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
2．（2022春·福建福州·七年级校考期中）若关于m，n的二元一次方程组 的解是 那么
关于x，y的二元一次方程组 的解 ．
【答案】【分析】把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方
程组，利用关于 的二元一次方程组 的解为 得到 ， ，从而
求出 、 即可；
【详解】解：∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方程组，
∴ ,
∴关于 的二元一次方程 的解为 ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解，也考查了解二元一次方程组．
3．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 的解是 ，求关于
x，y的方程组 的解．
【答案】
【分析】利用令 ， 得到关于h，t的方程组，根据题意求得h，t，再求解即可．
【详解】解：令 ， ，代入方程组 可得
关于 的方程组 ，
因为关于x，y的方程组 的解是
则关于 的方程组 的解是则 ，化简可得：
解得
【点睛】此题考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用换元法对式子进行变形，得到
．
4．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）阅读探索：解方程组
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解方程组：
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组 的解为 ，直接写出关于m、n的方程组
的解为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ， ，可得到 ，解关于 和 的二元一次方程组，即可求得
和 的值
（2）设 ， ．将关于 ， 的方程组 可转化为，即 ．
【详解】（1）设 ， ．
原方程组可变为 ．
解得
．
即 ．
所以 ．
（2）设 ， ．
关于 ， 的方程组 可转化为 ，即 ．
解得
．
即
．
解得
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，能根据题意构建二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组
时，采用了一种“整体换元”的解法．把 ， 看成一个整体，设 ，，则原方程组可化为 ，解得 ，即 ，解得 ．
(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组 ．
(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组 的解为 ，请直接写出关于m、n的方程组
的解是______．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意所给材料可令 ，则原方程组可化为 ，解出m，n，
代入 ，再解出关于x，y的方程组即可；
（2）根据题意所给材料可得出 ，再解出这个方程组即可．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，
则原方程组可化为 ，
解得： ，
∴ ，即 ，
解得： ；
（2）解：∵方程组 的解是 ，∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元
法”的步骤是解题关键．
6．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）阅读探索
【知识累积】解方程组
解：设 ； ，原方程组可变为
解方程组，得 ；即 解得 此种解方程组的方法叫换元法．
【举一反三】运用上述方法解下列方程组：
【能力运用】已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于m，n的方程组
的解能求出代数式 的值为______．
【答案】举一反三：
能力运用：4
【分析】举一反三：设 ， ，原方程组可变为 ，解得： ，即 ，求
解即可；
能力运用：把 代入 得 则 ，代入 得
，化简整理，得 则 ，解得 ，再代入计算即可．
【详解】解：举一反三：设 ， ，原方程组可变为 ，
解方程组，得： ，即 ，
解得 ．
能力运用：∵ 的解为 ，
∴
∴
∵
∴
化简整理，得
∵ 的解为 ，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程
组的解的定义是解题的关键．
