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专题1.11 线段的垂直平分线（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、垂直平分线的性质
1．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且 ， ，点P在y轴上，
若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在 中， ， ， 为 的中点， 为 上一点， 为
延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三
角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
3．如图，在△4BC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D在BC的垂直平分线上，BE＝AB，BD
平分∠ABE，则∠E的度数为（ ）A．30° B． C．90°﹣α D．无法确定
4．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，
AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12.5
类型二、垂直平分线的判定
5．如图，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的个
数有（ ）①△ABC≅△DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM≅△EBM；
④△ABM≅△DCM．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作
弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD垂直平分BC B．S ＝AD•BC
四边形ABDC
C．若∠BAC＝120°，则DE＝3AE D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
7．如图， 中， 、 分别是 、 上的点，作 ， ，垂足分别
是 、 ，若 ， ，下面四个结论：① ；② ；③ ≌
；④ 垂直平分 ，其中正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，在 中， ， ，分别以点 ， 为圆心， 的长
为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
类型三、垂直平分线的应用9．如图，等腰 中， ， ，点D是底边 的中点，以A、C为圆
心，大于 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线 上有一个动点P，则
线段 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，等腰 中， ， ， 是等边三角形，点 是
的角平分线上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
11．如图所示，在四边形ABCD中， ，AC=1， ，直线MN为线段AD的垂
直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
12．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经
过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A=22°，则
∠BDC=（ ）
A．52° B．55° C．56° D．60°
类型四、垂直平分线的作图
13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找
一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，已知直线l及直线l外一点P．
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． OPQ OAB B．PQ ABC．若∠APQ＝60°，则PQ＝PA D．
15．如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．
步骤1：以 为圆心， 长为半径画弧①；
步骤2：以 为圆心， 长为半径画弧②，交弧①于点 ；
步骤3：连接 ，交 的延长线于点 ．
则下列说法不正确的是（ ）
A． 是 中 边上的高
B．
C． 平分
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分
线上
16．如图，已知 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ， ，按以
下步骤作图：①分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，交于点 ， ；②作
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
类型一、垂直平分线的性质
17．如图，点P在四边形ABCD中， ， ，PA平分 ，设
， ，则 与 满足的数量关系是______．
18．如图， 中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将 沿AD折叠后，使
点C与点E重合，且 ，若 ，则 ______度．
19．如图，在 中， ， ， 的平分线与 的垂直平分线交
于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则
的度数为________．20．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB
于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点
、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、
交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段
的长为______．
类型二、垂直平分线的判定
21．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于
点E，连接BE．若∠ACB＝28°，∠EBC＝25°，则∠EBD的度数为 _____°．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 ______．
23．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，
现给出以下四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③AD垂直平分EF；④∠BDE＝
∠CDF．其中正确结论的个数是_____．
24．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，且 ，点 的坐标为
点 为 的中点， 的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，点 为线段
上的一动点，当 的周长最小时，点 的坐标为______．
类型三、垂直平分线的应用
25．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交
AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则
△PBC的周长最小值为______ ．
27．如图，在 中， ， ，分别以 ， 两点为圆心，大于 为半
径画弧，两弧交于 ， 两点，直线 交 于点 ，若 ，则 的长度为____．
28．如图，在钝角 中，已知 为钝角，边 ， 的垂直平分线分别交 于点
， ，若 ，则 的度数为________．
类型四、垂直平分线的作图
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤尺规作图：（1）分别以B、C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中：
①△BCD是等边三角形；②AD垂直平分BC；③DC⊥AC；④∠BAD＝∠CAD；⑤S
四边形
＝AD•BC．其中一定正确的结论是：___（填序号）．
ABDC
30．作线段的垂直平分线
作法：
①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁．
②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E．
③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F．
④作直线CF．
31．如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC
的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，
则AD＝___．32．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，两弧交于点M
和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD
＝ AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
三、解答题
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交
AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
34．如图， 中， ， 平分 ， 于 ．
（1）若 ，求 的度数；（2）求证：直线 是线段 的垂直平分线．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，B(2，0)，点C是y轴正半轴上一点，点P
在BC的延长线上．
（1）若点P的坐标为(-1，2)，
①求△PAB的面积；
②已知点Q是y轴上任意一点，当△PAQ周长取最小值时，求点Q的坐标；
（2）连接AC，若∠APC＝∠ACP，∠APC比∠PAB大20°，求∠ABC的度数．
36．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数 的图象为直线l，已知两点A
（0，1）、B（0，3）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点
C（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出点C的坐标为 ；
（3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值．参考答案
1．B
【分析】
分别以 为圆心，以 长为半径画圆，确定与 轴交点的个数，此外作 的垂直平分
线，确定与 轴交点的个数，即可求解．
【详解】
解：分别以 为圆心，以 长为半径画圆，如下图：
此时与 轴交点的个数为4，
作 的垂直平分线，如上图：
此时与 轴交点的个数为1，
故选：B【点拨】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分
线的性质以及等腰三角形的定义．
2．C
【分析】
连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求
∠PEA+∠PAE＝120°，可得 可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝
CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点
P′，连接P′A，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由三
角形的面积的和差关系可判断④．
【详解】
解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴ ．
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S ＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S ，
△ACB 四边形AECP
∴S ＝S ．故④正确．
四边形AECP △ABC
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含 的直角三角形
的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
3．C
【分析】连接AD并延长交BC于F，证明△ABD≌△EBD(SAS)，根据全等三角形的性质得
∠BAD=∠E，根据等腰三角形的性质得点D在BC的垂直平分线上，则AD是BC的垂直平
分线，∠AFB=90 ，即可得∠E=∠BAD=90-a．
【详解】
解：连接AD并延长交BC于F，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠BAD=∠E，
∵点D在BC的垂直平分线上，AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠AFB=90° ，
∵∠ABC=a，
∴∠BAD=90-a，
∴∠E=∠BAD=90-a，
故选：C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
关键是证明△ABD≌△EBD(SAS)，得出∠BAD=∠E．
4．A
【分析】
根据垂直平分线的性质 ，所以 周长.
【详解】
∵直线m是 中 边的垂直平分线,
∴
∴ 周长
∵两点之间线段最短
∴
的周长
，
∴ 周长最小为
故选：
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键
是能得出 ，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得
出结论，再根据结论进行推论．
5．C
【分析】
①根据 ， 即可证明△ABC △DCB；②根据①的结论可
得 ，可得 即可证明 ，根据等腰三
角形的性质即可证明ME垂直平分BC；③无法证明△ABM △EBM；④根据②可得
△ABM △DCM．
【详解】
解：①∵ ，
∴△ABC △DCB；
故①正确；
②∵△ABC △DCB；
∴
∴
∵ME平分∠BMC交BC于点E，
即ME垂直平分BC；
故②正确③ 中所给条件中不存在直角，则无法证明△ABM △EBM；
故③不正确；
④
△ABM △DCM．
故④正确
故正确的有①②④
故选C
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质与
判定，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】
根据作图方法可得△BCD是等边三角形，则BD=CD，∠BDC=60°，然后证明
△ABD≌△ACD得到∠BDA=∠CDA，∠BAE=∠CAE=30°，即可判断A；利用含30度角的直
角三角形的性质和勾股定理即可得到 ，由
即可判断B；利用含30度角的
直角三角形的性质和勾股定理即可得到 即可判断C；由
∠BAC=60°，可得∠BAE=∠BDE=30°，则AB=DB，由此即可判断D．
【详解】
解：由作图方法可知，△BCD是等边三角形，
∴BD=CD，∠BDC=60°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BDA=∠CDA，∠BAE=∠CAE=30°，
∴由三线合一定理可知AD垂直平分BC，故A选项不符合题意；
∴∠DEB=∠AEB，
∴ ，
∴ ，∴ ，故B选项符合题意；
当∠BAC＝120°时，则∠ABE=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C选项不符合题意；
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BDE=30°，
∴AB=DB，
又∵BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，故D选项不符合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线
的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关
知识进行求解．
7．C
【分析】
由“HL”可证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，由等腰三角形的性质可得
∠QAP＝∠RAP＝∠QPA，可证QP∥AR，由线段垂直平分线的性质可证AP垂直平分RS．
【详解】
解：如图，连接AP，RS，∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
∵AP＝AP，PR＝PS，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，故①正确，
∵AQ＝PQ，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR，故②正确，
∵AR＝AS，PR＝PS，
∴AP垂直平分RS，故④正确，
由题目条件不能证明△BRP≌△QSP，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，证明
Rt△APR≌Rt△APS是本题的关键．
8．D
【分析】
连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直
角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．
【详解】
如图，连接BD交AC于O，由作图过程知，AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DAC=60º，
∵AB=BC，AD=CD，
∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，
在Rt△AOB中，
∴ ，
∴AC=2AO= ，
在Rt△AOD中，AD=AC= ，∠DAC=60º，
∴ ，
∴ = ，
故选：D．
【点拨】本题考查了基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、勾股定理、三角
形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】
由作法知EF是AC的垂直平分线，可得AP=CP，线段 的最小就是PA+PD，当
A、P、D三点共线时最短，由点D是底边 的中点，可BD=CD ，由AB=AC，可得，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= 即可．
【详解】
解：连结PA，
由作法知EF是AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴PC+PD=PA+PD，
线段 的最小就是PA+PD，
当A、P、D三点共线时最短，
∵点D是底边 的中点，
∴BD=CD= ，
∵AB=AC，
∴ ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD= ，
（PC+PD） =（PA+PD） =AD=8．
最小 最小
故选择：B．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直
平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转
化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．
10．B
【分析】
连接BP，根据AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根据当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10．
【详解】
解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，
∴PD+PC=PD+PB，
∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，
∴PD+PC的最小值为10，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定
和性质，最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴
对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．A
【分析】
要求PC+PD的值最小，当PC、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD
转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长．
【详解】
连接PA，
∵直线MN为线段AD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
当P在AC上时， 最小，即 ，
∴ 最小值为1，
故选：A．【点拨】本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线
的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键．
12．C
【分析】
根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，AH=BH=CH，得出∠ACB= ，又根据做法可
知：BC=BD，即可求解．
【详解】
解：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线
∴AH=BH=CH
∴∠ACB=
∵∠A=22°
∴∠B=
∵又根据做法可知：BC=BD
∴∠BDC=
故选：C
【点拨】此题主要考查尺规作图，根据尺规作图的信息，利用特殊三角形的内角和是解题
关键．
13．D
【分析】
根据垂直平分线的画法和性质一一判断即可．
【详解】
解：A、由作图可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，，本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，作垂直平分线和垂直平分线的性质等知识，解题的关
键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
14．D
【分析】
连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判
断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ
垂直平分PA得到QP＝QA，若∠APQ＝60°，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到PQ
＝PA，过点 作 于点 ,根据含30度角的直角三角形的性质，可得 ,
是两平行之间的垂线段， 不是垂线段，即 ，则 不成立．
【详解】
解：连接AQ，BP，过点 作 于点 ,如图，
由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，
∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
故A正确，不符合题意；
∴∠ABO＝∠PQO，
∴PQ//AB；
故B正确，不符合题意；
∵BQ垂直平分PA，
∴QP＝QA，若∠APQ＝60°
则△PAQ为等边三角形，
则PQ＝PA，
故C正确，不符合题意；
假设∠APQ＝60°
同理△PAB为等边三角形，
垂直平分 ，
是两平行之间的垂线段， 不是垂线段
故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判
定，牢记性质和判定是解题的关键.
15．C
【分析】
根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】
解：如图，连接 ， ，由作图步骤可知， ， ，
由①两点确定一条直线，
②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
可知 为 的垂直平分线，即 ， ，
故选C．
【点拨】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是判定
图示所做为垂直平分线．
16．B
【分析】
连接BC，如图，先利用勾股定理计算出OA＝8，再由作法得CA＝CB，利用勾股定理得到
OC2＋42＝（8−OC）2，然后求出OC得到C点坐标．
【详解】
解：连接BC，如图，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
在Rt△ABO中，OA= ，
由作法得PQ垂直平分AB，
∴CA＝CB，
在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，
∵OC2＋42＝（8−OC）2，
∴OC＝3，
∴C点坐标为（−3，0）．
故选：B．
【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．
17．
【分析】
连接AC，延长BP交AC于点E，证明BP垂直平分AC，得到 ，连
接BD，延长AP交BD于F，证明△ABD关于AP对称，得出∠ABE= ，由此得
到答案．
【详解】
解：如图，连接AC，延长BP交AC于点E，
∵AB=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∵AP=PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴BP垂直平分AC，
∴ ，
连接BD，延长AP交BD于F，
∵AB=AD，PA平分 ，
∴△ABD关于AP对称，
∴BP=DP，
∴∠ABE= ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．【点拨】此题考查线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，正确掌握
垂直平分线的判定定理及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
18．
【分析】
先利用垂直求出 的度数，再根据折叠求出 的度数，利用等腰三角形的性质求
出 和 ，再利用三角形内角和可求 ．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知， ， ，
∵边AC的垂直平分线与边BC交于点D．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：【点拨】本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用垂直平
分线的性质和等腰三角形的性质求出角的度数．
19．140°
【分析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出
∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边
对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角
形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可
得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】
解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形
三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，作辅助线，构
造出等腰三角形是解题的关键．
20． 或
【分析】
由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的
一半得出 ， ，进而总结规律即可得出第n条线段
的长.
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ,∴ ,
∴ ,
同理 ,
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三
角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键.
21．53
【分析】
过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而可得结果．
【详解】
解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C，
∵AE是∠CAB平分线，
∴EM＝EN，
∵E是CB的垂直平分线上的点，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC＝25°，
在Rt△ECM和Rt△EBN中，，
∴Rt△ECM≌Rt△EBN（HL），
∴∠EBN＝∠ECM＝∠ACB+∠ECB＝28°+25°＝53°．
故答案为：53．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，
掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
22．
【分析】
连接DE，根据题意可得AE是CD的垂直平分线，进而可得 ，根据SSS证明
，进而可得∠ADE＝∠ACB＝90°，再根据勾股定理求得 的值，进而根据
等面积法S ＝S +S ，进而即可求得 ，在 中，勾股定理即可求得 的
△ABC △ACE △ABE
长
【详解】
连接DE，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
又
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝ ，
∴BD＝AB﹣AD＝2，∴S ＝S +S ，
△ABC △ACE △ABE
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE＝ ，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质与判定，三线合一，全等三角形的性质与判定，勾
股定理，求得 的长是解题的关键．
23．4
【分析】
根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析
即可得答案．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
又∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DA＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠EDA＝∠FDA
∴AD垂直平分EF，
故②③正确，
∴∠DEF＝∠DFE，
故①正确，
∵∠BED＝∠DFC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF．故④正确．
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的
综合运用．
24．( ， )
【分析】
连接BP，BD，利用轴对称的性质得到当点B，P，D三点共线时，△APD的周长取得最小
值，推出点C在线段AB的垂直平分线上，分别求得直线BD、EP的解析式，解方程组即
可求解．
【详解】
解：如图所示，连接BP，BD，
点P为线段AB的垂直平分线上一点，则 AP=BP，
OA=6，点A在轴正半轴上，点D为OA的中点，
则OD=AD=3，
∴A点坐标为(6，0)，D点坐标为(3，0)，
则△APD的周长=AP+PD+AD=BP+PD+3>BD+3，即当点B，P，D三点共线时，△APD的
周长取得最小值，
设直线BD解析式为y=kx+b，将点B(2，4)，D(3，0)代入得：
，解得 ，
所以直线BD的解析式为 ；
∵B(2，4)，A(6，0)，
∴AB= ，过点B作BF⊥OA于点F，
∴BF=4，AF= ，
∴BF= AF，即点F在线段AB的垂直平分线上，
∵AB的垂直平分线交x轴于点C，
∴点C与点F重合，即点C在线段AB的垂直平分线上，
∴点C的坐标为(2，0)，
∵点B为AB的中点，
则E点坐标为(4，2)，
同理求得所以直线EP的解析式为 ，
联立： ，得 ，
故P点坐标为( ， ) ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式线段垂直平分线的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．
25．13
【分析】
当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长．
【详解】
解：如图，
∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB=9，BC=7，AC=4，
∴△ACP的周长9+4=13，
∴△ACP的周长最小值为13，
故答案为13．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
26．18cm
【分析】
根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长．
【详解】
解：∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，
∴△PBC的周长最小值为BC+AC=8+10=18cm．
故答案为：18cm．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短距离，根据轴对称的性质求出P
点的位置是解答本题的关键．
27．
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，所以∠DBA=∠A=30°，再计算出
∠BDC=60°得到BD=8，从而得到AD的长，然后计算AC的长．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
在Rt△BDC中，BD=2CD=2×4=8，
∴AD=8，
∴AC=AD+CD=8+4=12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．
28．
【分析】
如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三
角形内角和定理可得 ，
推出 ，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接 ， ．
∵ ， 的垂直平分线分别交 于点 ， ，
∴ ， ，∴ ， ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作
出辅助线，根据三角形内角和定理解决问题是关键．
29．①②④
【分析】
根据作图方法可得 ，进而可得 等边三角形，再利用垂直平分线的判定
方法可得 垂直平分 ，利用等腰三角形的性质可得 ，利用面积公式可
计算四边形 的面积，根据 不一定等于 ，即 不一定等于 ，即可判
断出是否 ．
【详解】
解：根据作图方法可得 ，
，
点 在 的垂直平分线上，
，
点 在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，故结论②正确；
为 中点，是 的中线，
，
，故结论④正确；
，
是等边三角形，故结论①正确；
四边形 的面积 ，故选项⑤错误，
不一定等于 ，即 不一定等于 ，
不一定成立，故选项③错误，
故答案是：①②④．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰
三角形三线合一．
30．CK AB D E
【详解】
略
31．2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD=4，然后根据AD=AC-DC求解即可．
【详解】
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=4，
∵AC＝6，
∴AD＝AC-CD=6−4＝2，
∴AD＝2．
故填2．
【点拨】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任
意一点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
32．6
【分析】
根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝ AC＝2，
∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题
的关键．
33．见解析
【分析】
连接FC，由等腰三角形的性质可得BF=FC；再由AF=FC，即可得AF=BF．
【详解】
连接FC，如图
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC
∵FE是AC的垂直平分线
∴AF=FC
∴AF=BF
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，由FE是AC的垂
直平分线想到连接FC是关键．
34．（1）66°；（2）见解析
【分析】
（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AD＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：∵∠BAC＝48°，AE平分∠BAC，
∴∠EAD＝ ∠BAC＝24°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEA＝90°−24°＝66°．
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°＝∠ACB，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∵AE＝AE，
∴△AED≌△AEC，
∴AD＝AC，ED＝DC，
∴点E在CD的垂直平分线上，点A在CD的垂直平分线上，（两点确定一条直线），
∴直线AE是线段CD的垂直平分线．
【点拨】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合
一定理，解题的关键是证明AD＝AC．
35．（1）①4；②Q(0， )；（2） ．
【分析】（1）① 的底为AB，高为P点的纵坐标，结合三角形面积公式求值即可；
②根据两点间直线最短和轴对称的性质可知点C为Q点时△PAQ周长最小，设经过点B和
点P的直线解析式为 ，利用待定系数法求出解析式，再令x=0，求出y的值，即求
出点Q坐标．
（2）根据题意可知y轴为线段AB的垂直平分线，即得出 ．再根据三角形
外角性质可得出 ，即推出 ．根据题意可
求出 ．最后在 中利用三角形内角和定理即可求出最后答案．
【详解】
（1）①根据题意可知 ，
∴ ；
②根据题意可知点A和点B关于y轴对称，即BP与y轴的交点即为点Q时，△PAQ周长最
小，此时点Q和点C重合．
∴求出点C坐标即可．
设经过点B和点P的直线解析式为 ，
∵B(2，0)、P(-1，2)，
∴ ，解得： ，
∴该解析式为 ．
当 时， ，
∴C点坐标为(0， )，即Q(0， )．
（2）如图，根据题意可知 ， ，
即O点为AB的中点，
∴y轴为线段AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∵在 中 ，即 ，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质，一次函数的实际应用，
三角形外角性质，三角形内角和定理，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
36．（1）见解析；（2）（4，2）；（3）PA+PC的最小值是5
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段AB的中点，则D（0，2），CD∥x轴，将y＝
2代入y＝ x得x＝4，即可得点C的坐标；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，则 ，要使 最
小，即 最小，故当 、 ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，由此
求解即可．
【详解】
解：（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求，∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA；
（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴点D是线段AB的中点，CD∥x轴，
∵A（0，1）、B（0，3）．
∴D（0，2），
将y＝2代入y＝ x得x＝4，
∴点C的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，∴ ，
∴要使 最小，即 最小，
∴当 、 ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，
∵A（0，1），
∴ （0，﹣1），
∵C（4，2），
∴ ，
∴PA+PC的最小值是5．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图像上的点的坐标特征，轴对
称最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
