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第一章 重点突破训练：三角形证明类型题举例
典例体系 （本专题 5 1 题 5 4 页）
考点1：线段垂直平分线的性质与作图
典例：（2020·吉林农安初三一模）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线 是线段 的垂直
平分线， 是 上任一点，连结 、 ，将线段 与直线 对称，我们发现 与 完全重
合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知：如图， ，垂足为点 ， ，点 是直线 上的任意一点.
求证： .
分析：图中的两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证明 （请写出
完整的证明过程）
请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，定理应用.
（1）如图②，在 中，直线 、 、 分别是边 、 、 的垂直平分线.
求证：直线 、 、 交于点.（2）如图③，在 中， ，边 的垂直平分线交 于点 ，边 的垂直平分线交
于点 ，若 ， ，则 的长为_______.
方法或规律点拨
本题考查垂直平分线的性质与证明，能够读懂题意给到的方法进行解题是本题关键
巩固练习
1．（2020·湖南湘西中考真题）已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分
别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交
于G．那么， 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
2．（2020·云南昆明）如图，在 中， 为钝角．用直尺和圆规在边 上确定一点 ．使
，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学初三一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作
图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB
于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）A． B． C． D．
4．（2020·河北唐山初三一模）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路 ， ， 围成的
一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到 ， 两条公路的距离相等，且到 ， 两地的距离相等，
下列选址方法绘图描述正确的是（ ）
A．画 的平分线，再画线段 的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画 和 的平分线，再画线段 的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
C．画三个角 ， 和 三个角的平分线，交点即为所求
D．画 ， ， 三条线段的垂直平分线，交点即为所求
5．（2020·河南郑州外国语中学）在正方形网格中， 的位置如图所示，且顶点在格点上，在
内部有 、 、 、 四个格点，到 三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2020·江苏徐州初三一模）已知： ．求作：一点 ，使点 到 三个顶点的距离相等．
小明的作法是：（1）作 的平分线 ；（2）作边 的垂直平分线 ；（3）直线 与射线
交于 ．点 即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作 的平分线 ；
（2）作 的平分线 ；（3）射线 与射线 交于点 ．点 即为所求的点（作图痕迹如图
2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对 D．两人都不对
7．（2020·山东平阴初一期末）(1) 如图，作出△ABC 关于直线l的对称图形；
(2)现有两条高速公路和A、B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，
并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
8．（2019·金昌市金川总校第五中学初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写
作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，当BC＝5cm，AB＝13cm时，求△BCD的周长．
9．（2020·甘肃张掖初一期末）如图，两条公路相交，在A、B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁
边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相
等，请你找到一个这样的点．
考点2：等腰三角形与动态图形问题
典例：（2020·全国初三专题练习）已知 是等边三角形， ．
如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且 ，连接AE，BF交于点G，求 的度数；
如图2，点M是BC延长线上一点， ，MN交 的外角平分线于点N，求
的值；
如图3，过点A作 于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边
，连DQ，则DQ的最小值是______．
方法或规律点拨
本题考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）（问题）如图1，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF
△
与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点
C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
（数学思考）（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过
点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
2．（2020·黑龙江双鸭山初三其他）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直
线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，
BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
3．（2020·山东商河初一期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重
合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE
＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是________；并说明理由；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；
（3)如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF＝DC．
4．（2020·河北河间初二期末）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如
图1）
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）如图2，点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小明把这个猜想与同学们进行交
流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM（选一种方法即可）5．（2020·山东济南初一期末）己知： 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上
一点， ．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且 时，AD是 的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
6．（2020·山东烟台中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上
一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明
理由．
考点3：坐标系中的等腰三角形
典例：（2019·黑龙江尚志初二期中）在平面直角坐标系 中，点 在 轴的正半轴上，点
在 轴正半轴上，且 ， 满足等式 ．点 从 点出发，沿 轴的正半轴运
动，过点 作 轴的垂线， 是垂线在第一象限内的一动点，且 ．（1）求 ， 的值；
（2）若点 在线段 上，当 时，求点 的坐标；
（3）若点 在线段 的延长线上， 的垂直平分线交 轴于点 ，并且恰好经过点 ，求此时
的面积．
方法或规律点拨
本题考查了垂直平分线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，
较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·云南砚山初三一模）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ， 是等腰直角
三角形且 ，把 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，把 绕点C顺时针旋转
，得到 ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 的坐标为（ ）
2020
A．(4039，-1)
B．(4039，1)
C．(2020，-1)
D．(2020，1)
2．（2019·湖北房县初二期末）如图，点A的坐标为（8，0），点B为y轴负半轴上的一动点，分别以
OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴与P
点，当点B在y轴上移动时，则PB的长度是（ ）A．2 B．4 C．不是已知数的定值 D．PB的长度随点 B的运动而变化
3．（2019·上海静安初一期末）如图，在直角坐标平面内有两点 、 ，且 、 两点之间
的距离等于 （ 为大于0的已知数），在不计算 的数值条件下，完成下列两题：
（1）以学过的知识用一句话说出 的理由；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，如果存在，请写出点 的坐标，并求 的
面积；如果不存在，请说明理由．
4．（2020·青岛市黄岛区第四中学初三月考）如图1，直线 ，AB平分 ，过点B作
交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以 的速度沿射线AN方向运动，
动点D以 的速度运动；已知 ，设动点D，E的运动时间为t．
试求 的度数；
当点D在射线AM上运动时满足 ： ：3，试求点D，E的运动时间t的值；
当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得 与 全
等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．5．（2019·哈尔滨市第四十九中学校初二月考）如图， ，点 关于 轴的对称点为 点，
点 在 轴的负半轴上， 的面积是 ．
（1）求点 坐标；
（2）若动点 从点 出发，沿射线 运动，速度为每秒 个单位，设 的运动时间为 秒， 的
面积为 ，求 与 的关系式；
（3）在 的条件下，同时点Q从D点出发沿 轴正方向以每秒 个单位速度匀速运动，若点 在过
点且平行于 轴的直线上，当 为以 为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的 值，并直接
写出点 的坐标．
6．（2020·湖北黄州初二期末）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、
OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段
OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE
有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
考点4：利用角平分线与平行线构成等腰三角形
典例：（2019·云南昆明三中初二期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于
F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．
（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作
DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这
种关系．
（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作
DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你
的猜想．（不需证明）方法或规律点拨
本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，本题具有一定的代表性，三个问
题证明过程类似．
巩固练习
1．（2020·全国初三专题练习）如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点，
交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线.
2．（1）、动手操作：
C¿
如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点 处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那
么∠EF {C' ¿的度数为 .
（2）、观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片
（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．
小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）、实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；
将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好
有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大小.3．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°.
(1)求∠1的度数；
(2)求证：△EFG是等腰三角形．
4．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
考点5：勾股定理逆定理的实际应用
典例：（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，某公园有两个小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为
25m．现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为
12m，BM的长为15m．
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离．
方法或规律点拨
本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．巩固练习
1．（2020·重庆沙坪坝区·八年级期末）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小
区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，
米， 米， 米， 米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四
边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝
6m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
3．（2021·陕西西安市·八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步
伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在 中， ，E是 上的一点，
， ， ．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）求线段 的长．
4．（2021·河南周口市·八年级期末）某中学 、 两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米，
米， 米．
（1）求出四边形空地 的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
5．（2021·福建泉州市·八年级期末）有一块四边形草地 （如图），测得 m，
m， m， ．
（1）求 的度数；
（2）求四边形草地 的面积．
6．（2020·长汀县第四中学八年级月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航
行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏
东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
7．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）学校操场边上一块空地（阴影部分）需
要绿化，测出 ， ， ， ， ．（1）求证： ．
（2）求需要绿化部分的面积．
8．（2021·河南新乡市·八年级期末）如图，在 中， ，且周长为 ，点
从点 开始沿 边向 点以每秒 的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以每秒 的速
度移动，如果 ， 同时出发，问过 时， 的面积为多少?
9．（2021·全国八年级）如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮
船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，
它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航
行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．
10．（2021·全国八年级）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，
经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．11．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸
爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝4米，BC＝3米，CD
＝13米，DA＝12米，又已知∠B＝90°．你能够计算这块地的面积吗？
12．（2020·郓城县教学研究室八年级期中）如图，一根 的电线杆 用铁丝 ， 固定，现已
知用去的铁丝 ， ，又测得地面上 ， 两点之间的距离是 ， ， 两点之间的距
离是 ，则电线杆和地面是否垂直，为什么？（提示：要判定电线杆和地面垂直，只需说明 且
即可）
13．（2021·山东东营市·七年级期末） 年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、
全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人
们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如
图，已知 ， ， ， ，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某
两点之间距离，便快速确定了 ．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定 的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为 元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？考点6：以尺规作图为条件的几何问题
典例：（2020·广东省初三其他）如图，已知锐角 ， ．
（1）尺规作图：求作 的角平分线 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点 在 边上且 ，请连接 ，求证： ．
方法或规律点拨
此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，在 中， ，观察图中尺规作图的
痕迹，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·广东省中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020·湖北省中考真题）如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误
的是（ ）A． B． C． D．
4．（2020·深圳市宝安中学（集团）初二期中）如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画
弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于 MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过
点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD= ∠ABC；
③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．① ② ④ C．①③④ D．②③④
5．（2020·江苏省初三二模）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分
△
别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
6．（2020·河北省中考真题）如图， ∥CD，以点 为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别交 ，
于点 、 ，再分别以 、 为圆心，大于 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点 ，作射线
，交 于点 ，则射线 为_____________；若 ，则 的度数为__________．
7．（2020·云南省初三学业考试）如图，以点 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交 两边于点．分别以点 为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧交于点 ．已知点 到边 的距
离为 ，则点 到边 的距离为_________．
