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专题 1.1-2 等腰三角形与直角三角形
典例体系 （本专题共 8 9 题 7 5 页）
一、知识点
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；
2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）
等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）
3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）
等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬
②等边三角形的每条边都存在三线合一；
4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；
6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
7、勾股定理的逆定理：两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
第三边即为直角三角形的斜边。勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形
二、考点点拨与训练
考点1：等腰三角形的性质
典例：（2020·河北河间初二期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么
∠ACB与∠B有怎样的数量关系？
小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．进而得到
△ABD≌△AED，便可得到∠ACB与∠B的数量关系．请结合小明的思路，写出两个角的数量关系，并证
明结论．
【答案】∠ACB＝2∠ABC，证明见详解
【解析】∠ACB＝2∠ABC
证明：延长AC到E，使CE=CD，连接DE
∴∠E＝∠CDE
∵AB=AC+CD ∴AE＝AB
又∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD＝∠CAD
又AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴∠B＝∠E
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE
∴∠ACB＝2∠ABC
方法或规律点拨
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东芝罘初一期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交
AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是 （ ）A．50° B．36° C．40° D．45°
【答案】A
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠C=∠A+15°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故选：A．
2．（2020·四川成华初一期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF
对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解析】如图，连接 BB′
∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，
∴∠C′AF=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°，
故选C．
3．（2020·陕西西安高新一中初一期末）如图， 中， 是 的角平分线， 的
垂直平分线分别交 于点 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是 的角平分线，
∴ ，故A正确；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴AD=OA+OD=OC+OD，故B正确；
∵ 是 的角平分线，
∴CD=BD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴OA=OB，故C正确；
∵ 是 的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OC=OB，
∴∠ACO=∠CAD=∠BAD=∠ABO，
∵BF与OF不一定相等，
∴∠BOF与∠ABO不一定相等，
∴∠ACO与∠BOF不一定相等，故D错误
故选：D.
4．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，
则∠A等于( )A．30° B．40° C．45° D．36°
【答案】D
【解析】
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝2∠A.
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2∠A．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，
即∠A＝36°．
故选D.
5．（2020·山东槐荫初一期末）如图，在第1个△ABC中，∠B＝30°，AB＝CB；在边AB上任取一点
1 1 1
D，延长CA 到A，使AA＝AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3
AA＝AE，得到第3个△AAE，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A 为顶点的底角度数是（
2 3 2 2 3 n
）
A．（ ）n•75° B．（ ）n﹣1•65°
C．（ ）n﹣1•75° D．（ ）n•85°
【答案】C
【解析】解：∵在△CBA 中，∠B＝30°，AB＝CB，
1 1
∴∠BAC＝ ＝75°，
1
∵AA＝AD，∠BAC是△AAD的外角，
1 2 1 1 1 2∴∠DA A＝ ∠BAC＝ ×75°；
2 1 1
同理可得，
∠EAA＝（ ）2×75°，∠FAA＝（ ）3×75°，
3 2 4 3
∴第n个三角形中以A 为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
n
故选：C．
6．（2020·河南罗山初二期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，
∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．
故选B．
7．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如图，在 中， ， ，AB的
垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，
∵EF垂直平分AB，∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=25°．
故选D.
8．（2020·浙江南浔初三其他）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图
所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相
连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（
）
A．63° B．65° C．75° D．84°
【答案】D
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°．
故选：D．
9．（2020·山东历下初一期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】解：∵∠AOB＝10°，OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，
∴∠ODC=10°，
∴∠BCD=∠AOB+∠ODC=20°，
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠BCD=20°，
∴∠ADE=∠CED+∠AOB=30°，
∵ED=EF，
∴∠EFD=30°，
∴∠BEF=∠EFD+∠AOB=40°，∵FE=FG，
∴∠FGE=40°，
∴∠GFH=∠FGE+∠AOB=50°，
∵GF=GH，
∴∠GHF=50°，
∴∠BGH=∠GHF+∠AOB=60°，
故选B．
10．（2019·河南宜阳初二期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C=______．
【答案】35°
【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°.
11．（2020·广东龙岗初一期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，
BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且
∠AOC=∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB=AD；
（2）若∠COD=70°，求∠APB的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB=125°
【解析】
（1）∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOD=∠COB，
又∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴CB=AD；
（2）∵∠COD=70°，∴∠AOC=∠BOD= =55°，
∴∠AOD=∠COD+∠BOD=125°=∠COB，
∵△AOD≌△COB，
∴∠DAO=∠BCO，
∴∠DAO+∠CBO=∠BCO+∠CBO，
∴180°-∠APB=180°-∠COB，
∴∠APB=∠COB=125°．
12．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝
BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：BF是AD的垂直平分线；
（3）连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【解析】（1）证明：
∵∠ACB＝90°，CD是BC延长线，
∴∠ACD=∠ACB=90°．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）知△ACD≌△BCE则∠CAD=∠CBE，
又∵∠AEF=∠BEC，
∴在△AEF与△BEC中∠AFE=∠BCE＝90°，
∴BF⊥AD，
又∵BD＝BA，
∴BF是AD的垂直平分线．
（3）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
又∵BC=AC，AB=BD=10，∴△DEC的周长=ED+EC+CD=AC+CD=BC+CD=AB=10．
考点2：等腰三角形的判定
典例：（2020·黑龙江牡丹江）在等腰 中， ，点D，E在射线 上， ，过点
E作 ，交射线 于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段 上， 是 的角平分线时，如图①，求证： ；（提示：延
长 ， 交于点M．）
（2）当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，如图②；当点E在线段 的延长线上，
是 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若 ，则 ___________．
【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】（1）如图①，延长 ， 交于点M．
∵ ，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长 ，EF交于点M．
由①同理可证 ，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长 交EF于点M，
由上述证明过程易得 ，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
方法或规律点拨
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角
平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
巩固练习
1．（2019·薛城区祁连山路中学初一期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过
点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ，则线段 的长为（ ）
A．8 B．．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EOB，∠FCO=∠FOC，
∴BE=OE，FC=FO，
∴EF=EO+FO， 即EF=BE+CF．
∵
∴EF= ，
故选D．
2．（2020·湖北黄州初二期末）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB
于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长
为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是____．【答案】①②③
【解析】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．
②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，
∴DF＝DB，EF＝EC，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正确．
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD＝DF，EF＝EC，
ADE的周长＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正确，
④无法判断BD＝CE，故错误，
△
故答案为：①②③．
3．（2020·广东英德初二期中）如图所示，在四边形 中， ， ， ， 平分
交 边于点 ，求 的长．
【答案】1
【解析】解： ，
．
平分 ，
．
，
．
．4．（2020·广东高州初三月考）如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上作一点D，使AD=BD；（保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）△BCD是等腰三角形
【解析】（1）如图1，作AB的垂直平分线，分别以点A、B为圆心，以大于 为半径在AB上方画弧，
在AB上方两圆弧交点为点M，分别以点A、B为圆心以大于 为半径在AB下方画弧，在AB下方两圆
弧交点为点N．过点M、N作直线MN，交AC于点D，点D即为所求．
（2）∵在等腰△ABC顶角∠A=36°
∴
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=36°
则∠DBC=36°
在△BCD中∠ACB=72°
∠DBC=36°
∠BDC=72°=∠ACB
∴△BCD是等腰三角形
5．（2020·广东佛山初二月考）如图，在 和 中， ， ，AC与BD
相交于点O.（1）求证： ；
（2） 是何种三角形？
【答案】（1）见解析；（2）△OBC是等腰三角形，理由见解析.
【解析】（1）∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt ABC和Rt DCB中， ，
△ △
∴Rt ABC≌Rt DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
△ △
理由：∵Rt ABC≌Rt DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
△ △
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
6．（2020·江苏海安初二月考）已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且 AB=6，点C在射线AN上．
（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有 个；
（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时， 直接写出 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2）3；（2）x =3或x≥6
【解析】（1）当∠ABC=90°时，如图所示，
∵∠A=30°∴BC=
∴设BC=x，则AC=2x
在Rt ABC中，由勾股定理得
△
解得x=
∴AC=
当∠ACB=90°时，如图所示，
∵∠A=30°
∴BC=
∴AC=
（2）当AB为腰时，等腰三角形有两个，如图，
当AB为底时，等腰三角形有1个，如图
∴△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个
（3）根据三角形三边关系可知，△ABC唯一确定时，由（1）、（2）得，BC=3或BC≥6.
故x=3或x≥6.
7．（2020·黑龙江南岗初三其他）已知:在 中, ,线段 的垂直平分线交 于点 ,
点 在 上，且 ,连接如图1 ,求证:
如图2,当 时.在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形．
【答案】 见解析； ， ， ，
【解析】 证明：令 ，
线段 的垂直平分线交 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
；
如图2，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∴ 是等腰三角形；
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形；
由（1）知 ，
∴△ADE是等腰三角形；
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形是： ， ， ， .
8．（2020·黑龙江哈尔滨初三二模）图1、图2分别是 的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线
段 的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个 ，使得 是面积为10的直角三角形，所画图形的各顶点必须在小正方形
的顶点上；
（2）在图2中画一个以线段 为一边的钝角等腰三角形，并且面积等于10，所画等腰三角形的各顶点
必须在小正方形的顶点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）图形如下(答案不唯一)：（2）图形如下：
9．（2020·镇江实验学校初三一模）（1）如图1, ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC
分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).
△
（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三
角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角
分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.
【解析】（1）如图,直线CE即为所求；
（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,
分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.
图3不能分割成两个等腰三角形.
10．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，
连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在边 上，且 ．（1）求证： ≌ ．
（2）连接 ，判断 与 的位置关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）EG⊥DF，
理由如下：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE
∴DE＝FE，
即GE为DF上的中线，
又∵DG＝FG，
∴EG⊥DF．
考点3：等边三角形的性质
典例：（2020·四川凉山中考真题）如图，点P、Q分别是等边 边AB、BC上的动点（端点除外），
点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， 的大小是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， 的大小是否变
化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【解析】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
∴ ．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
方法或规律点拨
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质
证全等是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·内蒙古林西初二期末）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC
为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下
三个结论：①AE=BD ； ②CN=CM； ③MN∥AB； ④∠CDB=∠NBE． 其中正确结论的个数是
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵△ACD和△BCE是等边三角形
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB
即∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC
∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠DCE=60°
∴∠ACD=∠MCN=60°
∵AC=DC
∴△ACM≌△DCN（ASA）∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=∠ACD=60°
∴MN∥AB，故③正确；
在△DCN和△BNE，
∠DNC+∠DCN+∠CDB=180°
∠ENB+∠CEB+∠NBE=180°
∵∠DNC=∠ENB，∠DCN=∠CEB
∴∠CDB=∠NBE，故④正确．
故选：A．
2．（2020·山东槐荫初一期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相
交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；
③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是__________（填序号）
【答案】①②④⑤
【解析】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确；
在△DMP和△ACM中
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠DMP=∠AMC
∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD
在△ACM和△DCN中∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴AM=DN
又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，
则∠AMC＞∠ACM，
∴AC＞AM
∴AC＞DN，故③错误；
由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN
又△ACE≌△DCB
∴AE=DB
∴EM=BN，故④正确；
∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤
3．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图， 和 都是等边三角形，∠EBD=78°，则
∠AEB=_________度．
【答案】138
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD=∠CAE，
∵∠EBD=78°，
∴∠CBD=∠ABE+（78°-60°）
∴∠ABE=∠CAE-18°，
∵∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE-18°=∠BAC-18°=42°，
∴∠AEB=180°-42°=138°；
故答案为：138．
4．（2020·河南嵩县初二期末）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将
△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____．
【答案】120°
【解析】∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠A=60º，
∴∠ADE+∠AED=180º-60º=120º，
由折叠性质得：∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF，
∴∠BDF+∠CEF=(180º-2∠ADE)+(180º-2∠AED)
=360º-2(∠ADE+∠AED)
=360º-240º
=120º，
故答案为：120º．
5．（2020·广东新丰初三其他）如图，点 在射线 上，点 在射线 上，
， ，△ 、△ 、 △ 均为等边三角形，则 的长为
__．
【答案】
【解析】解：∵△AB B 是等边三角形，
1 1 2
∴∠AB B ＝60°，
1 1 2∵∠AOB ＝30°
1 1
∴∠OA B ＝30°，
1 1
∴B A＝OB ＝1，
1 1 1
∵∠OA B ＝30°，∠B AB ＝60°，
1 1 1 1 2
∴∠B AA＝90°，
2 1 2
∵∠AB B ＝60°，
2 2 3
∴∠AB A＝60°，
1 2 2
∴AA＝ AB ＝ ＝20 ，B A＝2AB ＝2＝21，
1 2 1 2 2 2 1 2
同理AA＝21 ，AB ＝2AB ＝4＝22，AA＝22 ，AB ＝2AB ＝8＝23，
2 3 3 3 2 3 3 4 4 4 3 4
…
以此类推，AnAn＝2n−1 ，
∴A A 的长为22018 ，
2019 2020
故答案为：22018 ．
6．（2020·宁夏银川市教育局初三其他）如图，是由9个等边三角形拼成的一个六边形，如果中间最小的
等边三角形的边长是1，则右上角的最大的正三角形的边长是_____．
【答案】6
【解析】如图，设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，
所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，
由图形得，x+3=2x，
解得x=3，
则x+3=6，
故答案为：6．
7．（2020·福建安溪初三二模）如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连
接CE．求证：BD＝CE．【答案】证明见详解
【解析】证明：连接CE，
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE．
8．（2020·山东章丘初一期末）(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同
一直线上，连接BE．
①请直接写出∠AEB的度数为_____；
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同－直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说
明理由．
【答案】（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.【解析】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
,
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
9．（2020·广东龙岗初二期末）如图，已知 ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且
AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BFD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
10．（2020·江西广丰初一期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD=30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD=10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
【答案】（1）∠COB=90°；（2）∠COB=105°；（3）∠COB=130°；（4）①当∠AOD是两个角的重叠的
角，∠COB=120°-∠AOD；②当∠AOD是两个角的相离时的角，且小于或等于60°，∠COB=120°
+∠AOD；③当∠AOD是两个角的相离时的角，且大于60°，∠COB=240°-∠AOD．
【解析】解：（1）∵△COD和△AOB为两块正三角形
∴∠COD=∠AOB=60°
∴∠COB=∠COD+∠AOB －∠AOD=60°＋60°－30°=90°；
（2）同理∠COB=∠COD+∠AOB －∠AOD=60°＋60°－15°=105°
（3）∠COB=∠COD＋∠AOB +∠AOD =60°+60°+10°=130°；
（4）①当∠AOD是两个角的重叠的角，
那么∠COB=120°－∠AOD；
②当∠AOD是两个角的相离时的角，且小于或等于60°，
那么∠COB=120°+∠AOD；
③当∠AOD是两个角的相离时的角，且大于60°，
那么∠COB=360°-(120°+∠AOD)=240°－∠AOD．
11．（2020·陕西西安初一期末）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB
的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证
明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索
CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）CM＝AN+MN，详见解析；（2）CM＝MN﹣AN，详见解析
【解析】解：（1）CM＝AN+MN，
理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，
∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝OC，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∵∠MON＝60°，
∴∠COD+∠AOM＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO，
∴DM＝MN，
∴CM＝CD+DM＝AN+MN；
（2）补全图形如图2所示：
CM＝MN﹣AN，
理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∴∠DOM＝∠NOM，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO（SAS）
∴MN＝DM，
∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．
考点4：等边三角形的判定
典例：（2018·山西吕梁初二期末）问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等
边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问
题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之
间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的
形状(不要求证明)．
【答案】（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，
【解析】（1）如下图，数量关系：AD＝DE.
证明：∵ 是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC∴ ，∠BDF＝∠BCA
∴
∴ 是等边三角形，
∴DF＝BD
∵点D是BC的中点
∴BD＝CD
∴DF＝CD
∵CE是等边 的外角平分线
∴
∵ 是等边三角形，点D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴
∵
∴
在 与 中
∴
∴AD＝DE；
（2）结论：AD＝DE.
证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F
∵ 是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴BF＝BD∴AF＝DC
∵CE是等边 的外角平分线
∴
∵∠ADC是 的外角
∴
∵
∴∠FAD＝∠CDE
在 与 中
∴
∴AD＝DE；
（3）如下图， 是等边三角形.
证明：∵
∴
∵CE平分
∴CE垂直平分AD
∴AE=DE
∵
∴ 是等边三角形.
方法或规律点拨
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质
等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东广饶初一期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分
∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是
等边三角形．其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】①∵AB=AC，AC=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴AC⊥BD，故①正确；
②∵AC⊥BD，BE=DE，
∴点C在BD的线段垂直平分线上，
∴BC=DC，故②正确；
③∵AB=AC，AC=AD，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，故③正确；
④∵∠BAD不一定等于60°，
∴△ABD不一定是正三角形，故④错误．
所以正确结论有①②③，故选A．
2．（2019·山东肥城初二开学考试）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则
△DEF的形状是（ ）．
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形，
故选A.
3．（2019·湖南长沙初二期中）已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，
点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝
∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP；其中正确的序号是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③
【答案】A
【解析】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；
∴∠CAD＝ ∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，
∴∠PAC＝∠DAC，
∴AC平分∠PAD，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中， ，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确．
故选：A．
4．（2019·北京师大附中初二期中）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在
OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【答案】D
【解析】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
5．（2019·东安县舜德学校初二期中）如图所示， 是等边 中 边上的点， ，
， 则对 的形状判断最准确的是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
【答案】B
【解析】解：判断△ADE是等边三角形
理由如下：∵△ABC是全等三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60º,
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAC＝60º，
∴△ADE是等边三角形
故选：B
6．（2019·山东曹县）如图， 为等边三角形， 为 延长线上一点，CE=BD， 平分 ，
下列结论:(1) ；(2) ；(3) 是等边三角形，其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D
【解析】 是等边三角形，
， ，
，
平分 ，
，
，
在 和 中
，
，故（2）正确；
∴
∴ ，故（1）正确；
∴ 是等边三角形，故（3）正确．
∴正确有结论有3个．
故选：D．
7．（2020·广西初三三模）如图， 中， ， ， ，
， 平分 ， 与 相交于点 ，则 的长等于_____.
【答案】3
【解析】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，
∵∠BAD=∠ADE=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴AB= =8，AG= AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，
∵∠DHA=60°，
∴∠GEH=30°，
∴EH=2GH=2
∴DE=DH-EH=5=2=3.
故答案为3
8．（2019·广西兴宾初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点
(不与点B、C重合)，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若点D在线段BC上，问点D运动到何处时，AC⊥DE？请说明理由；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．(直接写出结果，无需写出求解过
程)
【答案】（1）证明见解析；（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE．理由见解析；（3）∠ADB
的度数为20°或40°或100°．
【解析】证明：（1）如图1．
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE
理由是：如图2．
∵AB=AC，AH⊥BC
∴∠BAH=∠CAH
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠CAH=∠CAE
∵AH=AE，
∴AC⊥DE．
（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．
理由如下：
①如图3中，当点D在CB的延长线上时，
∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角
形，
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，
同理可得：∠ADB=180°-20°-60°=100°．
③当点D在BC延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，
综上所述：满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．
9．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分
∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】（1）115°；（2）证明见解析
【解析】（1）∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC= 180°﹣60°﹣70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD= ∠ABC=25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°．（2）证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
考点5：含30°锐角三角函数的直角三角形
典例：（2020·广西东兰初二期末） 如图，已知 为等边三角形，AE=CD, , 相交于点 F,
于点Q．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=9．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
（2）由（1）可知 ≌ ，
∴ ,AD=BE
又
,
BF=2FQ=8，
∴BE=BF+EF=8+1=9
∴AD=9
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在 中， ， ，AD是 的
中线，AE是 的角平分线， 交AE的延长线于点F，则DF的长是
A．2 B．4 C．5 D．
【答案】C
【解析】∵AB=AC=10，∠BAC=120°，AD是中线，
∴∠ABD=∠ACD= （180°-120°）=30°，AD⊥BC，
∴AD= AB=5，
∵DF//AB，
∴∠DFA=∠BAF，
∵AF是∠BAD的角平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5.
故选C.
2．（2020·内蒙古杭锦后旗初二期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA
交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°
∴∠PDO+∠AOB=180°
∴∠PDO=30°
过O作OF⊥PD于F
∵OD=4∴OF= ×OD=2
∵PE⊥OA
∴FO=PE=2.
故选A.
3．（2020·广西防城港初二期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与
地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
【答案】B
【解析】解：如图，在Rt ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
△
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
4．（2020·山东岚山初二期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结
CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是
__________．
【答案】3
【解析】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∴ ．
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∠ECD=∠ECD，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC底边BC的高，也是中线，
∴ ，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时 ， ，
，
∴DF=EG=3．
故答案为：3．
5．（2020·湖南渌口初三其他）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，
则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____ （填序号）【答案】④
【解析】根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，
∴AP的长不能大于6．
故答案为：④
6．（2020·广东南海初二期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB
方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．
△
【答案】4
【解析】解：在Rt ABC中，∵∠ABC=30°，
△
∴AC= AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，即平移距离等于4．
故答案为：4．
7．（2020·贵州铜仁伟才学校初二期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若
AD=6，则CD=_______.
【答案】3
【解析】∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°．∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD= BD=6× =3．
故答案为3．
8．（2020·山西寿阳初二期中）如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面
积是__．
【答案】72cm2
【解析】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=24cm，
∴AC= AB=12cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=12cm．
故S = ×12×12=72（cm2）．
ACF
△
故答案为：72cm2．
9．（2020·广东高州初二期中）如图，已知在 中， ， 为 边的中点，过点 作
， ，垂足分别为 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】（1）证明: ∵DE⊥AB,DF⊥A，
∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵D是BC的中点，
∴.BD=CD，
在△BED和△CFD中,
,
∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF ；
（2）解：∵AB=AC, ∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
.∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴ ，
∵BE=1，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4.
∴△ABC的周长为12.
10．（2020·甘肃省武威市第十中学初三三模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点
M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的长．
【答案】OM＝5．
【解析】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt OPD中，∠AOB=60º，OP＝12，∴OD＝ OP=6，
△
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝ MN＝1，
∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．
考点6：最短路径问题
典例：（2019·湖北十堰初二期中）如图，在平面直角坐标系中
（1）做出△ABC关于y轴对称的 ,并求出 三个顶点的坐标；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【答案】（1） ；（2）2.5；（3）见解析
【解析】解：（1）如图所示：
（2）如图，将 补成矩形 ，则
， ， ， ， ， ， ， ，（3）如图所示
方法或规律点拨
本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点
是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东槐荫初一期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵
站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线） 表示小河， 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的
管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵
站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
故选：C.
2．（2020·河南内黄初二期末）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点
C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】D
【解析】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1
则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
3．（2019·河南汝州初二期末）如图，等腰三角形 的底边 长为 ，面积是 ， 腰 的垂直平
分线 分别交 边于 点．若点 为 边的中点，点 为线段EF上一动点，则 周
长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S = BC•AD= ×4×AD=16，解得AD=8，
ABC
△
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD
故选：C．
4．（2020·山东历下初一期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上
的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝__________．
【答案】30°
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接
OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，∵△PMN周长的最小值是8，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
5．（2020·山东历下初一期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．
【答案】105°
【解析】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为：105°.6．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，在Rt 中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，
将Rt 折叠，使得点C恰好落在AB边的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则 的
周长最小值为___________．
【答案】42
【解析】解：连接CP，
由于折叠可得：点C和点E关于AD对称，
∴CP=EP，
在△PEB中，BE固定不变，
PE和PB随点P的位置变化，
∴当点P在点D的位置上时，
PC+PB最小，即PE+PB最小，
∵AC=7，BC＝24，AB＝25，
∴AE=7，BE=18，
∴PE+PB的最小值为CD+BD=BC=24，
∴△PEB的周长最小值为PE+PB+BE=24+18=42.
故答案为：42.
7．（2020·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q
分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最
小值为_____cm
【答案】5【解析】
如图，过BD作P的对称点 ,连接P ，Q ，Q 与BD交于一点E，再连接PE，此时PE＋QE最小.
∵ 与P关于BD对称，
∴PE= E，BP=B =2cm，
∴PE＋QE= Q ，
又∵等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，
∴AC=BC=AB=7cm，
∵BP＝AQ＝2cm，
∴QC=5cm，
∵B =2cm，
∴C =5cm，
∴△Q C 为等边三角形，
∴Q =5cm.
∴PE＋QE=5cm.
所以答案为5.
8．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，等腰三角形 的底边 长为6，面积是36，腰
的垂直平分线 分别交 ， 边于 ， 点，若点 为 边的中点，点 为线段 上一动
点，则 周长的最小值____．
【答案】15
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∴S = BC•AD= ×6×AD=36，解得AD=12，
ABC
△
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+ BC=12+ ×6=12+3=15．
故答案为：15．
9．（2020·重庆南岸初一期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街
道的距离分别为AC，BD．现准备在街道 旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明
AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，
BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作
出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
【答案】（1）理由见解析；（2）∠PAC=∠PBD；（3）∠PAC=∠PBD．
【解析】（1）∵ AC，BD分别是点A，B到直线 的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中， ，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）如图1所示，∠A＝∠B，理由：由作图知，
AC＝ ， ⊥l，
∴∠A＝∠ A，
∵A ∥BD，
∴∠ ＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
10．（2019·河南汝州初一期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点
A、B和直线 ．
（1）求作点A关于直线 的对称点 ；
（2） 为直线 上的点，连接 、 ，求 周长的最小值．
【答案】（1）详见解析；（2）10
【解析】解：（1）如图所示（2）连接 、 交直线 于点 ，连接 ， ，则 ．根据两点之间线段最短可知
的最小值 ，即 的周长的最小值 ．
考点7:判断三边能否构成直角三角形
典例：（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图，点 是等边 内的一点， ， ，
.若点 是 外的一点，且 ，则 的度数为_____．
【答案】150°
【详解】连接PP′，
∵ ，
∴PA＝P′A=6，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP=10，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6，
又∵ ，
∴PP′2＋BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
方法或规律点拨
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·江苏淮安市·八年级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2， 3， 4 B．4，6，7 C．3，4， 5 D．6，8，11
【答案】C
【详解】
A、因为 ，故不符合题意；
B、因为 ，故不符合题意；
C、因为 ，故符合题意；
D、因为 ，故不符合题意；
故选：C．
2．（2021·云南文山壮族苗族自治州·八年级期末）下列条件中，使 不是直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【答案】C
【详解】
A、∵ ，∴ 是直角三角形；
B、∵ ，∴ 是直角三角形；
C、设a=b=2x，c=3x，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形；
D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵ ，
∴ ，
解得x= ，
∴∠C=3x= ，
∴ 是直角三角形；
故选：C．
3．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）下列各组数中，以 ， ， 为边的三角形不是直角三角形的是
（ ）
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【详解】解：A.
能构成直角三角形，故A不符合题意；
B.
不能构成直角三角形，故B符合题意；
C.
能构成直角三角形，故C不符合题意；
D.
能构成直角三角形，故D不符合题意，
故选：B．
4．（2021·福建泉州市·八年级期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．4，6，8 C．5，12，13 D．8，10，12
【答案】C
【详解】解：A、22+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；
B、62+42≠82，故不是直角三角形，故不正确；
C、52+122=132，故是直角三角形，故正确；
D、82+102≠122，故不是直角三角形，故不正确．
故选：C．
5．（2021·江苏苏州市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能
判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5
【答案】C
【详解】解：
故 不符合题意；
故 不符合题意；不是直角三角形，故 符合题意，
设 则
故 不符合题意，
故选：
6．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．5、12、13 C．3、4、5 D．1、 、
【答案】A
【详解】解：A、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
B、因为122+52＝132，所以能组成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能组成直角三角形；
D、因为12+（ ）2＝（ ）2，所以能组成直角三角形．
故选：A．
7．（2021·江苏连云港市·八年级期末）由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】B
【详解】
解：选项A：由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，结合已知，得到2∠C=180°，∴∠C=90°，故
△ABC为直角三角形，选项A不符合题意；
选项B：∵a²+b²≠c²，由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；
选项C：对等式左边使用平方差公式得到：b²-c²=a²，再由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，不符
合题意；
选型D：由勾股定理逆定理可知：a²+b²=1+2=3=c²，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
故选：B．
8．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误
的是（ ）
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【答案】D
【详解】解：∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，
∴2∠C=180°，即∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形，故A正确，不符合题意；
∵c2=b2-a2，
∴ΔABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；
∵∠A:∠B : ∠C=1 : 2 : 3，
∴∠C=180°× =90°，故C正确，不符合题意；
∵a2+b2 c2，
∴ΔABC不是直角三角形，故D错误，符合题意．
故选D．
考点8：利用勾股定理逆定理求解
典例：（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，
AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）∠ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为
【详解】解：（1）连接AC，
在Rt ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=20，BC=15，
△
∴由勾股定理可得：AC= ；
∵在△ADC中，CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°；
（2）由（2）知，∠ADC=90°，
∴四边形ABCD的面积=
．
答：四边形ABCD的面积为 ．
方法或规律点拨
本题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图， ， ， ， ， ．求
该图形的面积．
【答案】 ．
【详解】解：连接 ．
∵在 中， ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ 为直角三角形．
∴该图形的面积为 ．
2．（2021·江西吉安市·八年级期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段
AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
【答案】（1）DC=13；（2）△BCD是直角三角形；理由见解析．
【详解】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴ ；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
3．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，
CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】证明：（1）
（2）
设 则
4．（2021·重庆北碚区·八年级期末）如图，在 中， ，点D是BC的中点，连接AD，
，BE分别交AC，AD于点E、 ，若 ，求AF的长度．
【答案】【详解】解： ，
，
，
，
中， ，
，
中， ，
是等腰直角三角形，
，
．
5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线
AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）12；（2）84．
【详解】（1） ，
是直角三角形，
，
；
（2） ，
，
是直角三角形，
则四边形ABCD的面积为 ，
，
，
即四边形ABCD的面积为84．6．（2020·唐河县桐寨铺镇第一初级中学八年级月考）如图，在四边形ABDC中， ， ，
， ， ．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1）10；（2）25．
【详解】（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ 的面积为 ．
7．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，
CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点 不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见详解；（2）234
【详解】
解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S ＝S +S
四边形A′BCD A′BC A′CD
△ △
∵S =S ，
A'BD ABD
∴S△ △=S =234．
四边形ABCD 四边形A'BCD
8．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【详解】
（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴CD＝BD＝5，
∴在 中， ．
9．（2021·全国八年级）在图中，A（1，3），B（﹣2，0）和C（2，﹣4）是一个直角三角形的顶点．
（1）求AB和BC的长度，答案以根式表示；（2）求△ABC的面积．
【答案】（1） ； ；（2）12
【详解】（1）AB= ，
BC= ；
（2）∵ AC= ，
且AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
则△ABC的面积为 ．
11．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形
和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容
易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三
角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，
当∠ACD=30°时， ．
【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44
【详解】解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
