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专题 1.1-3 锐角三角函数
一、基础知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
∠A的对边 a
sinA= =
斜边 c
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
∠A的邻边 b
cosA= =
斜边 c
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
∠A的对边 a
tanA= =
∠A的邻边 b
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
1 √2 √3
sinα 0 1
2 2 2
√3 √2 1
cosα 1 0
2 2 2√3
tanα 0 1 √3 不存在
3
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、热门考点训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在 中， ，E为 上一点， 交 于D，若 ，
求 的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当
AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为 ，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的
正弦值为 ，如图2，则支撑柱OH的高为（ ）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该
起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D， ，垂足为
点C．设 ，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高， ，则下列比值中
等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定6．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）正方形网格中， 如图放置，则 的值为（
）
A． B． C．1 D．
7．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）在 中， ，若 ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，在边长为1的小正方形网格中， 的三个顶点均在
格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，
AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）A． B． C． D．
10．如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．
11．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果 是锐角，且 ，那么 的值是
_____．
12．如图，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的
高．）
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2022·上海黄浦·九年级期中）已知：如图，已知 中， ，点 是边 上的一点，
且 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的余弦值．
方法或规律点拨
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题关键．巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）在 中， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）在 中， ，若 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏无锡·九年级期中） 是 的弦，点C在过点B的切线上，且 ， 交 于点
P．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中
不等于 的是（ ） △
A． B． C． D．
5．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期末）在 中， 、 、 对边分别为 、 、 ，，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·南宁二中三模）如图，在 中， ，则 长为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
7．（2022·上海市民办明珠中学九年级期中）在 中， ， ，若点O是 的
重心，则 ______．
8．（2022·上海市曹杨中学九年级期中）如图， 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方
形顶点位置，那么 的值为____．
9．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）已知等腰三角形两条边的长分别是 底角为 ，则
_____．
10．（2022·安徽合肥·九年级期末）比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
11．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）在Rt ABC中， ， ， ，那么
________．12．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）在 中， ，若 ，则 的值
为 __．
13．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均
为1，线段 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不
要求写出画法）．
(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使 ；
(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且 ；
14．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延
长线上，且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若 ， ，求BF的长．
考点3：正切定义及应用
典例：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方
格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图
②中各画一个图形， 满足以下要求：(1)在图①中以 和 为边画四边形 ， 点 在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．
(2)在图②中以 为边画 ， 使 ．
方法或规律点拨
本题考查在网格中作图，需要熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，正切值的定义．
巩固练习
1．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图，在 中， 于
D，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）在 中， ， ， ，那么
的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）在 中， 、 、 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，
则∠APD的正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
6．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）已知 中， ， ， ，则
等于（ ）
A．6 B． C．10 D．8
7．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，已知 ， 是斜边 边上的高，那么下列结论正
确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2022·上海市民办明珠中学九年级期中）已知 ，如果 ，那么 ______．
9．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为
_______．
10．（2022·山东威海·九年级期中）如图，直线 过点 ，则 ________．
11．（2022·上海黄浦·九年级期中）在 中， ，如果 ， ，那么
___________．
12．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）如图，点 、 分别是 的 、 边上的点，
， ， 于 ，四边形 的面积为8， ， __．
13．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若
，则k的值为 ___________．
14．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在 中， ， 的正切值等于2，直
尺的一边与 重合，另一边分别交 ， 于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，
1，则直尺宽 的长为______．
15．（2022·山东·龙口市教学研究室九年级期中）在 中， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（江西省宜春市丰城市第九中学2021-2022学年八年级下学期期末检测A卷数学试题）先化简，再
求代数式 的值，其中 ， ．
方法或规律点拨
本题主要考查了分式的化简求值，根据特殊角三角函数值确定m，n的值是解题的关键．巩固练习
1．（陕西省西安碑林区交大附中2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题） 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（陕西省西安铁一中滨河学校2022-2023学年九年级上学期期中数学考试卷） （ ）
A．1 B． C． D．
3．（江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题） 的值为（
）
A． B． C． D．
4．（江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）
的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（上海市建平实验中学2022-2023学年九年级上学期期中考试试题数学）已知 ，则锐
角 ________．
6．（辽宁省大连市沙河口区第79中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）若 的度数是 ，
则 的值是_________．
7．（山东省泰安市东平县青峰山实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）（1）
；
（2） ．
8．（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2022-2023学年九年级上学期期中数学（五四制）学科试题）先化
简，再求值： ，其中 .9．（江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）计算：
(1) ；
(2) ．
10．（陕西师范大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）计算：
(1) ；
(2) ．
11．（山东省济南市槐荫区济南阳光100中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）计算：
(1)
(2) ．
12．（2022年黑龙江省哈尔滨市萧红中学中考九年级下学期最后一次模拟数学试题）先化简，再求代数式
的值，其中 ．
13．（山东省济南市槐荫区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）计算：
．
考点5：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：（2022·河南周口·九年级期末）在 中， 都是锐角，且满足
，则三角形的形状是__．
方法或规律点拨
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）若 ，则 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2020·山东烟台·九年级期中）若 ，则 ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
3．（2021·贵州黔西·模拟预测）在 中，若 ， 都是锐角，且 ， ，则
的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
4．（2022·广西来宾·九年级期末）在 中，若 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形
5．（2022·广西贺州·九年级期末）在 ABC中， ，则 ABC一定是（ ）
△ △
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
6．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）在 ABC中， ，则 ABC一
定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝ ，则 ABC不可能是（
△
）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
8．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）在 中， ，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定9．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）若 ，则以
为内角的 的形状是 ___________．
10．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校九年级阶段练习）锐角 中， ，则
的形状是___________.
11．（2022·四川乐山·九年级期末）在 中，若 ， ， 都是锐角，
则 是______三角形．
12．（2022·河南开封·九年级期末）在 中， 与 都是锐角，且 ，则
的形状是________．
13．（2021·山东临沂·九年级期末）在△ABC中，（2cosA﹣ ）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：
_____．
考点6：用计算器求锐角三角函数值
典例：求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：
（1）cosA=0.8607；
（2）tanA=56.78．
方法或规律点拨
此题考查了利用计算器求角的度数和度分秒的互化，熟悉计算器的用法是解决此题的关键．
巩固练习
1．已知 ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
2．已知 ，则锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
3．锐角 满足 ，利用计算器求 时，依次按键 ，则计算器上显示的
结果是（ ）
A． B． C． D．
4．如果 ，那么锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则a约为( )
A． B． C． D．
6．在 中， ，则 ，则 __．
7．根据条件求锐角：
（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】根据计算器求锐角 的度数，注意按键顺序，按完 显示的是以度为单位，再按
即显示以度分秒为单位的角度．
【详解】（1） ，按键顺序是 显示 ，则
（2） ，按键顺序是 显示 ，则
（3） ，按键顺序是 显示 ，则【点睛】本题考查了用计算器求角度，掌握按键顺序是解题的关键．
8．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．
9．利用计算器求满足下列条件的锐角 的度数．（精确到 ）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
10．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求∠A的度数；
(2)cosB＝0.888 9，求∠B的度数；
(3)tanC＝45.43，求∠C的度数；
(4)tanD＝0.974 2，求∠D的度数．
三、效能测试（50分）
一、单选题（每题3分）
1．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角
的三角函数值（ ）
A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化 D．不能确定
2．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）在 ABC中，∠A=105°，∠B=45°， 的值
是（ ） △
A． B． C．1 D．
3．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，在 中， ， ，那么下列结论正确的是
（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）下列各式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·上海市市北初级中学九年级期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离 ，线
段OP与x轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·新疆师范大学附属中学九年级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝
，则正六边形的面积为（ ）A．6 B． C． D．8
二、填空题（每题3分）
7．（2022·浙江杭州·二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．
8．（2022·广东· 三模） =______．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知 中， ， ， ，
则 的长为___________．
10．（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，
则 ＝____．
11．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）在 中， ，则
一定是______．
12．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，
设 ，则 ________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求代数式 的值，其中a＝tan60°﹣
6sin30°．
14．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作
AE BD，交CB的延长线于点E．(1)求证：AE=AC；
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
15．（2022·吉林·长春博硕学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形 中， ，点 是 的
中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，则 的值为 ．
