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第一章 三角形的证明B卷压轴题考点训练
1．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，过点 作直线 与 轴交于点
，点 为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交 轴于点 ．若
为直角三角形，请写出点 的坐标______．
【答案】 或
【详解】解： 为直角三角形，分两种情况讨论：
①当 时，过点 作 于 ，如图所示：
由对折可得， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，即 ，
，
；
②当 时，如图所示：
由对折得， ， ，
，
，
由 ， 可得： ，
设 ，则 ，
，
，解得 ，
，
，
综上， 或 ．
2．如图，在长方形 的对角线 上有一动点 ，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，
，当 为等腰三角形时， 的度数是______．【答案】 或
【详解】解：根据题意，若 ，如图所示：
此时 与 重合， 不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
为等腰三角形， ，
，
在长方形 中， ， ，则 ，
， ，
，
是等边三角形，即 ；
②如图所示：
为等腰三角形，
，，是 的一个外角，
，即 ，
在长方形 中， ， ，则 ，
， ，
，
在 中，利用三角形内角和定理可知：
；
综上所述， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
3．如图，等腰 ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将 CAD与
CBD分别沿直线CA、CB翻折得到 CAP与 CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③ PCQ面积的最小值为 ；
④当点D在AB的中点时， PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④．
【详解】①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ，∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)
=360°﹣(120°+120°)=120°，
∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE= ，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°= CQ，
∵CP=CD=CQ，
∴S = CP×QE= CP× CQ= ，
PCQ
△
∴CD最短时，S 最小，即：CD⊥AB时，CD最短，
PCQ
△
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF= BC=2，即：CD最短为2，
∴S = = = ，∴③错误；
PCQ最小
△
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形，
∴④正确，
故答案为①②④．
4．如图，在四边形 中， ， ， ，点 为 边上一点，连接 . ，
与 交于点 ，且 ，若 ， ，则 的长为_______________.
【答案】
【详解】解：如图，连接 交 于点
∵ ， ， ，
∴ 垂直平分 ， 是等边三角形
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴
∴
∴∵
∴ 是等边三角形
∴
∴ ， ，∴
∴
5．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ．当 时， 的长为
___________；在点 的运动过程中， 的最小值为___________．
【答案】 ## ##
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在线段 下方作 ，过点E作 于点F，连接 ，∴ ，
∴ ，
当D、E、F三点共线时， 的值最小，
此时 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
6．如图，过边长为2的等边 的边 上一点 ，作 于点 ， 为 延长线上一点，当
时，连接 交 边于点 ，则 的长为______.【答案】1
【详解】过点P作 交 于点F，如图，
∴ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，故答案为：
7．如图， 为等腰 的高， ， ，E、F分别为线段 、 上的动点，且
，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点C作 ，且 ，并在 的同侧，连接 ，交 于点G，
∵ 为等腰 的高， ，
∴ ，
∴ ，
当F与点G重合时， 取得最小值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
8．如图，等边 中， ， 为 上一动点， ， ，则 最小值为________．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，根据垂线段最短可得，当 时， ，此时 最小， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值最小为 ，
故答案为 ．
9．如图，在平面直角坐标系 中，直线 交x轴于点 ，与y轴交于点 ，且a，p满足
．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，直线 与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线 上，若 的面积等于6，请求
出点M的坐标；
(3)如图2，已知点 ，若点B为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点Q，使
是以 为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为(2)
(3)Q的坐标为 或 或 ，理由见解析
【详解】（1）解：∵ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为 ；
（2）过 作 交x轴于D，连接 ，
∵ ， 的面积等于6，
∴ 的面积等于6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
∴ ；
（3）Q的坐标为 或 或 ．
理由如下：
设 ，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作 轴于E，如图，
∴ ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作 轴于F，过B作 轴于G，如图，
∴ ， ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作 轴于F，过B作 轴于T，如图，∴ ， ，
同②可证 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上，Q的坐标为 或 或 ．
10．（1）如图1，在 ABC中∠A＝60 º，BD、CE均为 ABC的角平分线且相交于点O.
①填空：∠BOC＝ △ 度； △
②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)
（2）如图2，在 ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．
①若 ABC的面积△为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则
AM+M△N的最小值是 ．(直接写出答案)；
②若∠A=20°，则 BCE的周长等于 ．(直接写出答案)．
△【答案】（1）①120；②证明见解析；（2）① ( 或 )；②m
【详解】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-
2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，
易得∠BOC=90°+ ∠A，由∠A＝60 º即可得∠BOC的值；
②采用截长法在在BC上截取BF＝BE，连接OF，由边角边证得 EBO≌△FBO，再由角边角证得
DCO≌△FCO，即可得证； △
△（2）①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；
②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形
的判定和性质即可求解.
试题解析：（1）①在 OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-△2∠OCB，
∵BD、CE均为 ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠OB△C，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BOC=90°+ ∠A，
∵∠A＝60 º，
∴∠BOC=90°+ ×60 º=120°；
故答案为120°；
②证明：由（1）①∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，
在BC上截取BF＝BE，连接OF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO，
又∵BO＝BO(公共边相等)
∴△EBO≌△FBO(SAS)
∴∠BOF＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCO＝∠FCO，
又∵CO＝CO(公共边相等)
∴△DCO≌△FCO(ASA)
∴CD＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CD；
（2）①如图：
当AM⊥BC时，与BC交于点D，过M作MN⊥AC交AC与点D，
∵CE平分∠ACB，
∴DM=DN，
∴AD=AM+MD=AM+MN,此时，AM+MN的值最小，
由S = BC·AD，BC=n， ABC的面积为S，
ABC
△ △
得AD= ，
或∵AB=AC, AD⊥BC, AB=AC=m，BC=n，
∴BD=CD= ,
在Rt ACD中，由勾股定理得AD= ；
△
故答案为 (或 )；
②如图：在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，
∵AB=AC=m，∠A=20°，
∴∠B=∠C=80°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠DCE=40°,
∵CE=CE,
∴△BCE≌△DCE,
∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,
∴∠CDE=40°,
∵EC=EF,
∴∠EFC=∠ECF=40°,
∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,
∴DE=DF,
∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,∴EF=AF,
∴BE=DF,CE=AF,
∴ BCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.
11△．在 中， ， 交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另
一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到 ．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点
D，过点D作 垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与
CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不
重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG，证明见详解；（3）成立．
【详解】（1）∵ ，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BFC和△CGB中，
∴△BFC≌△CGB，
∴
（2）DE+DF=CG，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
∵ ，
∴∠ABC=∠ACB，
在 BMC和 CGB中，
△ △
∴ BMC≌ CGB，
∴△BM=CG，△
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG，
（3）成立，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
同（2）中的方法
∵ ，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，
∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG．
12．已知 为等边三角形．
（1）如图1，点D为边 上一点，以 为边作等边三角形 ，连接 ，求证： ．
（2）如图2，当点D在边 的延长线上时，以 为边作等边三角形 ，求证：无论点D的位置如何
变化， 的内角平分线的交点P始终在 的角平分线上．
（3）如图3，以 为腰作等腰直角三角形 ，取斜边 的中点E，连接 ，交 于点F．试判断
线段 ， ， 之间存在何种数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ，证明见解析．
【详解】（1）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ．
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ．
（2）过点P作 于点M， 交射线BA于点N，
∴ ，
∵ 为内角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
即无论点D的位置如何变化，
的内角平分线的交点P始终在 的角平分线上．
（3）在 上截 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴
∵E为斜边中点，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ ．
13．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．
(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足 ．
①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得
△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当
点P在DB的延长线上时，若 ，请直接写出 的值．
【答案】(1)证明过程见解析．
(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，∠APD=30°，理由见解析．②BP=2DF，
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵∠B=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BG⊥AC
∴∠BGC=90°
又∵∠C=60°
∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°
∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°
∴∠DAC=∠FBD
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC
∴AC=BF
（2）①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称
∵AQ⊥AP
∴∠QAP=90°
由(1)的证明知∠DAC=30°，根据对称的性质，得
∠PAD=∠QAC= = =30°
∵∠ADP=90°
∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°
②BP=2DF
理由如下:如图4所示,过Q作QE⊥AD，交AD与点E,那么
∠AEQ=∠FEQ=90°
∴∠AQE+∠QAE=90°
又∵∠PAD+∠QAE=90°
∴∠AQE=∠PAD
在△APD和△QAE中，
，∴△APD≌△QAE
∴AE=PD；AD=QE，∴DE=BP
又∵AD=BD，∴BD=QE
在△QEF和△BDF中，
，∴△QEF≌△BDF，∴EF=DF，∴BP=2DF
当点P在DB的延长线上时，如下图所示，
由上述证明过程可知PB=2DF，BD=AD又已知 ，∴DF= AD
∴PB=2× BD= BD，∴ =
14．如图，在 中， 是 的平分线．
(1)在线段 上任意取一点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，通过这样的作图能
得到结论 ，那么依据是_________．
(2)如果 ， 平分 交 于点 ，且 、 相交于点 ，求证： ．
(3)如果 ，在边 上截取一点 ，连接 ，使 ，连接 ．请直接写出
的度数．
【答案】(1)三线合一，(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线， ，
∴
∴
∴
∵
∴ （三线合一），
故答案为：三线合一；
（2）过点 作 ，垂足分别为 ，连接
∵ 平分 ， 是 的平分线，
∴ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）
∵ 是 的平分线，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
如图，延长 至 ，过点 分别作 的垂线，垂直分别为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
15．（1）如图1，已知 ， ， ，求证： ；
（2）如图2，已知等腰 ， ， ， ， 是三角形外部一点，连接
，将 绕 点顺时针旋转 得到 ， 点正好在线段 上，求 的长．
（3）如图3，已知等腰 ， ， ， ， 是三角形外部一点，连接 ，
将 绕 点旋转90°恰好得到 ，请直接写出线段 _________．【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或
【详解】解：（1）如图，延长 到点E，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；（2）如图，延长 到F，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，则 ，
过D作 于G，则 ，
∴ ，
在直角 中， ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，∴ ；
（3）将 顺时针旋转 得到 ，如图，
同理可得： 是等腰直角三角形， ，
又 ，
∴ ；
将 逆时针旋转 得到 ，如图，
在 上取 ，连接 ，设 ， 交于点O，在 和 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
又 ，
∴ ，
综上： 的长为： 或 ．
