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专题7.7 三角形内角和定理（知识讲解）
【学习目标】
1．理解三角形内角和定理的证明方法；
2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.
【要点梳理】
要点一、三角形的内角
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，
有两个角互余的三角形是直角三角形.
特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是
45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是
△ABC的一个外角.
特别说明：
(1)外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个
顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常
使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是
180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
【典型例题】
类型一、三角形内角和的证明
1、在小学，我们已经知道三角形的三个内角的和等于180°，现在我们可以用所
学的平行线的相关知识来说明它．如图，已知三角形ABC．
（1）读语句，画图形：在图中，过点A作直线MN，使MN//BC；
（2）请利用（1）中的图形说明∠A+∠B+∠C＝180°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，画出平行线，即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等证明即可．
解：（1）如图：
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，即 ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，熟知两直线平行，内
错角相等是解本题的关键．
举一反三：
【变式】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给
出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于
平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内
错角证明了该定理．
（1）请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．（在横线上填写相应的几何语言，
在括号内填写相应的推理依据）．
已知：如图，在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°．
解：延长线段BC至点F，并过点C作CE//AB．
因为CE//AB（已作），
所以∠A＝ （ ），
∠B ＝ （ ）．
因为 ∠ACB+∠1+∠2＝180°（平角定义），
所以∠A+∠B+∠ACB＝180°（ ）．
（2）请你再思考另外一种证明三角形内角和定理的方法并加以证明．（此题不用写推
理依据即可）．
【答案】（1）∠1 ；两直线平行，内错角相等；∠2 ；两直线平行，同位角相等；等
量代换；（2）见解析
【分析】（1）延长线段BC至点F，并过点C作 ，根据平行线的判定可得
， ，因为平角为180°，所以等量代换可得三角形内角和为180°；（2）过点A作BC的平行线，得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，因为平角为180°，所以
等量代换可得三角形内角和为180°．
解：（1）如图，延长线段BC至点F，并过点C作 ，
因为 （已作），
所以 （两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
因为 （平角定义），
所以 （等量代换）；
（2）过A作DE//BC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【点拨】本题考查了平行线的判定和证明三角形内角和定理的方法，解题的关键是熟
记平行线的判定和灵活运用其证明方法．
类型二、与平行线有关的三角形内角和问题
2、已知：如图， ，点E在AC上．求证： ．【答案】见解析
【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代
换进行分析求证即可.
解：在 中，
∵ （三角形内角和定理），
∴ （等式的性质），
又∵ （已知），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∴ （等式的性质），
∴ （等量代换）．
【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是
解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知△ABC．
（1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围；
（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若
∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数．
【答案】（1）1
