文档内容
2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题10 简单的轴对称图形
【典型例题】
例题．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作 ，垂足
为 ．
（1）求证： ；
（2）若 的周长为 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）20．
【解析】
【分析】
（1）欲证明AC＝AE，只要证明△ADC≌△ADE（AAS）即可．
（2）证明△BDE的周长＝AB即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴AC＝BC＝AE，DE＝DC，
∵△BDE的周长＝DE＋BD＋BE＝20，
∴DC＋DB＋BE＝20，
∴BC＋BE＝20，∵BC＝AC＝AE，
∴AE＋EB＝20，
∴AB＝20．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
重合用转化的思想思考问题．
【专题训练】
一、选择题
1．在下面四个图标（图像）中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，长方形ABCD沿EF对折后，若∠1＝48°，则∠DEF的度数是（ ）A．66° B．56° C．46° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可得∠2＝∠3，进而求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】
解：如图所示，
∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝48°，
∴∠3＝∠2 66°，
∵长方形对边AD//BC，
∴∠DEF＝∠3＝66°．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是平行的性质，在图形中提取平行线，并利用其性质求角度是本题的关键．
3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点C与点A重合．已知BC＝7，△BCD的周长为17，则AB的
长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
【答案】B【解析】
【分析】
根据折叠可得DA=DC，于是， BCD的周长就转化为AB+BC，由BC=7，进而求出AB即可．
【详解】 △
】解：由折叠得：DA=DC，
∵△BCD的周长为17，即CD+DB+BC=17
∴DA+DB+BC=17
即：AB+BC=17
又∵BC=7
∴AB=17-7=10
故选：B．
【点睛】
考查轴对称的性质、三角形的周长以及等式的性质等知识，合理的转化是解决问题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是
△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得
，继而即可求解．
【详解】
解：∵ 平分 ， 平分 的外角，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选择C．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可
得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得 ．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，
CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）个①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中线条件及三角形面积公式可对①作出判断；根据同角的余角相等及角平分线的性质可对②判断；由
垂直的条件、角平分线的条件可对③判断；根据已知条件无法对④作出判断．
【详解】
∵BE是AC边的中线
∴AE=CE
∵∠BAC=90°∴ ，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积
故①正确；
∵AD是BC边上的高
∴∠FAG+∠ABC=90°
∵∠BAC＝90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠FAG=∠ACB
∵CF是∠ACB的角平分线
∴∠FCB= ∠ACB=∠ACF
∴
故②错误；
∵∠AFG+∠ACF=∠DGC+∠FCB=90°，∠AGF=∠DGC
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG
故③正确；
根据已知条件无法证明BH=CH
故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线、高线、角平分线，灵活运用三角形的中线、高线、角平分线的性质是解题的
关键．
二、填空题
6．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠DAC＝125°，则∠BAE的度数为
______．【答案】70°
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠DCA=∠BCA，即可利用SAS证明△DCA≌△BCA得到∠BAC=∠DAC=125°，由
∠CAE=180°-∠DAC=55°，则∠BAE=∠BAC-∠CAE=70°．
【详解】
解：∵AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA，
又∵CB=CD，CA=CA，
∴△DCA≌△BCA（SAS），
∴∠BAC=∠DAC=125°，
∵∠CAE=180°-∠DAC=55°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的
性质与判定条件．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，那
么△ABE的面积为_____．
【答案】22.5
【解析】
【分析】
先根据角平分线的性质得到ED＝EC＝4.5，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC＝4.5，
∴S ＝ AB·DE= ×10×4.5＝22.5．
ABE
△故答案为：22.5．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形面积公式，利用角平分线性质转化线段CE=ED求解是解题的关键.
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点，过点F作DE BC，交AB于点D，交AC
于点E，若 AB=8，AC=9，则△ADE的周长为_______．
【答案】17
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，根据平行线的性质，可得∠CBF=∠BFD，等量代换可得
∠DBF=∠BFD，根据等角对等边可得BD=FD，同理可得CE=FE，可求得△ADE的周长为AB+AC，据此即
可求得．
【详解】
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠CBF=∠BFD，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=FD，
同理可得CE=FE，
∵DE=FD+FE，
∴DE=BD+CE，
∴△ADE的周长为：
AD+DE+AE =AD+BD+CE+AE=AB+AC=8+9=17．
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形中等角对等边的性质，证得△ADE的周长为AB+AC是解决此题关键．
9．将一张长方形ABCD纸片按如图所示折叠，OE和OF为折痕，点B落在点B′处，点C落在点C′处，若
∠BOE=35°，∠C′OF=30°，则∠B′OC′的度数为______°．
【答案】50
【解析】
【分析】
根据折叠的性质求得∠BOB′，∠C′OC的度数，再根据平角的定义即可求解．
【详解】
解：根据折叠的性质得∠BOE=∠B′OE，∠C′OF=∠COF，
∵∠BOB′=2∠BOE=70°，∠C′OC=2∠C′OF=60°，
∴∠B′OC′=180°-70°-60°=50°，
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质等知识，利用数形结合的思想是解题的关键．
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，AD= AB，点E为边AC
上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
先作出点A的对称点A'：延长AD至A'，使AD=A'D，连接A'E，交BC于P，此时PA+PE的值最小，就是
A'E的长，证明CD=A'E=4即可．【详解】
解：∵AB=AC，BC=8，AD⊥BC，
∴BD=CD=4，
∵ ∴∠B= 30°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
延长AD至A'，使AD=A'D，连接A'E，交BC于P，
此时PA+PE的值最小，就是A'E的长，
∵AD= AB，AA′=2AD，
∴AA'=AB=AC，∠CAA'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∵E是AC的中点，
∴A'E⊥AC，
∴A'E=CD=4，
即PA+PE的最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路径问题和直角三角形的性质，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握
线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
三、解答题
11．如图，已知 、 是 上两点， 、 是 上两点，且 ， ，试问：点 是否
在 的平分线上？【答案】在，理由见解析
【解析】
【分析】
过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，根据面积相等可证 ，可证点 在 的平
分线上．
【详解】
解：点 在 的平分线上．
理由：过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，
∵ ，
∴
∵ ，
，
点 是在 的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段相等．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=32°，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）61°．
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的逆定理，只要知道DC⊥BC，DE⊥AB，且DE=DC即可
（2）先求出∠ABC，在利用BD平分∠ABC，求出∠ABD，利用∠BDC是△ABD的外角∠BDC=∠A+∠ABD
即可．
【详解】
（1）∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵DE⊥AB，且DE=DC，
∴BD平分∠ABC；
（2）
∵∠C=90°，∠A=32°，
∴∠A+∠ABC=90º，
∴∠ABC=90º-∠A=58º，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD= ，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32º+29º=61º．
【点睛】
本题考查角平分线与外角问题，关键掌握角平分线的性质定理与逆定理，和三角形外角与内角关系，会用
角平分线的逆定理证角平分线，会利用外角求角来解决问题．
13．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．
（1）求出AB，EH的长度以及∠G的度数；
（2）连接AE，DH，AE与DH平行吗？为什么？
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据四边形的内角和为360°和已知条件求得 的度数，进而根据轴对称的性质求得AB，EH的长
度以及∠G的度数；
（2）根据对称的性质可知，对称轴垂直平分对应的两点连成的线段，则 ，进而根据
垂直于同一直线的两直线平行即可进行判断．
【详解】
解：（1） 四边形ABCD中，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，
∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AD＝4cm，EF＝5cm．
， ，
（2）连接AE，DH，则已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， 的对称点分别为 ,
则 ．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，四边形内角和，掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．如图，在 ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是△边BC上的中线，AE=5cm，S =30cm²，求DC的长；
ABC
△
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S =15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．
ADC
（2）依据∠B=30°，∠C=60°，可知 ABC为直△角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到∠BAD的度数，
即可得到∠ADE的度数，进而得出∠△DAE的度数．
【详解】
解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5cm，S =30cm2
ABC
△
∴S =15cm2，
ADC
△
∴ ×AE×CD=15，
∴ ×5×CD=15，
解得：CD=6（cm）；（2）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=90°，
又∵AD为∠BAC的平分线，
∴ ，
∴∠ADE=30°+45°=75°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE=90° 75°=15°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出S 是解题
ADC
关键． △
15．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
【答案】（1）见详解；（2）150°
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行
线的性质求得结果．
【详解】
解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C，
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°−∠C＝150°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解
决问题．
16．如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上
任取一点D，连接AD，BD．易得：AD＝BD．
（1）如图2，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD；
（2）如图3，在四边△形ABDE中，AB＝10，DE＝2，BD=6，C为BD边中点．若AC平分∠BAE，EC平分
∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【答案】（1）见解析；（2）15．
【解析】
【分析】
（1）证 ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得
出结论；△
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，证 ACB≌△ACF
（SAS），得CB=CF=3，AF=AB=10，∠BCA=∠FCA．同理可证 CGE≌△CDE（SAS），得△CG=CD=3，
GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，再证 CFG是等边三角形，得FG=△CG=3，即可求解．
【详解】 △
（1）证明：在CB上截取CE=AE，连接DE，如图所示：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
（2）解：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，如图所示：
∵C是BD边的中点，BD=6，
∴CB=CD= BD=3，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CB=CF=3，AF=AB=10，∠BCA=∠FCA．同理可证： CGE≌△CDE（SAS），
∴CG=CD=3，△GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=180°-60°-60°=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=3，
∴AE=AF+GE+FG=10+2+3=15．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线定义、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性
质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题
的关键．
17．已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，点C、D分别在射线 、 上，连接PC、
PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC与
PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得出PC=PD；（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质得PE=PF，然后根据同角的补角相等得出
∠FCP=∠PDE，即可由AAS证明△CFP≌△DEP，从而得证．
【详解】
解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及补角的性质等知识点，作出辅助线构造全等三
角形是解题的关键．
18．ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别边AD、BC、AD上的三点，连接EF、FH．
（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分
别为B′、C′、D′，点B′在FC′上，则∠EFH的度数为 ；
（2）将长方形纸片的ABCD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度数；
（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分
别为B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B′FC′的度数为 ．
【答案】（1）90°；（2）98°；（3）180°﹣2n°
【解析】
【分析】
（1）由折叠可得∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，进而得出∠EFH＝ （∠B′FB+∠C′FC），即可得出
结果；
（2）可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，根据2x+16°+2y＝180°，得出x+y＝82°，进而得到
∠EFH；
（3）可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，即可得到x+y＝180°﹣n°，再根据∠EFH＝
∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，即可得到∠B′FC′．
【详解】
解：（1）∵沿EF、FH折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，
∵点B′在C′F上，
∴∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH＝ （∠B′FB+∠C′FC）＝ ×180°＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵沿EF、FH折叠，
∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，
∵∠B'FC′＝16°，
∴2x+16°+2y＝180°，
∴x+y＝82°，∴∠EFH＝x+16°+y＝16°+82°＝98°；
（3）∵沿EF、FH折叠，
∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，
∴∠EFH＝180°﹣（∠BFE+∠CFH）＝180°﹣（x+y），
∵∠EFH＝n°，
∴x+y＝180°﹣n°，
∵∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，
∴∠B′FC′＝x+y﹣∠EFH＝180°﹣n°﹣n°＝180°﹣2n°，
故答案为：180°﹣2n°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角度的和差，平角的定义，掌握角度的计算是解题的关键．
