文档内容
极化恒等式与等和线
【知识拓展】
1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和
对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：
①PM·PN＝(|PQ|2－|NM|2)(平行四边形模式)；
②PM·PN＝|PO|2－|NM|2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，
若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P
在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也
成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的
等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0.
【类型突破】
类型一 利用极化恒等式求向量的数量积
例 1 (1)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点.
BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________.(2)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D为AC的中点，在平面
ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME·MF
的最小值为________.
训练1 (1)已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足|PC|＝1，则PA·PB的最小
值为( )
A.4－2 B.3－2
C.3－2 D.4－2
(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
类型二 利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图，在平行四边形 ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中
点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ AB
1
＋λ AC(λ ，λ 为实数)，则λ ＋λ 的值为________.
2 1 2 1 2
训练 2 在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，AN＝λAB＋
μAC，则λ＋μ的值为( )
A. B.C. D.1
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图，在四边形 MNPQ 中，若NO＝OQ，|OM|＝6，|OP|＝10，MN·MQ＝－
28，则NP·QP＝( )
A.64 B.42
C.36 D.28
3.在平行四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE
的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝( )
A.－ B.－
C.－ D.－
5.如图所示，正方形 ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原
点)上滑动，则OC·OB的最大值是( )A.1 B.2
C.3 D.4
二、多选题
6.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则AB·AC的值可能是( )
A.0 B.2
C.4 D.13
7.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋
b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝，我们把
最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向
⇔
量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形 ABCD中，BD＝8，AB·AD＝
48，E为BD中点，且EC＝2AE，则( )
A.AE＝8 B.AE＝4
C.CB·CD＝240 D.CB·CD＝120
三、填空题
8.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以
O 为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则 x＋y 的最大值是
________.9.(2024·合肥调研)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，
CD＝2，EF＝1，点P满足PA·PB＝0，则PC·PD的最大值为________.
10.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝
2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ的取值范围
为________.
【解析版】
类型一 利用极化恒等式求向量的数量积
例 1 (1)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点.
BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________.
(2)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D为AC的中点，在平面
ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME·MF
的最小值为________.
答案 (1) (2)－4
解析 (1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，有AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，
FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1，
联立解得n2＝，m2＝.
因此EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝.
即BE·CE＝.
(2)连接MD，
根据向量的极化恒等式，有ME·MF＝|MD|2－|EF|2＝MD2－8，
由于△ABC为等腰直角三角形，M为线段AB上的点，
所以BC＝AC·sin ＝4，
因此MD≥BC＝2，
所以ME·MF≥4－8＝－4，
即ME·MF的最小值为－4.
规律方法 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如
需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大
于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再
利用极化恒等式.
训练1 (1)已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足|PC|＝1，则PA·PB的最小
值为( )
A.4－2 B.3－2
C.3－2 D.4－2
(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
答案 (1)C (2)－16
解析 (1)因为动点P满足|PC|＝1，
所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示：
设D为AB的中点，
则PA·PB＝(PD＋DA)·(PD＋DB)＝PD2－DB2＝PD2－1；
所以当|PD|取最小值时，PA·PB取得最小值，
|PD| ＝|CD|－1＝－1，
min
所以PA·PB＝PD2－1≥(－1)2－1＝3－2.故选C.
(2)因为M是BC的中点，由极化恒等式得AB·AC＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16.
类型二 利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图，在平行四边形 ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中
点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ AB
1
＋λ AC(λ ，λ 为实数)，则λ ＋λ 的值为________.
2 1 2 1 2
答案 (1)B (2)
解析 (1)法一 ∵E为线段AO的中点，
∴BE＝(BA＋BO)＝＝BA＋BD＝λBA＋μBD，
∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
法二(等和线法) 如图，AD为BA，BD为基底值是1的等和线，过E作AD的平
行线，
设λ＋μ＝k，则k＝.
由图易知＝，故选B.
(2)法一 由题意作图如图.∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
＝－AB＋AC＝λ AB＋λ AC，
1 2
∴λ ＝－，λ ＝.故λ ＋λ ＝.
1 2 1 2
法二(利用等和线) 如图，过点A作AF＝DE，连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H，
如图，BH为值是1的等和线，
设λ ＋λ ＝k，则k＝，
1 2
由图易知，＝.因此λ ＋λ ＝.
1 2
规律方法 利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
训练 2 在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，AN＝λAB＋
μAC，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D.1
答案 A解析 法一 设BM＝tBC，
则AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，
∴λ＝－，μ＝，
∴λ＋μ＝.
法二(等和线法) 如图，BC为以AB，AC为基底值是1的等和线，过N作BC的
平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.
由图易知，＝，故选A.
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 A
解析 由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2)＝×(10－6)＝1.
2.如图，在四边形 MNPQ 中，若NO＝OQ，|OM|＝6，|OP|＝10，MN·MQ＝－
28，则NP·QP＝( )
A.64 B.42C.36 D.28
答案 C
解析 由MN·MQ＝MO2－ON2＝36－ON2＝－28，
解得ON2＝64，所以OQ2＝64，
所以NP·QP＝PQ·PN＝PO2－OQ2＝100－64＝36.
3.在平行四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE
的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
答案 A
解析 (等和线法)如图，作AG＝BD，延长CD与AG相交于G，
因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝( )
A.－ B.－
C.－ D.－
答案 B解析 ∵BF＝2FO，圆O的半径为1，
∴|FO|＝.
法一 FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)
＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE
＝＋0－1＝－.
法二 由极化恒等式得
FD·FE＝FO2－DE2＝－1＝－.
5.如图所示，正方形 ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原
点)上滑动，则OC·OB的最大值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则OC·OB＝OM2－＝|OM|2－.
因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
所以OC·OB的最大值为2.故选B.
二、多选题
6.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则AB·AC的值可能是( )
A.0 B.2
C.4 D.13
答案 BC
解析 因为A＝30°，BC＝2，所以＝4，
则△ABC外接圆的半径为2.
如图所示，
圆O的半径为2，BC是圆O的一条弦，点A在圆O的优弧BC上，D是线段BC
的中点，连接DO并延长交圆O于点E.
因为AB＝AD＋DB，AC＝AD＋DC＝AD－DB，
所以AB·AC＝AD2－DB2＝AD2－1.
因为点A在圆O的优弧BC上，
所以1<|AD|≤|DE|＝2＋，
所以AB·AC的取值范围是(0，6＋4).故选BC.7.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋
b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝，我们把
最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向
⇔
量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形 ABCD中，BD＝8，AB·AD＝
48，E为BD中点，且EC＝2AE，则( )
A.AE＝8 B.AE＝4
C.CB·CD＝240 D.CB·CD＝120
答案 AC
解析 因为AB·AD＝48，BD＝8，
由极化恒等式得
AB·AD＝
＝＝AE2－
＝AE2－16＝48，所以AE＝8，
又2AE＝EC，所以EC＝2AE＝16，
由极化恒等式得CB·CD＝
＝＝CE2－＝256－16＝240.
三、填空题
8.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以
O 为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则 x＋y 的最大值是________.
答案 2
解析 (等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以OB，OA为基底k＝1的
等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大
值，易知OE⊥AB，
因为OA＝1，∠AOB＝，
所以OE＝，则k＝＝＝2，
即x＋y的最大值为2.
9.(2024·合肥调研)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，
CD＝2，EF＝1，点P满足PA·PB＝0，则PC·PD的最大值为________.
答案 2
解析 因为PC＝PF＋FC，PD＝PF＋FD，
又点F分别是CD的中点，
所以FD＝－FC，所以PD＝PF－FC，PC·PD＝(PF＋FC)·(PF－FC)＝PF2－FC2＝|PF|2－＝|PF|2－2，
又PA·PB＝0，所以PA⊥PB，
又点E分别是AB的中点，
所以PE＝AB＝1，
因为EF＝PF－PE，
所以EF2＝(PF－PE)2＝PF2－2PF·PE＋PE2，
即PF2＝2PF·PE，
设〈PF，PE〉＝θ，|PF|＝x，
则x2＝2×1×x×cos θ，所以x＝2cos θ，
所以PC·PD＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ，
所以当2θ＝0即θ＝0时，cos 2θ有最大值1，即PC·PD有最大值为2.
10.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝
2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ的取值范围
为________.
答案
解析 (等和线法)如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为以OC，OD为基底k＝1的等
和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝，
易知AD＝DE＝1，故此时k＝，
显然k的最小值为1，即λ＋μ∈.
