2026届广东省茂名市高州市高三上学期一模数学答案_全国高考模拟卷_2026年2月_2602042026年广东省茂名市高三年级第一次综合测试（全科）_2026年广东省茂名市高三年级第一次综合测试数学

２０２６年 茂 名 市 高 三 年 级 第 一 次 综 合 测 试 数学参考答案 一、单选题 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、多选题 题号 ９ １０ １１ 答案 ＢＤ ＢＣＤ ＢＣＤ ７．【答案】Ｂ 【解析】圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１的圆心 Ｏ（０，０），半径 ｒ＝１，圆 Ａ：ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＝０的圆心 Ａ（－１，０），半径 ｒ＝１，ＰＭ ＋ １ ２ ＰＮ≥ ＰＯ－ｒ＋ＰＡ－ｒ＝ ＰＯ＋ＰＡ－２，Ｐ为直线ｌ：ｘ－ｙ－３＝０的动点，Ｏ（０，０），Ａ（－１，０），在直线 ｌ：ｘ－ｙ－３＝ １ ２ ０的同一侧，如图，Ｏ（０，０）关于直线ｌ：ｘ－ｙ－３＝０对称的点 Ｑ（３，－３）．故 ＰＯ ＝ ＰＱ，故 ＰＭ ＋ＰＮ≥ ＰＯ＋ ＰＡ－２＝ ＰＱ＋ＰＡ－２≥ ＡＱ－２＝３．故选Ｂ． ’ &(’(!"# $ % " & ) # ! ８．【答案】Ｂ 【解析】注意到ａ，ｂ，ｃ的选取顺序会影响到 ａ＋２ｂ＋３ｃ的值，因此从１至１３的整数有序地取３个不同的数 ａ，ｂ，ｃ 的取法有Ａ３ 种．而要使ａ＋２ｂ＋３ｃ能被２整除，也就是 ａ＋ｃ能被２整除，故 ａ，ｃ同奇偶且 ａ≠ｃ．①若 ａ，ｃ同为奇 １３ 数，那么从１至１３的整数中７个奇数有序地取２个不同奇数的取法为 Ａ２，再从余下的１１个数中随机取１个数 ７ 的取法为１１，因此这种情形的取法有１１Ａ２种．②若 ａ，ｃ同为偶数，那么从 １至 １３的整数中 ６个偶数有序地取 ７ ２个不同偶数的取法为Ａ２，再从余下的１１个数中随机取１个数的取法为１１，因此这种情形的取法有１１Ａ２种．因 ６ ６ １１Ａ２＋１１Ａ２ ６ 此，Ｐ（ａ＋２ｂ＋３ｃ能被２整除）＝ ７ ６＝ ，故选Ｂ． Ａ３ １３ １３ １０．【答案】ＢＣＤ 【解析】由题意可知ａ≥５，ａ≥１２，ａ≥２９，ａ≥７０，ａ≥１６９，ａ≥４０８，ａ≥９８５，ａ≥２３７８，易知ＢＣＤ正确． ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１．【答案】ＢＣＤ 【解析】Ｐ为侧面ＡＢＢＡ内的动点（包含边界），故当且仅当 Ｐ与 Ｂ重合的时候，ＤＰ ＝２槡３＜４，故 Ａ项错误； １ １ １ ｍａｘ 如图１，取棱ＡＢ的中点Ｐ，则可以证明 ＣＭ⊥平面 ＢＤＰ，Ｐ为侧面 ＡＢＢＡ内的动点（包含边界），且 ＤＰ⊥ １ １ １ １ １ １ １ ＣＭ，故动点Ｐ的轨迹就是线段ＢＰ，则ＢＰ＝槡５为所求，故Ｂ项正确；如图２，取棱ＢＢ的中点Ｐ，则可以证明 １ １ １ １ １ ２ 平面ＡＤＰ∥平面ＢＣＭ，Ｐ为侧面ＡＢＢＡ内的动点（包含边界），则动点 Ｐ的轨迹就是线段 ＡＰ，当且仅当 Ｐ １ １ ２ １ １ １ ２ 与Ａ重合时，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的外接球的半径最大，此时Ｒ＝槡３，故外接球的体积的最大值为４槡３π，故Ｃ项正 １ 确；由ＰＡ＋ＰＤ＝４，点Ｐ在以Ａ，Ｄ 为两焦点，长轴长为４，且绕直线 ＡＤ 旋转的椭圆上，又 Ｐ为侧面 ＡＢＢＡ １ １ １ １ １ １ １ １ 数学 第 １页（共６页） 书书书２２－１２ ３ 内的动点（包含边界），且ＰＡ⊥ＡＤ，故动点Ｐ的轨迹是以Ａ为圆心，半径为ｒ＝ ＝ 的圆的四分之一，如 １ １ １ １ ２ ２ ３ ４槡２－３ １ ４槡２－３ 图３，此时，ＰＢ的最小值＝ＢＡ－ｒ＝２槡２－ ＝ ，则Ｓ ＝ ＰＢ·ＢＣ＝ＰＢ，其最小值为 ，故 Ｄ项正确． １ ２ ２ △ＰＢＣ ２ ２ 故选ＢＣＤ． ’ ’ " ! $ " $ ! ! " # ! % % ! ( " ( ! " % ! $ ! " " ! & & " ! " # $ # $ # % % " ! ! % $ ! 图１ 图２ 图３ π １２．【答案】 ３ １６ １３．【答案】 ３ －４±槡４ａ－１６ｉ 【解析】因为方程两根为 ｘ＝ ，不妨设两根为 ｘ＝－２＋ｂｉ，ｘ＝－２－ｂｉ，则两根在复平面 ｘＯｙ上对应的 ２ １ ２ ２槡３ ４ １６ 点分别为Ｐ（－２，ｂ），Ｑ（－２，－ｂ）．因为△ＰＯＱ是等边三角形，则 ｂ＝ ，则ａ＝４＋ｂ２＝４＋ ＝ ． ３ ３ ３ ２６ １４．【答案】 ５ 【解析】ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｍ）２ｘ＋２ｘ＋２ｍ－４＝ｘ（２ｘ＋２）－ｍ（２ｘ－２）－４＝（ｘ－１）（２ｘ＋２）－（ｍ－１）（２ｘ－２），易知，１是 ｆ（ｘ）的一 [ ２ｘ＋２ ] ２ｘ＋２ ２２－ｘ＋２ 个零点，当ｘ≠１时，ｆ（ｘ）＝（２ｘ－２）（ｘ－１） －（ｍ－１），记 ｇ（ｘ）＝（ｘ－１） ，则 ｇ（２－ｘ）＝（１－ｘ） ＝ ２ｘ－２ ２ｘ－２ ２２－ｘ－２ ４＋２×２ｘ ２ｘ ４＋２×２ｘ ２ｘ＋２ （１－ｘ） ＝（１－ｘ） ＝（ｘ－１） ＝ｇ（ｘ），所以 ｇ（ｘ）的图象关于 ｘ＝１对称，所以 ａ＋ｃ＝２，ｂ＝１，所以 ４－２×２ｘ ４－２×２ｘ ２ｘ－２ ２ｘ ( ２)２ ２６ ２６ ４ａ２＋２ｂ２＋ｃ２＝４ａ２＋２＋（２－ａ）２＝５ａ２－４ａ＋６＝５ａ－ ＋ ，所以４ａ２＋２ｂ２＋ｃ２的最小值为 ． ５ ５ ５ １５．解：（１）由余弦定理可得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ ３π ＝４＋２－２×２×槡２×ｃｏｓ ＝１０， ４ 则ａ＝槡１０， ａ ｃ 槡１０ 槡２ 由正弦定理可得 ＝ ，得 ＝ ， ｓｉｎＡ ｓｉｎＣ ３π ｓｉｎＣ ｓｉｎ ４ 槡１０ 所以ｓｉｎＣ＝ ． １０ ( π) （２）因为ｓｉｎＢ＋槡３ｃｏｓＢ＝２ｓｉｎＢ＋ ＝２， ３ ( π) 所以ｓｉｎＢ＋ ＝１， ３ 数学 第 ２页（共６页）π π 因为０＜Ｂ＜ ，所以Ｂ＝ ， ４ ６ ３π π 因为Ａ＝ ，所以Ｂ＋Ｃ＝ ， ４ ４ π π π 所以Ｃ＝ － ＝ ． ４ ６ １２ ｂ ａ ａ ４ 由正弦定理可得： ＝ ，得 ＝ ， ｓｉｎＢ ｓｉｎＡ ３π π ｓｉｎ ｓｉｎ ４ ６ 所以ａ＝４槡２， π 槡６－槡２ 又因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ ＝ ， １２ ４ １ 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ ＝ ａｂｓｉｎＣ＝４槡３－４． △ＡＢＣ ２ １６．（１）证明：解法一：如图１，取ＰＤ中点Ｈ，连接ＦＨ，ＡＨ． １ 因为Ｆ是ＰＣ的中点，所以ＨＦ瓛 ＣＤ， ２ 又因为ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝槡２，ＣＤ＝２槡２，所以ＨＦ瓛ＡＢ， 所以四边形ＡＨＦＢ是平行四边形，所以ＢＦ∥ＡＨ， 又因为ＡＨ平面ＰＡＤ，ＢＦ平面ＰＡＤ， 所以ＢＦ∥平面ＰＡＤ． ( ) " # ! $ ’ % & 图１ 解法二：由ＤＡ，ＤＣ，ＤＰ两两垂直， 以Ｄ为原点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＰ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立如图２所示的空间直角坐标系， 则Ｄ（０，０，０），Ａ（２，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（０，２槡２，０），Ｂ（２，槡２，０）， 因为Ｅ，Ｆ分别为ＰＡ，ＰＣ的中点，所以Ｅ（１，０，１），Ｆ（０，槡２，１）， → → 则ＢＦ＝（－２，０，１），ＤＣ＝（０，２槡２，０）， 由ＤＣ⊥ＡＤ，ＤＣ⊥ＰＤ，ＰＤ∩ＡＤ＝Ｄ，ＰＤ，ＡＤ平面ＰＡＤ， → 所以ＤＣ⊥平面ＰＡＤ，即平面ＰＡＤ的一个法向量为ＤＣ＝（０，２槡２，０）． → → → → 又因为ＢＦ·ＤＣ＝０＋０＋０＝０，所以ＢＦ⊥ＤＣ， 又因为ＢＦ平面ＰＡＤ， 所以ＢＦ∥平面ＰＡＤ． + ( " # ! $ ’ * % & ) 图２ 数学 第 ３页（共６页）（２）解：存在． 假设线段ＥＦ上存在一点Ｇ，使得ＤＧ⊥平面ＰＢＣ， → → → → → 记ＥＧ＝λＥＦ（０≤λ≤１），则ＤＧ＝ＤＥ＋λＥＦ＝（１－λ，槡２λ，１）， → → 因为ＢＣ＝（－２，槡２，０），ＰＣ＝（０，２槡２，－２）， → {ＢＣ·ｎ＝０， {－２ｘ＋槡２ｙ＝０， １ １ 记平面ＰＢＣ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 即 １ １ １ → ＰＣ·ｎ＝０， ２槡２ｙ－２ｚ＝０， １ １ 取ｘ＝１，则ｎ＝（１，槡２，２）． １ → 因为ＤＧ⊥平面ＰＢＣ，所以ＤＧ∥ｎ， １－λ 槡２λ １ １ 所以 ＝ ＝ ，所以λ＝ ， １ 槡２ ２ ２ １ → 槡３ 所以ＥＧ＝ ＥＦ＝ ． ２ ２ １ １ １ １ １ １７．（１）解：由条件，可知ａ＝Ｐ（Ｘ＝１）＝ × ＋ × ＝ ， １ １ ２ ２ ２ ２ ２ １ １ １ ｂ＝Ｐ（Ｘ＝２）＝ × ＝ ． １ １ ２ ２ ４ （２）证明：因为Ｐ（Ｘ＝０）＝１－ａ－ｂ，对第ｎ次操作后，由全概率公式得： ｎ ｎ ｎ １ １ １ ａ ＝Ｐ（Ｘ ＝１）＝Ｐ（Ｘ＝１）· ＋Ｐ（Ｘ＝２）·１＋Ｐ（Ｘ＝０）·１＝ ａ＋ｂ＋１－ａ－ｂ＝１－ ａ， ｎ＋１ ｎ＋１ ｎ ２ ｎ ｎ ２ ｎ ｎ ｎ ｎ ２ ｎ １ 所以ａ ＝１－ ａ， ｎ＋１ ２ ｎ ２ １( ２) 可得：ａ － ＝－ ａ－ ， ｎ＋１ ３ ２ ｎ ３ ２ １ ２ １ １ 且ａ－ ＝－ ，则｛ａ－ ｝是以－ 为首项、－ 为公比的等比数列，证毕． １ ３ ６ ｎ ３ ６ ２ （３）解：解法一：由已知得Ｘ＝０，１，２， ｎ ２ １ ( １) ｎ－１ １ ( １) ｎ ２ １ ( １) ｎ 由（２）可得ａ－ ＝－ · － ＝ · － ，即ａ＝ ＋ · － ，ｎ∈Ｎ． ｎ ３ ６ ２ ３ ２ ｎ ３ ３ ２ １ １ 同理ｂ ＝Ｐ（Ｘ ＝２）＝Ｐ（Ｘ＝１）· ＋Ｐ（Ｘ＝２）·０＋Ｐ（Ｘ＝０）·０＝ ａ， ｎ＋１ ｎ＋１ ｎ ４ ｎ ｎ ４ ｎ １ １ １ ( １) ｎ－１ 故当ｎ≥２时，ｂ＝ ａ ＝ ＋ · － ． ｎ ４ ｎ－１ ６ １２ ２ １ １ １ ( １) ｎ－１ 注意到ｂ＝ 也满足上式，因此ｂ＝ ＋ · － ，ｎ∈Ｎ， １ ４ ｎ ６ １２ ２ ２ １ ( １) ｎ １ １ ( １) ｎ－１ 因此，数学期望Ｅ（Ｘ）＝１·ａ＋２·ｂ＋０·（１－ａ－ｂ）＝ａ＋２ｂ＝ ＋ · － ＋ ＋ · － ＝１，ｎ∈Ｎ， ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ３ ３ ２ ３ ６ ２ 所以Ｅ（Ｘ）＝１． ｎ １ １ 解法二：由全概率公式可知：ｂ ＝Ｐ（Ｘ ＝２）＝Ｐ（Ｘ＝１）· ＋Ｐ（Ｘ＝２）·０＋Ｐ（Ｘ＝０）·０＝ ａ， ｎ＋１ ｎ＋１ ｎ ４ ｎ ｎ ４ ｎ １ 又由（２）可知ａ ＝１－ ａ． ｎ＋１ ２ ｎ １ １ １ 当ｎ＝１时，Ｅ（Ｘ）＝１× ＋２× ＋０× ＝１， １ ２ ４ ４ 数学 第 ４页（共６页）１ 当ｎ≥２时，Ｅ（Ｘ）＝１·ａ＋２·ｂ＋０·（１－ａ－ｂ）＝ａ＋２ｂ＝ａ＋ ａ ＝１． ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ２ ｎ－１ 综上，Ｅ（Ｘ）＝１． ｎ ｃ １ １８．解：（１）由ｃ＝１，ｅ＝ ＝ 有：ｃ＝１，ａ＝２． ａ ２ 又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２，所以ｂ＝槡３， ｘ２ ｙ２ 故Ｃ： ＋ ＝１． ４ ３ （２）（ｉ）∠ＢＦＡ的平分线在直线ｘ＝１上，即ｋ ＋ｋ ＝０， ＦＢ ＦＡ 设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ），直线ＡＢ：ｘ＝ｍｙ＋ｘ（ｍ≠０）． １ １ ２ ２ ０ {ｘ２ ｙ２ ＋ ＝１， 由 ４ ３ 得（３ｍ２＋４）ｙ２＋６ｍｘｙ＋３ｘ２－１２＝０（）， ０ ０ ｘ＝ｍｙ＋ｘ ０ －６ｍｘ ３ｘ２－１２ 所以ｙ＋ｙ＝ ０ ，ｙｙ＝ ０ ， １ ２ ３ｍ２＋４ １２ ３ｍ２＋４ ｙ ｙ ２ｍｙｙ＋（ｘ－１）（ｙ＋ｙ） 所以ｋ ＋ｋ ＝ １ ＋ ２ ＝ １２ ０ １ ２ ＝０， ＦＢ ＦＡ ｘ－１ｘ－１ （ｘ－１）（ｘ－１） １ ２ １ ２ 所以２ｍｙｙ＋（ｘ－１）（ｙ＋ｙ）＝０， １２ ０ １ ２ 所以２ｍ（３ｘ２－１２）＋（ｘ－１）（－６ｍｘ）＝０， ０ ０ ０ 因为ｍ≠０，所以ｘ＝４． ０ （ｉｉ）由（ｉ）中方程（）可知，Δ＝（２４ｍ）２－４×３６×（３ｍ２＋４）＝１４４（ｍ２－４）＞０得 ｍ＞２， －２４ｍ ３６ 且ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝ ， １ ２ ３ｍ２＋４ １２ ３ｍ２＋４ ( ｙ２ ) Ｓ＝π· ＯＡ２＝π（ｘ２＋ｙ２）＝π－１＋４， １ １ １ ３ ( ｙ２ ) Ｓ＝π· ＯＢ２＝π（ｘ２＋ｙ２）＝π－２＋４， ２ ２ ２ ３ ＯＰ Ｓ＝ · ｙ－ｙ ＝２ｙ－ｙ ， ２ １ ２ １ ２ Ｓ ２ｙ－ｙ ６ ３ｍ２＋４ １( ４) 所以 ＝ １ ２ ＝ ＝ ＝ ３ｍ＋ ， Ｓ－Ｓ (ｙ２ ｙ２) π ｙ＋ｙ ４π ｍ ４π ｍ １ ２ π ２－１ １ ２ ３ ３ Ｓ １( ４) 因为当 ｍ＞２时， ＝ ３ｍ＋ 单调递增， Ｓ－Ｓ ４π ｍ １ ２ Ｓ ( ２ ) 所以 ∈ ，＋! 为所求的取值范围． Ｓ－Ｓ π １ ２ １９．（１）解：当ａ＝槡２时，ｆ（ｘ）＝ｘ＋槡２ｃｏｓ槡２ｘ，ｆ′（ｘ）＝１－２ｓｉｎ槡２ｘ， ( π) ( 槡２π) ( ５π) 因为ｘ∈ ０， ，所以槡２ｘ∈ ０，  ０， ， ２ ２ ６ １ π 槡２π 由ｆ′（ｘ）＝０得，ｓｉｎ槡２ｘ＝ ，槡２ｘ＝ ，即ｘ＝ ， ２ ６ １２ ( 槡２π) 所以当ｘ∈ ０， 时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增； １２ 数学 第 ５页（共６页）( 槡２π π) 当ｘ∈ ， 时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减． １２ ２ 所以ｆ（ｘ） ＝ｆ ( 槡２π) ＝ 槡２π ＋槡２×ｃｏｓ π ＝ 槡２π＋６槡６ ． ｍａｘ １２ １２ ６ １２ （２）（ｉ）证明：因为对任意ｘ＞０，ｆ（ｘ）≥０恒成立，且ｆ（ｘ）是连续的非常值函数， 又存在ｔ＞０，ｆ（ｔ）＝０，所以ｔ是ｆ（ｘ）的极值点， １ 所以ｆ′（ｔ）＝１－ａ２ｓｉｎａｔ＝０，所以ａ＞１，且ｓｉｎａｔ＝ ，① ａ２ ｔ 又ｆ（ｔ）＝ｔ＋ａｃｏｓａｔ＝０，所以ｃｏｓａｔ＝－ ，② ａ １ ｔ２ ａ４－１ ①２＋②２得， ＋ ＝１，解得ｔ２＝ ， ａ４ ａ２ ａ２ 槡ａ４－１ 因为ｔ＞０，ａ＞１，所以ｔ＝ ． ａ １ ｔ 由ｓｉｎａｔ＝ ＞０，ｃｏｓａｔ＝－ ＜０知，ａｔ为第二象限角， ａ２ ａ π 所以 ＋２ｋπ＜ａｔ＜π＋２ｋπ，ｋ∈Ｎ， ２ π ２ｋπ π 所以 ＜ｔ－ ＜ ，ｋ∈Ｎ， ２ａ ａ ａ ( ２ｋπ) ２ｋπ [ ( ２ｋπ)] ２ｋπ ２ｋπ 因为ｆｔ－ ＝ｔ－ ＋ａｃｏｓａｔ－ ＝ｔ＋ａｃｏｓａｔ－ ＝－ ≥０， ａ ａ ａ ａ ａ π π π 槡ａ４－１ π 所以ｋ＝０，此时 ＜ｔ＜ ，即 ＜ ＜ ， ２ａ ａ ２ａ ａ ａ π 所以 ＜槡ａ４－１＜π． ２ ( π ) (２ｉ－２ ２ｉ＋１ ) （ｉｉ）解：由①可知，对ｉ∈Ｎ，当ｘ∈ ０， －ｔ∪ π＋ｔ， π－ｔ时，ｆ′（ｘ）＞０； ａ ａ ａ (２ｉ－１ ２ｉ－２ ) 当ｘ∈ π－ｔ， π＋ｔ时，ｆ′（ｘ）＜０． ａ ａ ( π ) (２ｉ－２ ２ｉ＋１ ) (２ｉ－１ ２ｉ－２ ) 所以ｆ（ｘ）在区间 ０， －ｔ和 π＋ｔ， π－ｔ上是增函数，在区间 π－ｔ， π＋ｔ上是减函数， ａ ａ ａ ａ ａ ２ｉ－１ 所以极大值点ｘ＝ π－ｔ，ｉ∈Ｎ， ｉ ａ (２ｉ－１ ) ２ｉ－１ [ (２ｉ－１ )] ２ｉ－１ ２ｉ－１ ｆ（ｘ）＝ｆ π－ｔ＝ π－ｔ＋ａｃｏｓａ π－ｔ ＝ π－（ｔ＋ａｃｏｓａｔ）＝ π， ｉ ａ ａ ａ ａ ａ ｎ πｎ ｎ２π 所以∑ｆ（ｘ）＝ ∑（２ｉ－１）＝ ． ｉ＝１ ｉ ａｉ＝１ ａ 数学 第 ６页（共６页）