文档内容
技巧 04 结构不良问题解题策略
目 录
01 三角函数与解三角形.......................................................................................................................1
02 数列..................................................................................................................................................7
03 立体几何........................................................................................................................................11
04 函数与导数....................................................................................................................................21
05 圆锥曲线........................................................................................................................................31
01 三角函数与解三角形
1．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A；
请从问题①②中任选一个作答：
①若 ，且 面积的最大值为 ，求 周长的取值范围．
②若 的面积 ，求bc的最小值．【解析】 因为 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
若选①：则 ，则 ，
又b² ² ² ， ，
所以b² ² ，
所以 ² ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
即 周长的取值范围是 ；
若选②：则 ，所以 ，
则a² ²c² ² ² ，
即 ²c² ² ² ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，bc的最小值为
2．在① ；② ；③ 这三个
条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
求角C的大小；
若 ， ，线段AB之间有一点P满足 ，求
【解析】 选①： ，
由正弦定理得 ，
又 ， ，于是 ，
，
又 ，故 ，
，解得 ；
选②： ，
则 ，
由正弦定理得 ，化简得 ，由余弦定理得 ，
又 ，解得 ；
选③： ，
由正弦定理得
，
则 ，
又 ， ，于是 ，则 ，
又 ，解得 ；
由题意， ，
两边同时平方有： ，
所以 ，
则 ，即
3．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
① ；
② ；
③ 的面积为
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．求C；
若D为AB中点，且 ， ，求a，
【解析】若选①，
，
由正弦定理可得： ，整理可得： ，
，
，
，D为AB中点，且 ， ，
，
在 中 ，
，
则 ，
在 中 ，
，
则 ，
因为 ，
所以 ，则 ，①
又 由余弦定理 ，可得： ，②
由①②可得 ，进而解得
若选②
，
由正弦定理可得： ，
，
可得 ，
，
解法同上；
若选③
的面积为 ，
由正弦定理可得： ， ，
由余弦定理得 ，
即： ，可得 ，
，解法同上；
4．已知函数 在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选
择可以确定 和m值的两个条件作为已知．
Ⅰ 求 的值；
Ⅱ 若函数 在区间 上是增函数，求实数a的最大值
条件①： 最小正周期为 ；
条件②： 最大值与最小值之和为0；
条件③：
【解析】 Ⅰ 函数
选条件①②：
由于 最小正周期为 ，所以 ，所以 ；
由 最大值与最小值之和为0，
， ，
故 ，解得
所以
故Ⅱ 令 ，
所以 ，
所以函数 的单调增区间为
因为函数在区间 上单调递增，且 ，此时 ，
所以 ，故a的最大值为
选条件①③：
由条件①得， ，又因为 ，所以
由③知， ，所以
则
故
Ⅱ 解法同选条件①②．
说明：不可以选择条件②③：
由②知， ，所以 ；
由③知， ，所以 ；矛盾．
所以函数 不能同时满足条件②和③．
02 数列
5．在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
① ；②已知 为数列 的前n项和，满足 ， ，_____．
求数列 的通项公式；
设 ，求数列 的前 项和
【解析】 选择条件①：
，
当 时， ，
两式相减得 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 是1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ；
选择条件②：
由 ，
所以 ，得 ，
两式作差得 ，整理得 ，
所以 为等差数列，
当 时， ，解得 ，故公差 ，
所以 ；
由 可知 ，，
所以
6．已知数列 ，若__________．
求数列 的通项公式 求数列 的前n项和
从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①
② ， ，
③ ，点 ， 在斜率是2的直线上
【解析】若选①，
则 由 ，
所以 时， ，
两式相减可得： ， ，
而在 中令 可得： ，符合上式，
故
由 知： ，所以
若选②
则 由 可得：数列 为等差数列，
又因为 ， ，所以 ，即 ，
所以
同上．
若选③，
则 由点 ， 在斜率是2的直线上得： ，
即 ，
所以数列 为等差数列且
同上．
7．设等差数列 的前n项和为 ， ，
求数列 的通项公式及 ；
若_____，求数列 的前n项和
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第 问中，并对其求
解．
【解析】 设等差数列 的公差为d， ， ，则 ，解得 ，所以 ，
选①：由 知： ，
所以 ，
，
两式相减得，
，
所以 ；
选②：由 知： ，
所以
选③：由 知： ，则 ，
当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
所以
8．已知等比数列 的各项都为正数， ， ，数列 的首项为1，且前n项和为 ，再从下面①②③中选择一个作为条件，判断是否存在 ，使得 ， 恒成立?若存在，求
出m的值；若不存在，说明理由，
① ② ， ③
【解析】设 的公比为q，则 ，所以 ，
所以 ，
因为 的各项都为正，所以取 ，
所以
若选① 由 ，得 ，
两式相减得： ，整理得 ，．
因为 ，所以 是公比为2，首项为1的等比数列，
， ，
在R上为增函数，
数列 单调递增，没有最大值，
不存在 ，使得对任意的 ， 恒成立．
若选择② 因为 ，且 ， ，
为等比数列，
公比 ，
，所以
当且仅当 时取得最大值 ，
存在 ，使得对任意的 ， 恒成立．
若选择③ 因为 ，所以 ，
是以1为公差的等差数列，又 ，
，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
则 ，
存在 或3，使得对任意的 ， 恒成立．
03 立体几何
9．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，平面 平面ABCD， ，
，E，F分别为BC，PD的中点．
Ⅰ 求证： 平面PAB；
Ⅱ 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值．
条件①： ；条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 Ⅰ 证明：取PA中点G，连接FG，BG，如图所示：
为 PD 的 中 点 ， ，
，
是BC的中点， ，
在正方形ABCD中， ， ，
且 ，
四边形BEFG为平行四边形， ，
又 平面PAB， 平面PAB，
平面PAB；
Ⅱ 取AD中点O，连接OP，OE，， ，
平面 平面ABCD，平面 平面 ，
平面ABCD，又 平面ABCD， ，
在正方形ABCD中， ，
则建立以O为原点，以OA、OE、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系 ，如图所示：
设 ，
则 ， ， ，
， ，
， ，
，
设平面BEF的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
平面BEF的一个法向量为 ，
又 平面BAE，则平面ABE的一个法向量为 ，
，
若选取条件①： ，
，即 ，解得 或 不合题意，舍去 ，
由图形得二面角 的平面角为锐角，则 ，故二面角 的余弦值为 ；
若选取条件②： ，
则 ，解得 或 不合题意，舍去 ，
由图形得二面角 的平面角为锐角，则 ，
故二面角 的余弦值为
10．如图，圆台 上底面半径为1，下底面半径为 ，AB为圆台下底面的一条直径，圆 上点C满
足 ， 是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面 的同侧，且
证明： 平面
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面PBC所成角的正弦值．
条件① 三棱锥 的体积为 条件② 与圆台底面的夹角的正切值为
【解析】 取AC中点M，连接 ，PM，由题意， ， ，
又 ，
又 ， ，
故 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，又 面PAC， 平面PAC，
故 平面
选① ，
又 平面ABC，
所以三棱锥 体积
所以
选② 因为 平面ABC，所以 为 与底面所成的角，
所以 ，又 ，所以
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则有 ， ， ， ， ，
故 ，
设平面PBC的法向量 ，
而 ， ，
故 令 ，得 ，
设所求角的大小为 ，则 ，
所以直线 与平面PBC所成角的正弦值为
11．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
，M，N分别为 ，AC的中点．求证： 平面
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①
条件②
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 取BC中点D，连接 ，DN，
在三棱柱 中， ，
因为M，N，D分别为 ，AC，BC的中点，
所以 ， ， ， ，
即 且 ，
所以四边形 为平行四边形，因此
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
选条件①因为侧面 为正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，所以
由 得 ，又因为 ，所以 ，
而 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故
在三棱柱 中，BA，BC， 两两垂直，
故分别以BC，BA， 为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，
因 为 ， 则 ， ， ，
，
所以 ， ， ，
设平面BMN的法向量 ，
由 ， ， 得 令 ， 得
设直线AB与平面BMN所成角为 ，
则 ，所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为
选条件②
因为侧面 为正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，所以
取AB中点H，连接HM，
因为M，N，H分别为 ，AC，AB的中点，
所以 ， ，而 ，故
又因为 ，所以
在 ， 中， ， ，公共边MH，
那么 ≌ ，
因此 ，即 ，故
在三棱柱 中，BA，BC， 两两垂直，
故分别以BC，BA， 为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，
因为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面BMN的法向量 ，由 ， ，得 令 ，得
设直线AB与平面BMN所成角为 ，
则 ，
所以直线AB与平面BMF所成角的正弦值为
12．如图，直四棱柱 中， 是等边三角形，
从三个条件：① ；② ；③ 中任选一个作为已知条件，证明：
；
在 的前提下，若 ，P是棱 的中点，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【解析】证明： 对①：设AC与BD的交点为E，
是等边三角形，且 ，则E为AC的中点，
可得 ，且 ， ，则 ，
故 ，即 ，又 平面ABCD， 平面ABCD，
，且 ，CD、 平面 ，
故 平面 ，
又 平面 ， ；
对②： ，则 ，
又 ，即 ，
可得 ，即 ，
又 平面ABCD， 平面ABCD，
，且 ，CD、 平面 ，
故 平面 ，
又 平面 ， ；
对③： ，即 ，
在 中，则 ，可得 ，
故 ， ， ，则 ，
故 ，即 ，
又 平面ABCD， 平面ABCD，
，且 ，CD、 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
可得 ，
设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 ， 即
，
令 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
则 ，
结合图象可得，平面 与平面 所成角为锐二面角，
故平面 与平面 所成角的余弦值为
04 函数与导数13．已知函数
若 是 的极值点，求a；
若 ， 分别是 的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当 时， ；
②当 时，
【解析】 因为 ，所以 ，
若 是函数 的极值点，则 ，即 ，解得 ，
此时 ，
设 ，则 ， ，
所以存在 ，使得当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 是 的极值点；
选择①：因为 分别为 的零点和极值点，
所以 ，则 ，，则 ，
所以 ，
当 时， ，则 ，
所以
因为 ，所以当 ，即 时， 成立，
当 时，若 ，则只需证明 ，
设 ，则
设 ，
则 ，易得 为增函数，且
所以存在唯一 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，所以 ， 单调递增，
所以 ，则 ，等价于 ，设 ，则 ，
当 时，若 时， ， ，则 单调递减，
所以当 ，
所以当 时， 成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，
所以当 时， ，
即 成立，
综上，若 ， 分别是 的零点和极值点，当 时，
选择②：因为 分别为 的零点和极值点，
所以 ，则 ，
，则 ，
所以 ，
当 时， ，则 ，
所以
若 ，即 ，则只需证明 ，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，所以 ，则 ，
若 ，设 ，则 ，则 单调递增，
所以 ，所以 ， ，
所以只需证明 ，
设 ，则 ，
当 时， ，
当 时，即 时， ，
设 ，
则 ，
因为当 时，函数 单调递增，
所以当 时， ，
即 ，则 单调递减，
此时也有 ，
所以当 时， 单调递减， ，即当 时， ，
综上，若 ， 分别是 的零点和极值点，当 时，14．已知函数
当 时，求 的单调区间；
若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；②
【解析】 函数定义域是 ，
，
当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，
所以 的单增区间为 ；单减区间为 ，
证明①：由题意知， 是 的两根，则 ，
，
将 代入得， ，
要证明 ，只需证明 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
只需证明 ，
令 ，则 ，只需证明 ，即 ，
令 ，
，
所以 在 上单调递减，可得 ，
所以 ，
综上可知，
证明②：
设 ，
因为 有两个极值点，所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ，，
由题意可知 ，
可得 代入得， ，
令 ，
，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调速增，
因为 ，所以 ，
由 ，
可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即
15．已知函数
若 ，求a的值；
当 时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明，
① ；②
【解析】 由 ，得 ，又 ，
当 时， 恒成立，所以 在R上单调递减，
又由 ，则 不成立；
当 时，令 ，得 ，
则 时，有 ； 时，有 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的极小值，也是最小值，
又因为 ，且 ，
故 ，即 ，经验证成立．
故
选择①：
因为 ，当 时， ，
设 ，
当 时， ， ，
又由 知 ，故 ；
当 时， ，
设 ，则 ， ，
则 在 单调递增， ，
所以 ，则 在 单调递增，
，
综上，当 时， ，即 ，
即当 时，
选择②：
因为 ，当 时， ，
设 ，
当 时， ， ， ，故 ；
当 时， ，
设 ，
则 ， ，
则 在 单调递增，
，所以 ，
则 在 单调递增，
，
综上，当 时， ，即 ，即当 时，
16．已知函数
若函数 在 上单调递增，求实数a；
从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．
①当 时， ，求实数
②当 时， ，求实数
【解析】 由题意得： ；
在 上单调递增，
恒成立且 不恒为零；
当 时， ，则 ， ， ；
当 时， ；
当 时， ，则 ， ， ；
综上所述：实数a的值为
若选条件①，当 时， ，
；
令 ，则 ；令 ，则 ，
在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ；
则当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
由 得： ，则 ，
，又 在 上单调递增，
， ，
，
，解得： ，即实数a的取值范围为
若选条件②，
方法一：当 时， ，
令 ，则 ；
当 时， ，不合题意；当 时， ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， ， ，使得 ；
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
；
由 得： ，则 ，
，即 ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
，易得方程 有唯一根 ，
即实数a的值为
方法二：当 时， ，
即 时， ，即 ；为 上的增函数且值域为 ，
令 ，则对于 ， ，即 恒成立；
令 ；
当 时， ，与 恒成立矛盾，不合题意；
当 时， ，由 得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
，易得方程 有唯一根 ，
即实数a的值为
05 圆锥曲线
17．已知圆 ： ，直线 过点 且与圆 交于点B，C，BC中点为D，过 中点E且平行于 的直线交 于点P，记P的轨迹为
求 的方程；
坐标原点O关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，
过 的直线 与 交于点M，N，直线 ， 相交于点 请从下列结论中，选择一个正确的结论并
给予证明．
① 的面积是定值；② 的面积是定值；③ 的面积是定值．
【解析】 由题意得， ，
因为D为BC中点，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以点P的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆 左、右顶点除外
设 ，其中 ，
则 ， ， ，
故结论③正确．下证： 的面积是定值．
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ，
由
所以 ，
所以
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由
得
，
解得
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，因此 的面积是定值，为
18．设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
求C的方程；
经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点 ， 在C上，且 ，
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两
个条件，证明另一个条件成立：① 在AB上；② ③
【解析】 由题意可得 ， ，故 ，
因此C的方程为
设 直 线 PQ 的 方 程 为 ， 将 直 线 PQ 的 方 程 代 入 C 的 方 程 得
，
则 ， ，设点M的坐标为 ，则
两式相减，得 ，而 ，
故 ，解得
两式相加，得 ，而 ，故
，解得
因此，点M的轨迹为直线 ，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②
设直线AB的方程为 ，并设A的坐标为 ，B的坐标为
则 ，解得 ，
同理可得 ，
此时 ，
而点M的坐标满足 ，
解得 ， ，
故M为AB的中点，即
若选择①③当直线AB的斜率不存在时，点M即为点 ，此时M不在直线 上，矛盾．
故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
并设A的坐标为 ，B的坐标为
则 ，解得 ，
同理可得 ，
此时 ，
由于点M同时在直线 上，故 ，解得 因此
若选择②③
设直线AB的方程为 ，并设A的坐标为 ，B的坐标为
则 解得 ，
同理可得 ， ，
设AB的中点为 ，则 ，
由于 ，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线 上．
将该直线与 联立，解得 ， ，
即点M恰为AB中点，故点而在直线AB上．19．设抛物线C： 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD
垂直于x轴时，
①求C的方程；②若M点在第一象限且 ，求 ；
动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为
， ，t为非零的常数．
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①P点坐标为 ；② ；③直线AB经过点
【解析】 ①抛物线的准线为 ，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时
所以 ，所以抛物线C的方程为
②设直线方程为 ， 、 ，
由 可得 ，
所以 ，
由 得
解得 ， 从而
由①② ③由题意：设直线AB为： ，且 ， ，
由 ，
所以 ，
，同理 ，
故 ，
所以 ，
将 代入上式整理得： ，
所以直线AB为 ，
即
所以直线AB经过点
选择由①③ ②
由题意直线AB为： ，
且 ，
由 ，
所以 ，
，
同理 ，
所以选择②③ ①
由题意直线AB为： ，
且 ， ， ，
由 ，
所以 ，
，
同理： ，
所以 ，
所以 ，
将 代入上式整理得： ，
且 式对任意的m成立，
所以 ，
所以
20．已知抛物线C： 经过点
求抛物线C的方程；
动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为
， ， 为非零的常数．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①P点坐标为 ；② ；③直线AB经过点
【解析】 因为抛物线 经过点 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为
证明：设 ， ，
方案一：选择①②，证③
因为 ， ，
所以 ，
化简后得 ，
由已知可知AB与x轴不平行，设直线 ，
联立 消去x可得 ，
所以 ，
所以 ，所以直线AB的方程为 ，
所以直线AB经过点
方案二：选择①③，证②
由已知可知AB与x轴不平行，设直线 ，
联立 消去x可得 ，所以 ， ，
因为 ， ，
所以
方案三：选择②③，证①
由已知可知AB与x轴不平行，设直线 ，
联立 消去x可得 ，
所以 ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，
整理可得 ，
因式分解可得 对任意的m恒成立，
所以 ，所以点P的坐标为
