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奔驰定理与三角形四心
【知识拓展】
1.奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0(其中S ，S ，S 分
1 2 3 1 2 3
别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
【类型突破】
类型一 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m
＝( )
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)已知点 A，B，C，P 在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则
S ∶S ＝( )
△ABC △PBC
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
训练1 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC
的面积与△AOC的面积的比值为________.
类型二 奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
考向1 奔驰定理与重心
例 2 已知在△ABC 中，G 是重心，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且56aGA＋40bGB＋35cGC＝0，则角B＝________.
考向2 奔驰定理与外心
例3 已知点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，C＝，则λ＝________.
考向3 奔驰定理与内心
例4 (2024·开封调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，
若AO＝λAB＋μBC，则3λ＋6μ的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考向4 奔驰定理与垂心
例5 (2024·重庆质检)已知H是△ABC的垂心，若HA＋2HB＋3HC＝0，则角A＝
________.
易错提醒 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和
垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要
注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I为△ABC的内心，且2IA＋3IB＋IC＝0，则角C＝________.
(2)设点 P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，
△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________.
【精准强化练】
一、单选题
1.点 O 为△ABC 内一点，若 S ∶S ∶S ＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋
△AOB △BOC △AOC
μAC，则实数λ和μ的值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
2.点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S ∶S ＝( )
△ABC △APC
A.2∶1 B.3∶2C.3∶1 D.5∶3
3.已知 O 是△ABC 内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2 且∠BAC＝60°，则
△OBC的面积为( )
A. B.
C. D.
4.△ABC内一点O满足关系式S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，即称为经典
△OBC △OAC △OAB
的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则
O为△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
5.如图，已知 O 是△ABC 的垂心，且OA＋2OB＋3OC＝0，则 tan ∠BAC∶tan
∠ABC∶tan ∠ACB等于( )
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
二、多选题
6.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
7.已知 O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为 S ，
△BOC
S ，S ，则S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB
△AOC △AOB △BOC △AOC △AOB
分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有( )A.若2OA＋3OB＋4OC＝0，则S ∶S ∶S ＝4∶3∶2
△BOC △AOC AOB
B.若|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，且2OA＋3OB＋4OC＝0，则S ＝
△ABC
C.若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则O为△ABC的垂心
D.若O为△ABC的内心，且5OA＋12OB＋13OC＝0，则∠ACB＝
三、填空题
8.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S ＝14，2OA＋2OB＋3OC＝0，则
△ABC
△ABC的外接圆面积为________.
9.(2024·丽水调研)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA＋4OB
＋5OC＝0.则△ABC的面积为________.
10.已知点P，Q在△ABC内，若PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则＝
________.
【解析版】
1.奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0(其中S ，S ，S 分
1 2 3 1 2 3
别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).
证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|PA|＝x，
|PB|＝y，|PC|＝z.
根据三角形正弦定理面积公式得
S PA＋S PB＋S PC＝yzsin[2π－(α＋β)]·PA＋xzsin βPB＋xysin αPC
1 2 3
＝－yzsin(α＋β)PA＋xzsin βPB＋xysin αPC，①
把①式两边与向量PA作数量积得(S PA＋S PB＋S PC)·PA
1 2 3
＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α＋x2yzsin αcos β
＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0.
同理：①式两边与向量PB，PC作数量积都得0.
但是S PA＋S PB＋S PC不可能同时与PA，PB，PC三个向量垂直，而PA，PB，
1 2 3
PC也不可能都为0，所以S PA＋S PB＋S PC＝0.
1 2 3
该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该
定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
(1)点O是△P
1
P
2
P
3
的重心⇔OP1＋OP2＋OP3＝0 S
△P2OP3
＝S
△P1OP3
＝S
△P1OP2
＝
⇔
S ；
△P1P2P3
(2)点 O 是△P P P 的垂心⇔OP1·OP2＝OP2·OP3＝OP3·OP1 tan P ·OP1＋tan
1 2 3 1
⇔
P ·OP2＋tan P ·OP3＝0 S ∶S ∶S ＝tan P ∶tan P ∶tan
2 3 △P2OP3 △P3OP1 △P1OP2 1 2
⇔
P (△P P P 不是直角三角形)；
3 1 2 3
(3) 点 O 是 △ P P P 的 内 心 ⇔ aOP1 ＋ bOP2 ＋ cOP3 ＝
1 2 3
0 S ∶S ∶S ＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P P P 的三边，分别
△P2OP3 △P3OP1 △P1OP2 1 2 3
⇔
对应角P ，P ，P )；
1 2 3
(4)点 O 是△P P P 的外心⇔|OP1|＝|OP2|＝|OP3| OP1sin 2P ＋OP2sin 2P ＋
1 2 3 1 2
⇔
OP3sin 2P ＝0 S ∶S ∶S ＝sin 2P ∶sin 2P ∶sin 2P .
3 △P2OP3 △P3OP1 △P1OP2 1 2 3
⇔
【类型突破】
类型一 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m
＝( )
A.2 B.3
C.4 D.5(2)已知点 A，B，C，P 在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则
S ∶S ＝( )
△ABC △PBC
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
答案 (1)C (2)B
解析 (1)法一 延长CO到点M(图略)，
使得OM＝－OC，
因为OA＋2OB＋mOC＝0，
所以－OC＝OA＋OB，
即OM＝OA＋OB，
所以A，B，M三点共线，
又因为OC与OM反向共线，
所以＝，
所以＝＝＝，
解得m＝4.
法二(奔驰定理法) 由奔驰定理得S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△BOC △AOC △AOB
又OA＋2OB＋mOC＝0，所以S ∶S ∶S ＝1∶2∶m.
△BOC △AOC △AOB
所以＝＝，解得m＝4.
(2)法一 ∵QR＝QB，
∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3，
∴S ＝3S ，即S ＝2S ，
△PQB △PQR △PRB △PQR
∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3，
∴S ＝3S ＝6S ，
△BCR △PBR △PQR
∴S ＝2S ＝4S ，
△PBC △PBR △PQR
同理可得S ＝S ＝6S ，
△ACP △ABQ △PQR
∴＝＝＝.
法二(奔驰定理法) 由QR＝QB，
得PR－PQ＝(PB－PQ)，
整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，
由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，
整理得PR＝－PC，
∴－PC＝PB＋PA，
整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，
∴S ∶S ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
△ABC △PBC规律方法 已知 P 为△ABC 内一点，且 xPA＋yPB＋zPC＝0(x，y，z∈R，
xyz≠0，x＋y＋z≠0)，则有
(1)S ∶S ∶S ＝|x|∶|y|∶|z|；
△PBC △PAC △PAB
(2)＝，＝，
＝.
训练1 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC
的面积与△AOC的面积的比值为________.
答案 4
解析 法一 ∵D为AB的中点，
则OD＝(OA＋OB)，
又OA＋OB＋2OC＝0，
∴OD＝－OC，∴O为CD的中点.
又∵D为AB的中点，
∴S ＝S ＝S ，则＝4.
△AOC △ADC △ABC
法二(奔驰定理法) ∵OA＋OB＋2OC＝0，
根据奔驰定理，∴＝＝4.
类型二 奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
考向1 奔驰定理与重心
例 2 已知在△ABC 中，G 是重心，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
56aGA＋40bGB＋35cGC＝0，则角B＝________.
答案解析 依题意，可得56a∶40b∶35c＝1∶1∶1，
所以b＝a，c＝a，
所以cos B＝＝，
因为0<B<π，所以B＝.
考向2 奔驰定理与外心
例3 已知点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，C＝，则λ＝________.
答案 －1
解析 依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B.
又C＝，∴A＝B＝，
又＝，∴λ＝＝＝－1.
考向3 奔驰定理与内心
例4 (2024·开封调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，
若AO＝λAB＋μBC，则3λ＋6μ的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 AO＝λAB＋μBC可化为OA＋λOB－λOA＋μOC－μOB＝0，
整理得(1－λ)OA＋(λ－μ)OB＋μOC＝0，所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得λ＝，μ＝，
所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
考向4 奔驰定理与垂心
例5 (2024·重庆质检)已知H是△ABC的垂心，若HA＋2HB＋3HC＝0，则角A＝
________.
答案
解析 依题意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因为tan A≠0，所以tan A＝±1.
又因为0<tan A<tan B<tan C，
所以tan A＝1，所以A＝.
易错提醒 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和
垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要
注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I为△ABC的内心，且2IA＋3IB＋IC＝0，则角C＝________.
(2)设点 P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，
△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________.答案 (1) (2)
解析 (1)由2IA＋3IB＋IC＝0，
可得a∶b∶c＝2∶3∶，
令a＝2k，b＝3k，c＝k，
则cos C＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)法一 据奔驰定理得，PA＋xPB＋yPC＝0，
即AP＝2xPB＋2yPC，
平方得AP2＝4x2PB2＋4y2PC2＋8xy|PB|·|PC|·cos∠BPC，
又∵点P是△ABC的外心，
∴|PA|＝|PB|＝|PC|，
且∠BPC＝2∠BAC＝，
∴x2＋y2＋xy＝，
从而(x＋y)2＝＋xy≤＋，
解得0<x＋y≤，
当且仅当x＝y＝时取等号，∴(x＋y) ＝.
max
法二 S ∶S ∶S ＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝∶x∶y，
△PBC △PCA △PAB
又∠BAC＝，∴sin 2A＝，
∵x＝sin 2B，y＝sin 2C，
∴x＋y＝(sin 2B＋sin 2C)＝
＝sin，
又∵B∈，∴2B－∈，
∴sin∈，
∴x＋y∈，∴(x＋y) ＝.
max
【精准强化练】
一、单选题
1.点 O 为△ABC 内一点，若 S ∶S ∶S ＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋
△AOB △BOC △AOC
μAC，则实数λ和μ的值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3OA＋2OB＋4OC＝0，
即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，
整理得AO＝AB＋AC，所以λ＝，μ＝.
2.点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S ∶S ＝( )
△ABC △APC
A.2∶1 B.3∶2
C.3∶1 D.5∶3答案 C
解析 根据奔驰定理得，
S ∶S ∶S ＝1∶2∶3.
△PBC △PAC △PAB
所以S ∶S ＝(1＋2＋3)∶2＝3∶1.
△ABC △APC
3.已知 O 是△ABC 内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2 且∠BAC＝60°，则
△OBC的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵OA＋OB＋OC＝0，
∴O是△ABC的重心，
∴S ＝S ，
△OBC △ABC
∵AB·AC＝2，
∴|AB||AC|cos∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴|AB||AC|＝4，
又S ＝|AB||AC|sin∠BAC＝，
△ABC
∴△OBC的面积为.
4.△ABC内一点O满足关系式S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，即称为经典
△OBC △OAC △OAB
的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则
O为△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心答案 B
解析 记点O到AB，BC，CA的距离分别为 h ，h ，h ，S ＝a·h ，S ＝
1 2 3 △OBC 2 △OAC
b·h ，
3
S ＝c·h ，
△OAB 1
因为S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△OBC OAC △OAB
则a·h ·OA＋b·h ·OB＋c·h ·OC＝0，
2 3 1
即a·h ·OA＋b·h ·OB＋c·h ·OC＝0，
2 3 1
又因为a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，所以h ＝h ＝h ，所以点P是△ABC的内心.
1 2 3
5.如图，已知 O 是△ABC 的垂心，且OA＋2OB＋3OC＝0，则 tan ∠BAC∶tan
∠ABC∶tan ∠ACB等于( )
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
答案 A
解析 O是△ABC的垂心，延长 CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，
M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
因此，＝＝＝＝，
同理＝，
于是得tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB＝S ∶S ∶S ，
△BOC △AOC △AOB
又OA＋2OB＋3OC＝0，
由“奔驰定理”有S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△BOC △AOC △AOB
即S ∶S ∶S ＝1∶2∶3，
△BOC △AOC AOB
所以tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB
＝1∶2∶3.
二、多选题
6.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 AC
解析 由AP＝AB＋AC，
可得PA＋PB－PA＋PC－PA＝0，
整理得PA＋PB＋PC＝0，
所以2PA＋2PB＋PC＝0，＝＝.由AQ＝AB＋AC，
可得QA＋QB－QA＋QC－QA＝0，
整理得QA＋8QB＋3QC＝0，
所以＝＝，＝.
7.已知 O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为 S ，
△BOC
S ，S ，则S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB
△AOC △AOB △BOC △AOC △AOB
分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有( )
A.若2OA＋3OB＋4OC＝0，则S ∶S ∶S ＝4∶3∶2
△BOC △AOC AOB
B.若|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，且2OA＋3OB＋4OC＝0，则S ＝
△ABC
C.若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则O为△ABC的垂心
D.若O为△ABC的内心，且5OA＋12OB＋13OC＝0，则∠ACB＝
答案 BCD
解析 对于A，2OA＋3OB＋4OC＝0，
则S ∶S ∶S ＝2∶3∶4，故A错误；
△BOC △AOC △AOB
对于B，S ＝×2×2×sin ＝，
△AOB
又2OA＋3OB＋4OC＝0，
故S ∶S ∶S ＝2∶3∶4，
△BOC △AOC △AOB
所以S ＝S ＝，故B正确；
△ABC △AOB
对于C，OA·OB＝OB·OC，即(OA－OC)·OB＝CA·OB＝0，
故CA⊥OB，
同理可得CB⊥OA，AB⊥OC，
所以O为△ABC的垂心，故C正确；
对于D，5OA＋12OB＋13OC＝0，
故S ∶S ∶S ＝5∶12∶13，
△BOC △AOC △AOB
设内切圆半径为r，S ＝r·BC
△BOC
S ＝r·AC，S ＝r·AB，
△AOC △AOB
即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，
即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正确.
三、填空题
8.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S ＝14，2OA＋2OB＋3OC＝0，则
△ABC
△ABC的外接圆面积为________.
答案
解析 ∵2OA＋2OB＋3OC＝0，且O为内心，
∴a∶b∶c＝2∶2∶3，
令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S ＝(a＋b＋c)·r ×7k×2＝14 k＝2，
△ABC
⇒ ⇒∴a＝4，b＝4，c＝6，
∴cos C＝－，sin C＝，
又2R＝＝⇒R＝＝，
∴外接圆面积S＝πR2＝.
9.(2024·丽水调研)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA＋4OB
＋5OC＝0.则△ABC的面积为________.
答案
解析 ∵3OA＋4OB＝－5OC，
且|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
∴9|OA|2＋16|OB|2＋24OA·OB＝25|OC|2，
∴OA·OB＝0，
∴OA⊥OB，
∴S ＝×1×1＝，
△AOB
由奔驰定理知，S ∶S ∶S ＝3∶4∶5，
△BOC △AOC △ AOB
∴S ＝·S ，
△AOB △ABC
∴S ＝S ＝.
△ ABC △AOB
10.已知点P，Q在△ABC内，若PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则＝
________.答案
解析 根据奔驰定理得
S ∶S ∶S ＝1∶2∶3，
△PBC △PAC △ PAB
S ∶S ∶S ＝2∶3∶5，
△QBC △QAC △QAB
∴S ＝S ＝S ，
△PAB △QAB △ABC
∴PQ∥AB，
又∵S ＝S ，S ＝S ，
△PBC △ABC △QBC △ABC
∴＝＝－＝.
