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专题 01 全等及等腰三角形
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重难突破
知识点一 全等三角形判定定理及性质
1．全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等
②全等三角形的对应角相等
2．全等三角形的常用判定方法
①三边分别相等的两个三角形全等（SSS）
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）
⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）典例1
（2021春•龙华区期中）如图，锐角 的两条高 、 相交于点 ，且 ，若 ，
则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 是高， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
故选： ．
典例2
（2021春•福田区校级期中）如图，已知 ，添加一个条件，可使用“ ”判定 与
全等．以下给出的条件适合的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． ， ， ，
，故本选项不符合题意；
． ， ， ，，故本选项不符合题意；
． ， ， ，
，故本选项符合题意；
．根据 ， ， 不能推出 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
知识点二 等腰三角形性质及判定
1．等腰三角形的性质
性质：等腰三角形的两个底角相等；简述为：等边对等角.
推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
总结：
（1）等边对等角
①在同一个三角形中，将边相等转化为角相等；
②结合三角形内角和定理，解决三角形中有关角度的计算问题.
（2）三线合一
①证明角相等；②证明线段相等；③证明线段垂直.
2．等腰三角形的判定
①定义：两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边．
典例1
（2021春•罗湖区期中）如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，
点 为 的中点，连接 ，并且 ，则 的周长为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 平分 ，
， ，
点 为 的中点，，
的周长 ，
故选： ．
典例2
（2021春•南山区校级期中）一个等腰三角形的周长为 ，其中有一边的长为 ，则该等腰三角形的
腰长为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解： 是腰长时，底边为 ，
，
、 、 不能组成三角形；
是底边时，腰长为 ，
、 、 能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为 ．
故选： ．
典例3
（2020春•龙岗区校级期末）如图，在以 为底边的等腰 中， ， ，则 的面
积是
A．12 B．16 C．20 D．24
【解答】解： ， ，
，
是高，
，
，
，的面积 ，
故选： ．
知识点三 等边三角形性质及判定
1．等边三角形的定义
三边都相等的三角形是等边三角形．
2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．
注意：
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的性质，即也具有“三线合一”的性质；
（2）根据定义，等边三角形还有一个性质，等边三角形的三边都相等；
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
3．等边三角形的判定方法
①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
典例1
（2020春•顺德区校级期末）如图，在等边三角形 中， 是 边上的中点，延长 到点 ，使
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 是等边三角形， 是 中点，
， ，
，
，
，，
故选： ．
典例2
如图， 是等边 中 边上的点， ， ，则 的形状是
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
【解答】解： 为等边三角形
，
，
是等边三角形．
故选： ．
知识点四 含30°角的直角三角形的性质定理
性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
注意：
（1）此性质只适用于含30°角的直角三角形，而非一般的直角三角形或非直角三角形；
（2）应用时，要找准30°角所对的直角边，明确斜边.
典例1
（2020秋•天河区期末）在 中， ， ， ．则 的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ， ，
，
，．
故选： ．
典例2
（2021 春•罗湖区期中）如图 中， ， ， ， 为 的中点，
，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
是 的中点， ，
中， ，
， ，
的面积为 ．
故选： ．巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2021春•罗湖区校级期中）如图所示，在 中， ， 平分 交 于点 ，
于点 ，若 ，则下面结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，
，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
故选： ．2．（2021春•福田区校级期中）如图，在 和 中， ， ， 与
相交于点 ，与 相交于点 ， 与 相交于点 ， ．有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，
，
在 和 ，
，
，
． ．
由 知： ， ；
在 和 ，
，
（故④正确）；
，
由于条件不足，无法证得② ；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选： ．
3．（2020•龙岗区模拟）平面直角坐标系中，已知 、 ．若在坐标轴上取点 ，使 为等腰三角形，则满足条件的点 的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解： 点 、 的坐标分别为 、 ．
，
①若 ，以 为圆心， 为半径画弧与坐标轴有3个交点 点除外），即 、 、
，即满足 是等腰三角形的 点有3个；
②若 ，以 为圆心， 为半径画弧与坐标轴有2个交点，即满足 是等腰三角形的 点有2
个；
③若 ，作 的垂直平分线与坐标轴有2个交点，即满足 是等腰三角形的 点有2个．
综上所述：点 在坐标轴上， 是等腰三角形，符合条件的点 共有7个．
故选： ．
4．（2020春•钦北区期末）如图，在 中， ， ， ，将 沿 方
向向右平移得到 ．若四边形 的面积为8，则平移距离是
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：在 中， ，
，
沿 向右平移得到 ，
， ，
四边形 为平行四边形，
四边形 的面积等于8，
，即 ，
，
即平移距离等于2．
故选： ．
5．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在 中， ， 是 的垂直平分线，交 于点，交 于点 ，若 ， ，则 的面积为
A．32 B．16 C．64 D．128
【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
的面积 ，
故选： ．
6．图①是一块边长为1，周长记为 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后
得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形
纸板边长的 后，得图③，④， ，记第 块纸板的周长为 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，，
，
则 ．
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．（2021春•龙华区期中）已知实数 ， 满足 ，则以 ， 的值为两边长的等腰三角
形的周长是 ．
【解答】解： 实数 ， 满足 ，
， ．
、3、6不能组成三角形，
等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
等腰三角形周长为 ．
故答案为15．
8．（2019春•槐荫区期末）如图， ， ，若 为 ， ，则 ．
【解答】解：在 和 中 ，．
．
又 ，
．
．
， ，
为等边三角形．
．
故答案为：6．
9．（2020秋•罗湖区校级期末） 中， ， ， ，则 的长是 ．
【解答】解：在 中， ， ， ，
．
故答案为1．
10．（2019春•龙岗区期末）如图，已知 ， 与 之间的距离为3， 与 之间的距离为6， 、
、 分别经过等边三角形 的三个顶点，则此三角形的边长为 ．
【解答】解：如图所示，过 两点作直线的垂线，交直线 与 和
假设等边三角形边长为 ，由勾股定理得：
即解得 ．
解法二：过点 作 直线 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 直线 于 ．
由 ，可得 ， ，再根据 ，利用勾股定理求出 ，即可解决问题．
解法三：在直线 上取点 ， ，使得 ，过点 作 于 ，过点 作
于 ．
证明 ，可得结论．
故答案为
11．（2021春•宝安区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上的点，点E
为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2 ，∠DAE＝60°，则DE的长为 ．
【解答】解：如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G．∵△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．
∠B＝∠C＝30°．
在R△CEG中，∠C＝30°．
t
∴EG＝ CE＝ ，CG＝ ．
∴AG＝2 ﹣ ＝ ．
∵AF⊥BC．
∴∠AFC＝90°．
∴AF＝ AC＝ ．
∵∠DAE＝60°＝∠FAC．
∴∠DAF＝∠EAG．
∵∠AFD＝∠AGE＝90°．
∴△ADF∽△AGE．
∴ ＝ ，即 ＝ ．
∴DF＝ ．
由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝AF2+EF2．
∴EF2＝（ ）2+（ ）2﹣（ ）2＝4．
∴EF＝2．
DE＝2+ ＝
三、解答题（共2小题）
12．（2021 春•龙华区期中）已知：如图，在 中， ，且 ， 于 ，
交 的延长线于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．【解答】解：（1）证明： ，
，
，
，
，
是 的角平分线，
又 ， ，
．
（2） 是 的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，；
在 中，
， ，
，
，
．
13．已知：如图， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且 、
、 三点在一直线上， ， ．
（1）求证： ；
（2）求线段 的长．
【解答】（1）证明： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
．
（2）解：设 交 于 ．
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，．
