八年级数学·下 新课标[北师]
第一章 三角形的证明
1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.
3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判
定定理.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定
成立.
6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角
形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.
经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.
发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.
“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是
对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的
证明大有不同.
本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的
几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.
本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在
前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些
命题,教材力争将证明的思路展现出来.
教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这
些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明
与直观的探索联系起来,
本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命
题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作
为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推
理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.
此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.
一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材
还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能
力.【重点】
1.等腰三角形的性质.
2.等腰三角形的判定.
3.直角三角形的性质.
4.直角三角形的判定.
5.线段的垂直平分线的性质定理.
6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.
7.角平分线的性质定理.
8.角平分线的性质定理的逆定理.
【难点】
1.等腰三角形的性质的证明.
2.添加辅助线的方法.
3.勾股定理的证明.
4.勾股定理的逆定理的证明.
5.三线共点的证明方法.
6.用尺规作等腰三角形.
7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.
推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程
中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明
一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格
式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.
因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给
出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在
本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅
助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很
重要的,应注意引导和启发.
很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时
要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法
的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如
下:
1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境
不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在
循序渐进的过程中学习.
2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍
了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.
3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过
程即可,不必做更多要求.
4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就
会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学
生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高
作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际
问题及简单的证明与计算.
5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证
明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造
其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但
验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.1 等腰三角形 4课时
2 直角三角形 2课时
3 线段的垂直平分线 2课时
4 角平分线 2课时
回顾与思考 1课时
1 等腰三角形
1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.
2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.
3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.
4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.
5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.
6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且
能够应用其证明或解决有关的问题.
7.了解反证法的思想和方法.
1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受
数学的严谨性.
2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.
在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.
【重点】
1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.
2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.
【难点】
1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.
2.对反证法的认识和了解.第 课时
1.了解作为证明基础的几条公理的内容.
2.使学生经历“探索—— 发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性
质定理.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现
实生活的紧密联系.
【重点】 等腰三角形的性质及推论.
【难点】 命题的书写格式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习三角形全等的判定方法.
导入一:
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公
理进行证明.
已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.
证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),
又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换).
又∵BC=EF(已知),
∴△ABC≌△DEF(ASA).
[设计意图] 经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既
是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.
导入二:
我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角
形的一些结论.
我们已学过的部分基本事实:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?
[设计意图] 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.
一、等腰三角形的两底角相等
[过渡语] 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质
吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.
定理:等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为:等边对等角.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.
求证∠B=∠C.
〔解析〕 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全
等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.
证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD△≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
[设计意图] 通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自
然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.
二、三线合一
[过渡语] 在上图中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质,讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角,发现
等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,
∵AD是△ABC中的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
{AD=AD(公共边),
∠BAD=∠CAD,
AB=AC(已知),
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),
∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).
∴AD是BC边上的中线,
∠BDA=90°,
∴AD是BC边上的高,
∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
[设计意图] 教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的
规范起到引领作用.
[知识拓展] “等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等
腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延
伸.
如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两
组成立.
已知: ;
求证: ;
证明: .例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得
证.
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)
在△ABD和△ECD中,
{AD=ED,
∠3=∠4,
BD=CD,
∴△ABD≌△ECD(SAS).
∴AB=EC,∠1=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠E=∠2,
∴CE=AC,∴AC=AB.
∴AD⊥BC.
1.定理:等腰三角形的两底角相等.
2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条) ( )
A.9 B.7 C.6 D.5
解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.
2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是 ( )
A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线
C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线
D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.
3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为 .
解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.
4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为 .
解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.
答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.
解:设∠A=x°,
∵AD=BD,∴∠1=∠A.
∴∠2=∠1+∠A=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°.
由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180, 解得x=36.∴∠A的度数为36°.6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角
形,并说明这两个三角形全等的
理由.(保留作图痕迹,不写作法)
解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).
第1课时
一、等腰三角形的两底角相等
二、三线合一
一、教材作业
【必做题】
教材第3页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B= 度.
2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于 .
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA= 度.
4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF= 度.
5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为 .
【能力提升】
6.一个等边三角形的边长为a,它的高是 ( )
❑√3 1 ❑√3
A.❑√3a B. a C. a D. a
2 2 4
7.至少有两边相等的三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则( )A.l垂直AB
B.l平分AB
C.l垂直平分AB
D.l与AB的位置关系不能确定
9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P,P,P,P 四个点中找
1 2 3 4
出符合条件的点P,则点P有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【拓展探究】
11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.
12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.
【答案与解析】
1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)
2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)
3.15
4.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B=∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可
求出∠EDF=55°.)
5.8❑√2(解析:由勾股定理可求.)
6.B
7.B
8.D
9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P,P,P 均符合条件,共
1 3 4
3个.故选C.)
10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)
11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.
34
12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或 cm.
3
本节通过学生对已学知识的回顾,经历了 “探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学
生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从
整册教材的角度构想本课时的教学.在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据
班级学生具体状况进行适度地调整.
在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学
生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.
随堂练习(教材第3页)
1.提示:(1)70°. (2)36°.
2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形. (2)提
示:90°.
习题1.1(教材第4页)
1.已知 已知 公共边 SSS 全等三角形对应角相等
2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.
1
3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD= ×108°=54°.
2
4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE, ∠BED=∠CED, ∠EBD=∠ECD, ∠BDE=∠CDE, ∠ABC=∠ACB.
由图中易得△ABD≌△ACD, △ABE≌△ACE, △BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.
5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵△ABC
和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS或ASA).
6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..
在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证
明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到
了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.
本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由
于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.
解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,
∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,
∴∠BCD=120°,
∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,
∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,
∴∠DEF=60°.
如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AE∥BC,
∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.
∴∠DAE=∠EAC,
∴AE平分∠DAC.
第 课时
使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.
引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.
经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现
实生活的紧密联系.【重点】 等腰三角形的性质.
【难点】 命题书写的格式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习等腰三角形的性质.
导入一:
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你
的结论吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程.
还可以有哪些证明方法?
通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:
等腰三角形两底角的平分线相等;
等腰三角形两腰上的高相等;
等腰三角形两腰上的中线相等.
并对这些命题给出多种方法的证明.
[设计意图] 让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,
感受证明方法的多样性.
导入二:
在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),
观察后解答下列问题:
(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?
(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?
(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?
[设计意图] 通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质
的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.
一、等腰三角形的性质
[过渡语] 同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?
(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证:BD=CE.证法1:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
1 1
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB,
2 2
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
1 1
∴∠3= ∠ABC,∠4= ∠ACB,
2 2
∴∠3=∠4.
在△ABD和△ACE中,
∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过
程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证
明有困难的学生给予帮助和指导.
如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.
(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.
1 1
(1)如果∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?
3 3
1 1 1 1
(2)如果AD= AC,AE= AB,那么BD=CE吗?如果AD= AC,AE= AB呢?由此,你能得到什么结论?
2 2 3 3
解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
1 1
∵∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,
3 3
∴∠ABD=∠ACE.
在△BDA和△CEA中,
∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,
∴△BDA≌△CEA(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
由此我们可以发现:
1 1
在△ABC中,AB=AC,∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).
n n1 1 1 1
(2) 在△ABC中,AB=AC,如果AD= AC,AE= AB,那么BD=CE;如果AD= AC,AE= AB,那么BD=CE.由
2 2 3 3
1 1
此我们得到了一个结论:在△ABC中,AB=AC,AD= AC,AE= AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:
n n
1 1
∵AB=AC,AD= AC,AE= AB,
n n
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[设计意图] 提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.
二、等边三角形的性质
[过渡语] 同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?请同学们在等腰三角形性质定理的基础
上,思考等边三角形的特殊性质.
定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC(已知),
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B =∠C.
在△ABC中,
∵∠A+∠B +∠C=180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=60°.
[设计意图] 让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过
程.
1.等腰三角形两底角的平分线相等.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是 ( )
A.80° B.80°或20°
C.80°或50° D.20°
解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.
2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.11B.16 C.17 D.16或17
解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是 ( )A.∠B=48° B.∠AED=66°
C.∠A=84° D.∠B+∠C=96°
答案:B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B= .
解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.
5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边
形ABCD的周长为 .
答案:12
6.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD= .
解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.故
填18°.
第2课时
一、等腰三角形的性质.
二、等边三角形的性质.
一、教材作业
【必做题】
教材第6页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第7页习题1.2的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角 B.顶角的一半
C.顶角的2倍 D.底角的一半{2x- y=3,
2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组 则此等腰三角形的周长为 ( )
3x+2y=8.
A.5 B.4 C.3 D.5或4
3.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是 ( )
A.1 cm<AB<4 cm
B.5 cm<AB<10 cm
C.4 cm<AB<8 cm
D.4 cm<AB<10 cm
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,连接AD,AE,若只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条
件不能为 ( )
A.BD=CE B.AD=AE
C.DA=DE D.BE=CD
5.(2014·苏州中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
【能力提升】
6.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则下列四个结论正确的是 (
)
①点P在∠BAC的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR; ④△BRP≌△CSP.
A.全部正确 B.仅①和②正确
C.仅②③正确 D.仅①和③正确
7.在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:已知一个角是60°,则另两个角是唯一确定的(60°,60°),已知一个
角是90°,则另两个角也是唯一确定的(45°,45°),已知一个角是120°,则另两个角也是唯一确定的(30°,30°).由
此马彪同学得出结论:在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也是唯一确定的.马彪同学的
结论是 的.(填“正确”或“错误”)
8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE
的长度为 .
9.如图所示,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= .【拓展探究】
10.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.
【答案与解析】
1.B (解析:根据三角形内角和定理可求出.故选B.)
2.A(解析:先解方程组,求边长,要注意能否组成三角形.)
3.B(解析:根据三角形的三边关系.)
4.C(解析:根据三角形全等的判定定理.)
5.C(解析:因为AB=AC,D为BC中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°,所以∠C的度数为55°.)
6.A(提示:可证三角形全等.)
7.错误(解析:这个角有可能是顶角也有可能是底角.)
8.2
9.44°(解析:根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补求得∠ACD=44°.)
10.解:∵AD=DE=BE,∴∠EBD=∠EDB,∠A=∠DEA.∵BC=BD,∴∠C=∠CDB,∵∠DEA=∠EBD+∠EDB=∠A ,∴∠EBD=
1 3 3
∠A.又∠C=∠BDC=∠A+∠EBD= ∠A ,∴2× ∠A+∠A=180°,∴∠A=45°.
2 2 2
本课时关注了问题的变式与拓广,引导学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生
研究问题的能力、自主学习的能力,但也应注意根据学生的实际接受情况进行适度的调整.
因为学生自主探索的经验较少,因而对一些学生而言,完成这节课的全部教学任务可能时间偏紧,为此,
教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外.
在巩固等边三角形的性质的同时,进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,规范学生证明的书写格式.
随堂练习(教材第6页)1
1.解:如图所示,∵BD,CE分别是等边三角形ABC的中线,∴BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠1=∠2=
2
∠ABC=30°,∴∠BOE=∠1+∠2=60°.∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
2.解:由已知条件D,E是BC的三等分点,有BD=DE=EC,又∵△ADE是等边三角形,
∴AD=DE=AE,∠ADE=∠DAE=∠AED=60°,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB=30°,同理,得
∠EAC=∠C=30°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.
习题1.2(教材第7页)
1
1.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵BD=BC,∴∠BDC=∠C,∴∠ABC=∠BDC=∠C.又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=
2
1
∠ABC.在△DBC中,∠DBC+∠C+∠BDC=180°,∴ ∠ABC+∠ABC+∠ABC=180°,∴∠ABC=72°,∴∠A=180°-72°-
2
72°=36°.
2.证明:∵AB=AC,AE=AF,∴∠B=∠C,AB-AE=AC-AF,即EB=FC,又∵BD=DC,∴△EBD≌△FCD(SAS),∴DE=DF.
3.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠A=∠BCA.又∵AD=CE,∴△ADC≌△CEB(SAS),∴CD=BE.
AE AF 1
4.提示:(1)可证明△BEC≌△DFC,从而得到EC=FC. (2)相等.相等.如果 = = (n≥1),那么EC=FC.
AB AD n
(3)如∠DFC=∠BEC或∠BCE=∠DCF等.
如图所示,已知:l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,求
∠α的度数.
解:过点C作CE∥直线m,(如图所示)
∵l∥m,∴l∥m∥CE,
∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°.
在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,
∴∠α=40°.第 课时
1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.
2.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.
探索等腰三角形的判定定理.
培养学生的逆向思维能力.
【重点】 等腰三角形的判定定理.
【难点】 反证法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上节学习的等腰三角形中相等的线段.
导入一:
师:请同学们回顾一下,前面我们学习了等腰三角形的哪些性质?
生1:等腰三角形两底角相等,可以简述为:“等边对等角”.
生2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为:“三线合一”.
生3:等腰三角形两腰上的高线相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等.
师:非常好!同学们概括得很全面.那么对于等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等,这个命题的
条件和结论分别是什么?
生:条件是等腰三角形的两个底角.结论是两底角相等.
师:我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所
对的边也相等,对吗?
生:完全成立,可以证明出来.
师:这就是我们这节课要学习的内容.
[设计意图] 设计成连续的问题是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课
内容有效地检测手段.导入二:
下列问题,要求学生独立思考后再进行交流.
【问题1】 等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?
【问题2】 我们是如何证明上述定理的?
【问题3】 我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这
两个角所对的边也相等,对吗?
[设计意图] 引导学生做逆向思考:“如果将等腰三角形的性质反过来,那么它是否依旧成立?”自然引
入新课.
一、等腰三角形的判定定理
[过渡语] 以前我们通过改变问题的条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此
之外,我们还可以交换命题的条件和结论“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.比如“等
边对等角”,反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们一起证明这个结论.先
请同学们画出图形,写出已知、求证.
证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知:如图所示,在△ABC中,∠B=∠C.
求证AB=AC.
师:同学们完成得很好,下面怎样来完成证明过程呢?(停顿一下,给学生思考时间.)同学们回想一下,我们
是怎样证明“等边对等角的”?
生1:作辅助线构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.
生2:类比前面定理的证明的方法,猜想通过作BC边上的中线,或作∠A的平分线,或作BC边上的高,都可
以把△ABC分成两个全等的三角形.
师:很好!同学们可在练习本上尝试一下是否可行,我现在把大家分成三大组,请写出三种证明过程来.
【学生活动】 分三组,用三种作辅助线的方法写过程.
生(举手):老师,不对,我们没法做.我们组发现,如果作BC边上的中线,虽然把△ABC分成了两个三角形,但
无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分
别相等,这是“SSA”,是不能够判定两个三角形全等的.其他两组的方法是可行的.(全班恍然大悟)
师:哈哈!你们组思考得很认真.
生1:证明:作AD⊥BC于点D.(如图所示)
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
生2:作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
从而得出等腰三角形的判定定理:定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为:等角对等边.
几何语言:
在△ABC中,∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC(等角对等边).
(教材例2)已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.
证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,
∴ △ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴AE=DE(等角对等边).
∴ △AED是等腰三角形.
[设计意图] 引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线,使学生思考证明“等角对
等边”既可以作底边上的高线也可以作顶角的平分线,但不适合作底边上的中线.同时,加强规范学生的书
写格式,鼓励学生一题多解.
二、反证法
[过渡语] 如果否定命题的条件,是否也能获得一个数学结论?我们一起来“想一想”.
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
有学生提出:“认为这个结论是成立的.因为画了几个三角形,观察并测量发现,如果两个角不相等,它们
所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样证明却很难,像这种从正面入手很难证明的结论,我们
有没有别的证明思路和方法呢?
我们来看一位同学的想法:
如图所示,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此
AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗?
这位同学在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相
矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
(教材例3)用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.
已知:△ABC.
求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.
证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,
于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以,一个三角形中不能有两个角是直角.
[设计意图] 让学生明确当用综合法证明命题行不通时,我们要有探究一种新方法的欲望,结合教材中
小明的想法,初步感受反证法,体会反证法在证明中出乎意料的作用.
[知识拓展] 等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问题时,等腰三角形底边
上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.
1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)2.反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结
果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
1.已知:如图所示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD等于 ( )
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cmD.2 cm
答案:A
2.(2015·西安中考)如图所示,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取
BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析:∵△ABC为等腰三角形,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD=36°,∴△ABD为等腰三角形,△BCD为等腰三角形.可得BE=BC=BD,∴△BDE为等腰三角形.
∵∠AED=108°,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴△AED为等腰三角形.故选D.
3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,
那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;
④BF=CF.其中正确的有 ( )
A.①②③ B.①②③④
C.①② D.①
解析:可证明△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正确.故选A.
4.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是 .
答案:假设三角形的三个外角中,有两个锐角
5.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,则△ABC的边一定满足 .
解析:根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填AB=AC.
6.在△ABC中,∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD= .
解析:可证△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2 cm.故填2 cm.
7.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.
证明:连接BC,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.8.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三
角形.
证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.
∵DF⊥AC,
∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.
∴∠FEC=∠D.
∵∠FEC=∠BED,
∴∠BED=∠D.
∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.
第3课时
一、等腰三角形的判定定理
二、反证法
一、教材作业
【必做题】
教材第9页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第9页习题1.3的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于 ( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
2.在等腰梯形ABCD中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,则图中的等腰三角形有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图所示,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,BC=8 cm,CD=6 cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于
( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
4.下面三角形:
①有两个角为60°的三角形;
②三个外角都相等的三角形;
③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形;
④有一个角为60°的等腰三角形.
其中是等边三角形的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【能力提升】
5.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时,第一步应假设 .
6.等腰三角形的顶角α>90°,如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形,那
么α的度数为 .
7.如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
(1)△ABC≌△ADC;
(2)BO=DO.
8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,如图所示,写出已知、
求证.她们对各自所作的辅助线描述如下:
文文:过点A作BC的中垂线AD,垂足为D.
彬彬:作△ABC的角平分线AD.
数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要改正.”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;
(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.
【拓展探究】
9.如图所示,D为△ABC的边AB的延长线上一点,过点D作DF⊥AC,垂足为F,交BC于E,且BD=BE,求证
△ABC是等腰三角形.
10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上.CE =BC,过点E作AC的垂线,交CD的延
长线于点F,求证AB=FC.【答案与解析】
1.D(解析:由AD=BD,得∠A=∠ABD,所以∠BDC=2∠A,由BD=BC,得∠C=∠BDC=2∠A.由AB=AC,得
∠ABC=∠C=2∠A,由三角形内角和定理,得∠A+2∠A+2∠A=180°,即∠A=36°.故选D.)
2.D(解析:△ABD,△ACD,△AOD,△BOC都是等腰三角形,共4个.故选D.)
3.A(解析:由DE平分∠ADC,得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC,得∠ADE=∠CED,∴∠CED=∠CDE,∴EC=DC=6
cm,∴BE=BC-EC=8-6=2(cm).故选A.)
4.B(解析:由等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形,③为等腰三角形.)
5.三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)
6.108°(解析:画出图形,利用三角形内角和定理求解.)
7.证明:(1)在△ABC和△ADC中,∵∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,∴△ABC≌△ADC. (2)由(1)知
AB=AD,∵∠1=∠2,AO=AO,∴△ABO≌△ADO,∴OB=OD.
8.解:(1)过点A作BC的垂线,不一定过BC的中点,如果连接点A和BC的中点D,则AD与BC不一定垂直.
(2)已知:△ABC,∠B=∠C.求证:AB=AC.证明:作△ABC的角平分线AD,则
∠BAD=∠CAD,∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC.
9.证明:∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°,∴∠A+∠D=90°,∠C+∠1=90°,∴∠A+∠D=∠C+∠1.∵BD=BE,∴∠2=∠D(等
边对等角).∵∠1=∠2,∴∠1=∠D,∴∠A+∠D=∠C+∠D,∴∠A=∠C,∴AB=BC(等角对等边).∴△ABC是等腰三角形.
10.证明:∵FE⊥AC,∠ACB=90°,∴∠FEC=∠ACB=90°,∴∠F+∠ECF=90°.∵CD⊥AB,∴∠A+∠ECF=90°,∴∠A=∠F.在
△ABC和△FCE中,∠A=∠F,∠ACB=∠FEC,BC=CE,∴△ABC≌△FCE,∴AB=FC.
学生在本课时的数学试验中,体验到学习数学的乐趣;在独立思考中,体验到数学知识的奥妙;在合作交
流中,体验同学之间的友谊;在尝试完成例题中,体验成功的喜悦.
学生思考问题的积极性不高,好多时候在探究时没有动手与动脑相结合,光看不动,很多结论都没有自己
探索出来.
课堂上出现新的情况、新的问题不能按计划进行时,要随时调整.虽然学生自主探究过程会影响教学进
度,但经历了知识的形成和发展过程,能达到更深刻地理解,这也是平时教学时要注意的地方.同时,课堂练习
也是非常重要的,因此再教时应该加强习题的演练.
随堂练习(教材第9页)
1.解:△BDE是等腰三角形.理由如下:∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,又∵BD平分
∠ABC,∴∠DBC=∠EBD,∴∠EDB=∠EBD.∴BE=ED,即△ BDE是等腰三角形.1
2.证明:假设这五个正数都小于 ,则这五个正数的和小于1,这与已知五个正数的和等于1相矛盾,因此假设
5
1
不成立,所以这五个正数中至少有一个大于或等于 .
5
习题1.3(教材第9页)
1.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
2.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵EP⊥BC,∴△FBP和△EPC是直角三角形,在Rt△FBP中,∠B+∠BFP=90°,同理在
Rt△EPC中,∠C+∠E=90°,∴∠BFP=∠E,又∵∠BFP=∠EFA,∴∠EFA=∠E,∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形.
3.提示:(1)这样的等腰三角形有两个,一个是以∠α为顶角,另一个是以∠α为底角. (2)这样的等腰三角形只
有一个,是以∠α为顶角的等腰三角形.
4.解:∵∠NBC=84°,∠NAC=42°,∴∠BCA=42°.∴BC=BA=18×10=180(kn).∴从B处到灯塔C的距离是180 kn.
通过前面几课时的学习,学生已经掌握了等腰三角形的相关性质,并知道了用综合法证明命题的基本要
求和步骤.为学习等腰三角形的判定定理奠定了基础.
本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理,在复习性质定理的基础上,引导学生反过来思考、猜
想新的命题,并进行证明.这样可以提高学生的逆向思维能力,同时引入反证法的基本证明思路,学习与运用
反证法也成为本课时的教学任务之一.
如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AC上取一点P,过P点作EF⊥BC,交BA的延长线于点E,垂足
为点F.求证AE=AP.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵∠B+∠E=90°,∴∠C+∠E=90°.
∵∠FPC+∠C=90°,∴∠E=∠FPC.
∵∠FPC=∠APE,∴∠E=∠APE,
∴AE=AP.
第 课时
1.进一步学习证明的基本步骤和书写格式.2.掌握与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
经历作辅助线的过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养学生养成主动探究的习惯,进一步体会数学
与现实生活的紧密联系.
【重点】 等边三角形的判定定理.
【难点】 直角三角形的性质定理.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习等腰三角形的判定定理和反证法.
导入一:
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?又如何判别一个三角形是等边三角形呢?
生1:等腰三角形已经有两条边相等,我认为只要腰和底边相等,此时的等腰三角形就是等边三角形.
生2:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,
此时的等腰三角形就是等边三角形.
(此时,部分同学同意上述看法,部分同学不同意,引起激烈地争论.教师可请一名学生充分发表自己的看
法)
生3:我不同意第二位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,
三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知三角形是等腰三角形,满足什么条件时
是等边三角形”,我觉得给的条件太多,浪费!
师:(1)给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?同学们可在小组内交流自
己的看法.
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴
交流.
[设计意图] 设计成问题串是为引出等边三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课内容
有效地检测手段.
导入二:
1.已知:∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E.
(1)找出图中的等腰三角形;
(2)找出BD,CE,DE之间存在的数量关系;(3)证明以上结论.
2.复习关于反证法的相关知识.
用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
证明:假设在一个三角形中没有一个内角小于或等于60°,即都大于60°.
那么,这个三角形的三个内角之和就会大于180°.
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.
[设计意图] 通过对上节课内容的复习,加深了学生对知识的掌握,同时为新知识的引入做好了准备.
一、证明定理
思路一
[过渡语] 同学们,下面我们来研究如何判定一个三角形是等边三角形?
教师概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:
性质 判定的条件
等边对等角 等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角
等腰三角形
的平分线、底边上的中线及底边 有两个角相等
(含等边三
上的高线互相重合
角形)
等边三角形的三个内角都相等,并 三个角都相等的三
且每个角都等于60° 角形是等边三角形
[学生总结]
1.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形;
2.底角是60°的等腰三角形是等边三角形;
3.三个角都相等的三角形是等边三角形;
4.三条边都相等的三角形是等边三角形.
[教师总结] 得到下列定理.
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的直角三角形:有一个角等于30°的直角三角形.拿出
三角尺,做一做:
用两个含30°角的全等的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发
现什么结论?说说你的理由.
总结出定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
1
求证BC= AB.
2
〔解析〕 从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠ACD=90°,∠B=60°.
∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
∴AB=BD=AD.
1 1
∴BC= BD= AB.
2 2
[设计意图] 让学生经历定理的探究证明过程,提高学生的自主探究能力.
思路二
[过渡语] 同学们,你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你的证明思路是什么?
定理:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,且有一个角等于60°.求证△ABC是等边三角形.
证明:当∠A=60°时,
∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,
∴△ABC是等边三角形;
当∠B=60°时,
∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,
∴∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.
用两个含30°角的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么
结论?说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?能证明你的结论吗?
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
1
求证BC= AB.
2
〔解析〕 从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠ACD=90°,∠B=60°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
∴AB=BD=AD.
1 1
∴BC= BD= AB.
2 2
[设计意图] 通过严格的推理证明,让学生掌握几何证明题的步骤,并进一步培养学生的合情推理意识,
主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.二、例题讲解
[过渡语] 前面我们学习了定理,下面我们看定理的一个应用.
(教材例4)求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.
1
求证CD= AB.
2
证明:在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=15°,
∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB上的高,
∴∠ADC=90°.
1
∴CD= AC (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
2
1
∴CD= AB.
2
1.等边三角形的判定定理
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
2.直角三角形的性质定理
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为 ( )
A.120° B.130° C.150° D.160°
答案:A
2.等腰三角形的周长为80 cm,若以它的底边为边的等边三角形的周长为30 cm,则该等腰三角形的腰长
为 ( )
A.25 cm B.35 cm C.30 cm D.40 cm
解析:根据等边三角形三边相等知底边长为10 cm.由等腰三角形两腰相等知一腰长为(80-
10)÷2=35(cm).故选B.
3.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一
个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 (
)
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
解析:根据等边三角形的判定方法知①②③④均正确.故选D.
4.如图所示,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是 ( )
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形
D.不等边三角形
解析:可证△ADF≌△BED≌△CFE,得DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.故选A.
第4课时
一、证明定理
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第12页随堂练习.
【选做题】
教材第12页习题1.4的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若三角形中,三条中线都垂直于所对的边,则此三角形是 ( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
2.下列说法错误的是 ( )
A.等边三角形是等腰三角形
B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
D.有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形
【能力提升】
3.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B= .
4.已知AD是等边三角形ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE= .
5.在△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2 cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是 .
6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,P 与P关于OB对称,P 与P关于OA对称,则P,O,P 三点所构成的
1 2 1 2
三角形是 .
【拓展探究】
7.如图所示,P,Q是△ABC边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
8.如图所示,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在AB,BC,CA的延长线上,且BD=CE=AF.△DEF也是等边三角
形吗?为什么?
9.如图所示,AD=BD=CD,试猜想△ABC是直角三角形吗?为什么?你从中能得到什么结论?【答案与解析】
1.D
2.C(解析:等腰三角形的顶角和底角不一定相等.)
3.60°(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠A=∠C,∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.故填60°.)
4.60°
5.1 cm(解析:根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠DAC=30°,根据在直角三角形中如
果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半知CD=1 cm.)
6.等边三角形(解析:根据对称可知OP=OP=OP,∠POP=60°,所以△POP 是等边三角形.)
1 2 1 2 1 2
7.解:∵PA=PQ=AQ(已知),∴△APQ是等边三角形,∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60°(等边三角形的三个内角都等于
60°).∵PA=PB,∴∠B=∠PAB(等边对等角).又∵∠B+∠PAB=60°,∴∠PBA=∠PAB=30°,同理
∠QAC=30°.∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.
8.解:△DEF是等边三角形.理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=CA,∴∠DBE=∠ECF=∠DAF=120°,∵BD=CE=AF,∴AD=BE=CF.∴△BDE≌△
AFD≌△CEF,∴DE=FD=EF,∴△DEF是等边三角形.
9.解:△ABC是直角三角形.理由:∵AD=BD=CD,∴∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD.∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.故△ABC是直角三角形.从中得到结论:如果三角形一边上的中线等于这
条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
本节课难点在于 “在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,由
于设计了三角尺操作的实践活动,课堂上学生的思维非常活跃,方法多样,取得较好的效果.
在教学过程中,语言不够简练,尤其是对一些数学术语把握得不够准确,导致课堂教学时间不充足.
在课堂教学设计中,让学生在“动手操作”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知
结构,从而使课堂教学真正落实到学生的自主探究上.
随堂练习(教材第12页)
解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,∴∠BCD=∠A=30°.∵BD=1,∴BC=2,∴AB=4,∴AD=AB-BD=3.
习题1.4(教材第12页)
1.证明:∵△ABC是等边三角形,且DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°,又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角
形.1 1 1 1 ( 1)
2.提示:BC= AB= ×7.4=3.7(m),DE= AD= ×
7.4×
=1.85(m).
2 2 2 2 2
3.(1)提示:△DEF是等边三角形.点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点.证明略. (2)解:△ABC是等边三角形.证明
1 1 1
如下:∵A,B,C分别是EF,ED,FD的中点,∴AB= FD,AC= ED,BC= EF.又∵△DEF是等边三角形,
2 2 2
∴FD=ED=EF,∴AB=AC=BC,即△ABC是等边三角形.
1
4.解:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB.求证∠BAC=30°.证明如下:延长BC至点D,使CD=BC,连接
2
1
AD.∵BC= AB,BC=CD,∴BD=AB.又∵AC⊥BD且AC平分BD,∴AB=AD,∴AB=BD=AD,即△ABD是等边三角形,
2
∴∠B=60°,∴在Rt△ABC中,∠BAC=30°.
5.解:∠ADG=15°,证明如下:A'D=AD=2DC,在Rt△A'DC中,利用“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边
1
的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”可证明∠DA'C=30°,∴∠ADA'=30°,∴∠ADG=∠A'DG=
2
∠ADA'=15°.
在前面三个课时中,学生已经经历了独立探索发现定理的过程,并能基本规范地书写相关命题的证明过
程,这些都为本课时进一步探索发现相关定理提供了知识基础和活动经验.
因此,本节课可以更多地让学生自主探索.但第一个定理的证明中,需要分类讨论,因此注意揭示其中的
分类讨论思想;第二个定理的结论比较特殊,直接从条件出发,学生一般很难能得到这个结论.因此,教材中设
计了一个学生活动,在活动的基础上发现了特殊的结论,这实际上也是一种数学发现的方法,因此也应注意让
学生体会.
已知:如图所示,在等边三角形ABC的边AC上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求
证BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.∵D为AC的中点,∴∠DBC=30°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.
∵∠CDE+∠E=60°,
∴∠E=30°,
∴∠DBC=∠E,∴BD=DE.
2 直角三角形
1.理解并能说出勾股定理及其逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理.
2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法,理解并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理的证明过程,进
一步理解证明的必要性.
3.结合具体例子了解互逆命题的意义,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
4.能够应用勾股定理及其逆定理、“HL”定理证明或者解决相关问题.
在经历探究勾股定理及其逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理的证明过程中,培养学生的数学
语言表达能力.
在数学活动中,体会获得成功的喜悦,建立学习的自信心.积极参与数学实践活动,对数学结论的获得产
生好奇心和求知欲.
【重点】
1.运用勾股定理、勾股定理的逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理证明或者解决有关的问题.
2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.
【难点】
1.对勾股定理及其逆定理的证明方法的理解.
2.对“如果……那么……”形式的逆命题的叙述.
第 课时
1.掌握勾股定理及其逆定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
进一步掌握推理证明的方法,提高演绎推理能力和思维能力.
【重点】
1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.
2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
【难点】 勾股定理及其逆定理的证明方法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习直角三角形的有关性质.
导入一:
【问题】 如图所示的是一个直角三角形房梁,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10
cm,CB⊥AB,BC⊥AC,垂足分别是B,C,那么BC的长是多少? BC 的长呢?
1 1 1 1 1 1 1 1
解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm,
1 1
∴BC= AB= ×10=5(cm).
2 2
∵CB⊥AB,∴∠B+∠BCB=90°.
1 1
∵∠A+∠B=90°,
∴∠BCB =∠A=30°.
1
在Rt△BCB 中,
1
1 1
BB= BC= ×5= 2.5(cm).
1 2 2
∴AB=AB-BB=10-2.5=7.5(cm).
1 1
∵在Rt△CAB 中,∠A=30°,
1 1
1 1
∴BC = AB= × 7.5=3.75(cm).
1 1 2 1 2
通过这道例题我们复习了直角三角形的有关结论.我们记得教材中曾经利用数方格和割补图形的方法
得到了勾股定理.如果利用基本事实和已有定理,那么我们能够证明勾股定理吗?
[设计意图] 通过复习特殊直角三角形的相关性质过渡到“一般的直角三角形具有什么样的性质”,
从而引入勾股定理及其证明.导入二:
1.让学生在练习本上画出他们观察到的生活中的直角三角形,并分别说出它们的作用.
2.高度评价学生的参与热情和学习成果,激励学生继续努力.可以把其中很有创意的发现以该学生的名
字命名,以此激发学生学习的积极性.
3.总结学生的“成果”,启发学生寻找直角三角形的共性.
[设计意图] 通过学生的动手操作活动,激发学生的学习兴趣,并自然地引入课题.
一、勾股定理及其逆定理
思路一
[过渡语] 请同学们打开教材第16页,阅读“读一读”,了解一下利用基本事实和已有定理证明勾股定
理的方法.
1.勾股定理
已知:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.
求证a2+b2=c2.
证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠BAC,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.
∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).
∴四边形ACDE是直角梯形.
1 1
∴S = (a+b)(a+b)= (a+b)2.
梯形ACDE 2 2
∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°.
∵AB=BE.
1
∴S = c2.
△ABE 2
∵S =S +S +S ,
梯形ACDE △ABE △ABC △BED
1 1 1 1
∴ (a+b) 2= c2 + ab + ab,
2 2 2 2
1 1 1
即 a2 + ab+ b2= c2+ab,
2 2 2
∴a2+b2=c2.
教师用多媒体课件演示勾股定理的条件和结论,并强调:
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的逆定理
反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三
角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗?
师生共同来完成.已知:如图所示,在△ABC中,AB2+AC2=BC2.
求证△ABC是直角三角形.
〔解析〕 要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A
与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题就可证.
证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,
∴BC2=B'C'2,
∴BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),
∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).
因此,△ABC是直角三角形.
定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
[设计意图] 在教师的引导下,先写出证明过程后,再逆向回顾证明过程,并强化理解勾股定理的逆定理.
思路二
[过渡语] 同学们,我们刚刚研究了直角三角形的性质和勾股定理,下面我们来研究如何证明勾股定理.
1.启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论,让学生画出
一个直角三角形并测量三边长,验证结论的正确性.
已知:在△AEH中,∠A=90°,AE=a,AH=b,HE=c.
求证a2+b2=c2.
1
证明:以a,b 为直角边,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积都等于 ab. 把
2
这四个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在
一条直线上.
∵ Rt△HAE ≌Rt△EBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AEH+∠BEF=90°.
∴∠HEF=180°-90°=90°.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形,且它的面积等于c2.
∵Rt△GDH≌Rt△HAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90°,
∴∠EHA+∠GHD=90°.
又∵∠GHE=90°,
∴∠DHA=90°+90°=180°.∴D,H,A三点在一条直线上.
∴四边形ABCD是一个边长为(a+b)的正方形,它的面积等于(a+b)2.
1
∴(a+b)2=4× ab+c2.
2
∴a2+b2=c2.
2.讲解与勾股定理有关的数学史,让学生发现勾股定理的逆定理.
利用学生画的直角三角形提出问题:你如何证明你画的就是直角三角形呢? 引导学生思考勾股定理的
反面:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是不是直角三角形?
已知:如图所示.在△ABC中,AB2+AC2=BC2.
求证△ABC是直角三角形.
〔解析〕 要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A
与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题可证.
证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,
∴BC2=B'C'2,
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),
∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).
因此,△ABC是直角三角形.
定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
[设计意图] 借此机会向学生说明判断一个命题的真假时,一定要通过严格的逻辑证明来说明,不能凭
直观猜测,在证明的过程中要做到步步有据,说理充分,培养学生的理性思维.
二、互逆命题
[过渡语] 观察勾股定理及其逆定理这两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习
中还有类似的命题吗?
通过观察,学生会发现:
上面两个定理的条件和结论互换了位置,即第一个定理的条件是第二个定理的结论,第一个定理的结论
是第二个定理的条件.
这样的情况,在前面也遇到过.例如“两直线平行,内错角相等”,交换条件和结论就得到“内错角相等,
两直线平行”.又如“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.交换
此定理的条件和结论就得到“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐
角等于30°”.
观察下面三组命题:学生以分组讨论的形式进行,最后在教师的引导下得出命题与其逆命题的区别与联
系:上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.
不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.
由此,我们得到逆命题的定义:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆
命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
上面的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学
们判断每组原命题及其逆命题的真假.
在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.
在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.
在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.
请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题?它们都是真命题吗?
从而引导学生思考:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明.
[教师点评] 一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,如果一个定理的逆命题经过证明是真命
题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理.
能举例说出我们已学过的互逆定理吗?
如“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”;“全等三角形的对应边相等”和“三边
对应相等的三角形全等”;“等边对等角”和“等角对等边”等.
这节课,我们学习了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合具本实例了解逆命题的概念,会识别两个互
逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,若b=5,c=13,则a= ;若a=8,b=6,则c= .
答案:12 10
2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD为它的高线,若它的边长为2,则它的周长为 ,AD=
,BD∶AD∶AB= ∶ ∶ .
答案:6 ❑√3 1 ❑√3 2
3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC= ;若AC=2,则AB= ,AC∶AB=
∶ .
答案:2❑√2 ❑√2 ❑√2 1
4.如图所示,在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,则∠B= ;若∠A=30°,AB=6,则BC= .1
解析:根据三角形内角和定理,得∠B=60°,由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,得BC=
2
AB=3.
答案:60° 3
5.(2015·潜江中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好
落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE= .
解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,∴∠B=64°.将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E
处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°,∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°,故填71°.
6.在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,AB=10 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,
求DE的长.
解:设DE=x,则DE=BE=x cm,AE=(10-x)cm.∠DAE=90°,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,
所以 x2=42+(10-x)2,
解得x=5.8,所以DE=5.8 cm.
7.AB是一段长12 m的墙,用18 m长的网围成一个如图所示的鸡舍,求鸡舍的面积.
解:设BC=x m,则AC=18-x.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC2=AB2+BC2,
所以 (18-x)2=122+x2,解得x=5,
所以BC=5 m,
1 1
所以S = BC×AB= ×5×12=30(m2).
△ABC 2 2
第1课时
一、勾股定理及其逆定理
二、互逆命题
一、教材作业
【必做题】
教材第16页随堂练习的1,2,3题.
【选做题】
教材第17页习题1.5的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】1.(2015·淮安中考)下列四组线段中,能组成直角三角形的是 ( )
A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4
C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5
2.如图所示的是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形
A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是 ( )
A.13 B.26 C.47 D.94
3.(2015·北京中考)如图所示,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为
1.2 km,则M,C两点间的距离为 ( )
A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km
4.一个等腰三角形的腰长为17,底边长为16,则该等腰三角形的面积为 ( )
A.112 B.120 C.128 D.136
5.如图所示,将长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于E,AD=16,AB=8,则DE的长为
( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【能力提升】
6.如图所示,以Rt△ABC的三条边为边长分别向外作正方形,其面积分别为S,S,S,且S=4,S=8,则S=
1 2 3 1 2 3
;
7.直角三角形两条直角边的长分别为6,8,则斜边上的高为 .
8.一个长方形的长为12 cm,对角线长为13 cm,则该长方形的周长为 .
9.如图所示,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B的距离为200 m,结果他在
水中实际游了520 m,则该河的宽度为 .
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC∶AC=3∶4,则BC= .
【拓展探究】
11.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60 m,BC=84 m,AE=100 m,则这条小路的面积是多
少?12.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,求它底边上的高.
【答案与解析】
1.D(解析:因为32+42=52.故选D.)
2.C(解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A,B的面积和S=34,正方形C,D的面积和为S=13,最大正方
1 2
形E的面积为S=S+S=47.)
3 1 2
3.D(解析:由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知CM=AM=BM=1.2 km.故选D.)
4.B
5.B (解析:先根据翻折变换的性质得出CD=C'D,∠C=∠C'=90°,再设DE=x,则AE=16-x,由三角形全等的判定定
理得出Rt△ABE≌Rt△C'DE,可得出BE=DE=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出DE的
长.)
6.12(解析:由正方形的面积公式可知S=BC2,S=AC2,S=AB2,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即
1 2 3
S+S=S,由此可求S.)
1 2 3 3
7.4.8(解析:根据勾股定理求出斜边的长,再根据面积求出斜边上的高.)
8.34 cm (解析:结合图形,易求得长方形的宽为5 cm,然后求解.)
9.480 m(提示:利用勾股定理求解.)
10.9(提示:设BC=3x,AC=4x,又其斜边AB=15,再根据勾股定理即可得出答案.)
11.解:在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2 ,所以1002=602+BE2,解得BE=80 m,所以CE=BC-BE=4 m.这条小路的面积
=EC×AB=4×60=240(m2).
12.解:作等腰三角形ABC,AD是BC边上的高,所以BD=CD=3.在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2 ,所以52=AD2+32,
解得AD=4.故底边上的高为4.
通过对勾股定理的学习感受“数形结合”和“转化”的数学思想,体会数学的应用价值.
学生对于原命题和逆命题中条件和结论的把握不是十分准确,部分学生在语言表述方面仍然有些欠缺.
要使每一个学生都能经历证明的过程,为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法,体会证明
的必要性.另外引导学生探索对于命题成立的证明方法,提升他们的演绎推理能力.
随堂练习(教材第16页)1.∵∠A=∠B=45°,BC=3,∴AC=BC=3,∠C=90°,∴AB=❑√32+32=3❑√2.
1
2.证明:在△ABC中,∵AD是BC边上的中线,∴BD=DC= BC=5.又∵AD=12,AB=13,∴AB2=AD2+BD2,∴△ABD是
2
直角三角形,∴AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC.
3.解:(1)原命题是真命题.逆命题:多边形是四边形.逆命题是假命题. (2)原命题是真命题.逆命题:同旁内角互
补,两直线平行.逆命题是真命题. (3)原命题是假命题.逆命题:如果a=0,b=0,那么ab=0.逆命题是真命题.
习题1.5(教材第17页)
1.解:过点E作EF∥AB,交AD于点F.∵AB∥CD,EF∥AB,∴AB∥EF∥DC,∴∠BAE=∠AEF=25°,同理
∠FED=∠EDC=65°,∴∠AED=∠AEF+∠FED=25°+65°=90°,∴△AED是直角三角形,又∵AE=2,ED=3,∴根据勾股
定理得AD=❑√22+32=❑√13.
1 1
2.解:∵BC⊥AC,∴∠BCA=90°,又∵∠A=30°,AB=10 m,∴在Rt△ACB中,BC= AB= ×10=5(m),根据勾股定理,可
2 2
1 1 5
得AC=❑√102-52=5❑√3(m),在Rt△ABC中,同理BC= AC= ×5❑√3= ❑√3(m),∴AB=❑√AC2-B C2 =
1 1 2 2 2 1 1
❑ √ (5❑√3)2- (5 ❑√3 ) 2 = 15 (m).又∵在Rt△ABC 中,∠A=30°,∴BC= 1 AB= 1 × 15 = 15 (m).
2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 4
1
3.解:由已知条件得在Rt△BED中,∠BDE=30°,∴BE= BD,又∵ED=30 m,根据勾股定理得BE2+ED2=BD2,即
2
(1 ) 2 1
BD +302=BD2,解得BD=20❑√3,∴BE= ×20❑√3=10❑√3,∴大树的高度约为10❑√3+1.52≈18.8(m).
2 2
4.解:没有一条边线为东西向.
5.解:把侧面A'ABB'和侧面B'BCC'展开成平面图形,AC'的长是❑√82+102=2❑√41(cm).把侧面A'ABB'和上底
面A'B'C'D'展开成平面图形,AC'的长是❑√52+132=❑√194(cm).因为2❑√41<❑√194,所以爬行的最短路径
的长是2❑√41 cm.
如图所示,在等腰直角三角形OAA 中,∠OAA=90°,OA=1,以OA 为直角边作等腰直角三角形
1 1 1
OAA,以OA 为直角边作等腰直角三角形OAA,…,则OA 的长度为 .
1 2 2 2 3 4〔解析〕 ∵△OAA 为等腰直角三角形,OA=1,∴AA=OA=1,OA=❑√2OA=❑√2.∵△OAA 为等腰直角三角
1 1 1 1 2
形,∴AA=OA=❑√2,OA=❑√2OA=2.∵△OAA 为等腰直角三角形,∴AA=OA=2,OA=❑√2OA=2❑√2.∵△OAA
1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 4
为等腰直角三角形,∴AA=OA=2❑√2,OA=❑√2OA=4.故填4.
3 4 3 4 3
若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.
解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∴a=3,b=4,c=5.
∵32+42=52,
∴△ABC是直角三角形.
如图所示,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处
测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B处,此时再测得该岛在北偏东30°的方向上,
已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由.
解:该货船无触礁的危险.理由如下:
过点C作CD⊥AD于点D.(如图所示)
∵∠EAF=60°,∠FBC=30°,
∴∠CAB=30°,∠CBD=60°.
∴在Rt△CBD中,CD=❑√3BD.
∴在Rt△CAD中,AD=❑√3CD=3BD=24×0.5+BD,
∴BD=6.∴CD=6❑√3.
∵6❑√3>9,
∴该货船继续向正东方向航行,无触礁危险.
第 课时
1.能够证明直角三角形全等的“HL”定理,进一步理解证明的必要性.
2.利用“HL”定理解决实际问题.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
进一步掌握推理证明的方法,提升演绎推理能力和思维能力.【重点】 直角三角形全等的判定方法.
【难点】 直角三角形全等的判定的应用.
【教师准备】 多媒体课件,两个全等的直角三角形.
【学生准备】 复习直角三角形的性质和判定定理.
导入一:
复习提问:
1.判定两个三角形全等的方法有哪些?
2.已知一条直角边和斜边,求作一个直角三角形.想一想,怎么画?同学们相互交流.
3.有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等吗?如果其中一个角是直角呢?请证明你的
结论.
[设计意图] 通过复习提问,自然引入直角三角形全等的“斜边、直角边”的判定定理,过渡自然.
导入二:
1.向学生展示课前准备的两个全等的直角三角形,让学生根据直观感觉回答这两个三角形是否全等?
2.进一步说明要判断两个三角形全等,必须给出证明,培养学生理性思考问题的习惯.让学生回忆前面都
学习了哪些三角形全等的判定方法.
3.因为所给出的两个直角三角形没有附加条件,让学生思考:如果要利用前面学习的三角形全等的判定
定理, 分别需要给这两个三角形添加什么条件,才能证明它们全等?
4.肯定学生的回答,启发学生进一步思考,对于直角三角形这样一类特殊的三角形,四个定理是否可以简
化一些?还有没有其他的判定方法?
5.适时地提出“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”现在成立吗?
[设计意图] 通过问题串的形式,既复习了如何判定三角形全等的知识,又自然而然地引入课题.
一、求作直角三角形
已知:如图所示,线段a,c(a<c),直角α.
求作:Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c.
多媒体课件展示小明的作法:
(1)作∠MCN=∠α=90°.
(2)在射线CM上截取CB=a.(3)以点B为圆心,线段c的长为半径作弧,交射线CN于点A.
(4)连接AB,得到Rt△ABC.
处理方式:
1.参照示例作直角三角形.
2.观察、比较大家所作的直角三角形是否全等.
[设计意图] 按照一定长度的线段和角度要求,同学们所作的直角三角形应该是全等的.通过作图活动,
引入对直角三角形全等的判定定理的证明.
二、斜边、直角边定理
[过渡语] 同学们,可见在两个直角三角形中,如果斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形
全等.你能证明吗?
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
已知:如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证△ABC≌△A'B'C'.
证明:在△ABC中,∵∠C=90°,
∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2 .
∵AB=A'B',AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS) .
[设计意图] 让学生自己写出已知条件并给出证明,进一步规范学生的书写和语言表达.
三、例题讲解
[过渡语] 同学们,我们刚刚学习了“斜边、直角边”定理,我们看看下面这个例题,你能不能自己做出
来?
(教材例题)如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,
两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?
解:根据题意,可知:
∠BAC=∠EDF=90°,
BC= EF,AC=DF,
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF+∠F= 90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠B+∠F= 90°.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生理解“斜边、直角边”定理,并且规范地书写证明格式.
[知识拓展] “斜边、直角边”定理的应用.
如图所示,已知△ABC≌△A'B'C',CD,C'D'分别是高,并且AC=A'C',CD=C'D',∠ACB=∠A'C'B'.
求证△ABC≌△A'B'C'.
〔解析〕 要证△ABC≌△A'B'C',由已知中找到一组边AC=A'C',一组角∠ACB=∠A'C'B'.如果寻求∠A=∠A',
就可用“ASA”证明全等.
证明:∵CD,C'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高(已知),
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中,
AC=A'C'(已知),
CD=C'D'(已知),
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL).
∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等).
在△ABC和△A'B'C'中,
∠A=∠A'(已证),
AC=A'C'(已知),
∠ACB=∠A'C'B'(已知),
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
本节课我们讨论了在一般三角形中已知两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.而当
一边的对角是直角时,这两个三角形是全等的,从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理,
即斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1.下列条件中能判定两个直角三角形全等的有 ( )
①有两条直角边对应相等;②有两个锐角对应相等;③有斜边和一条直角边对应相等;④有一条直角边
和一个锐角对应相等;⑤有斜边和一个锐角对应相等;⑥有两条边相等.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
答案:B
2.如图所示,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D =90°
解析:添加CB=CD,根据“SSS”能判定△ABC≌△ADC;添加∠BAC=∠DAC,根据“SAS”能判定
△ABC≌△ADC;添加∠B=∠D=90°,根据“HL”能判定△ABC≌△ADC.故选C.
3.如图所示,AB∥EF∥DC,∠ABC=90° ,AB=DC,那么图中共有全等三角形( )A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
解析:图中存在的全等三角形有△ABC≌△DCB,△ABE≌△DCE,△BFE≌△CFE.故选C.
4.如图所示,长方形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中
全等的直角三角形共有 ( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
答案:B
5.如图所示,AE=CF,AB∥DC,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中共有 对全等三角形,分别是
.
答案:3 △ABE≌△CDF,△ADE≌△CBF,△ABD≌△CDB
6.如图所示,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件: ,若
加条件∠B=∠C,则可用 判定.
答案:AB=AC AAS
7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所
示),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方
形MNKT的面积分别为S,S,S.若正方形EFGH的边长为2,则S+S+S= .
1 2 3 1 2 3
解析:如图(3)所示,设AH=a,HD=b(不妨设a>b>0),则AD=a+b,根据三角形全等可得
AE=HT=HD=b,HM=HA=a,∴TM=HM-HT= a-b.∵∠A=90°,∴EH2=AH2+AE2=a2+b2=22
=4.∴S+S+S=AD2+EH2+TM2= (a+b)2 +(a2 +b2)+ (a-b)2 =3 (a2 +b2)=3×4=12.故填12.
1 2 38.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别过点C,B作AD及其延长线的垂线,垂足分别为点
F,E.求证BE=CF.
证明:在△ABC中,
∵AD是中线,
∴BD=CD.
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°.
∵∠BDE=∠CDF,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF.
第2课时
一、求作直角三角形
二、斜边、直角边定理
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第20页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第21页习题1.6的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列命题中,是真命题的是( )
A.相等的角是对顶角
B.两直线平行,同位角互补
C.等腰三角形的两底角相等
D.直角三角形中两锐角互补
2.若三角形三边长之比为1∶❑√3∶2,则这个三角形中的最大角的度数是 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
3.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶1∶2,则其各角所对边长之比等于 ( )
A.❑√3∶1∶2 B.1∶2∶❑√3
C.1∶❑√3∶2 D.2∶1∶❑√3
4.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系
是 ( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.相等或互余
5.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 ( )
A.一边和这边上的高对应相等
B.两边和第三边上的高对应相等
C.两边和其中一边的对角对应相等
D.两个直角三角形中的斜边对应相等
【能力提升】
6.在等腰三角形中,腰长是a,一腰上的高与另一腰的夹角是30°,则此等腰三角形的底边上的高是 .1 1
7.已知△ABC中,边长a,b,c满足a2= b2= c2,那么∠B= .
3 4
8.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的东北方向距离灯塔40❑√2海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到
达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则轮船行驶的路程AB为 海里(结果保留根号).
10 16
9.已知等腰三角形ABC中,AB=AC= cm,底边BC= cm,求底边上的高AD的长.
3 3
【拓展探究】
10.如图所示,把长方形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点F处,若AB=12 cm,BC=16 cm.
(1)求AE的长;
(2)求重合部分的面积.
11.三个牧童A,B,C在一块正方形的牧场上看守一群牛,为保证公平合理,他们商量将牧场划分为三块分别看
守,划分的原则是:①每个人看守的牧场面积相等;②在每个区域内,各选定一个看守点,并保证在有情况时,他
们所需走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先设计了一种如图(1)所示
的划分方案,把正方形牧场分成三个相等的长方形,大家分头守在这三个长方形的中心(对角线交点),看守自
己的一块牧场.过了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图(2)所示,
三个长方形的面积相等,牧童的位置在三个小长方形的中心.牧童C的划分方案如图(3)所示,把正方形的牧
场分成三个长方形,牧童的位置在三个小长方形的中心,并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等.
(1)牧童B的划分方案中,牧童 (填“A”“B”或“C”)在有情况时所需走的最大距离较远.
(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在计算时可取正方形边长为2)
【答案与解析】
1.C
2.B (解析:设三边长分别为a, ❑√3a,2a,则a2+(❑√3a)2=(2a)2,此三角形为直角三角形,最大角的度数为90°.)
3.D(解析:∵∠A∶∠B∶∠C=3∶1∶2,∴∠A=90°,∠B=30°,∠C=60°,∴各角所对边长之比为2∶1∶❑√3.)
4.C(解析:如图(1)所示,已知AB=A'B',BC=B'C',
AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D',且AD=A'D',根据“HL”可判定Rt△ABD≌Rt△A'B'D',从而证得∠B=∠B'.如
图(2)所示,此时两角互补.)5.B
1 ❑√3
6. a或 a(解析:由题意可以画出如图所示的两种情况.)
2 2
1 1
7.60°(解析:∵a2= b2= c2,∴b2=3a2,c2=4a2 ,∴c2=a2+b2,∴△ABC为直角三角形,∴∠B=60°. )
3 4
8.(40+40❑√3) (解析:在Rt△ACP中,∠APC=45°,AP=40❑√2 ,∴AC=PC=40.在Rt△PCB中,∠PBC=30°,BC=40❑√3
,∴AB=AC+BC=40+40❑√3.)
1 1 16 8
9.解:∵AD为等腰三角形ABC底边BC上的高,∴BD=CD= BC= × = (cm).在Rt△ABD中,
2 2 3 3
由勾股定理,得AD=❑√AB2-BD2=❑
√ (10) 2
-
(8) 2
= ❑
√36
=2(cm).
3 3 9
10.解:(1) ∵∠CBD= ∠ FBD(轴对称图形的性质),∠CBD=∠ADB(两直线平行,内错角相等),∴∠FBD=∠ADB(等量
代换).∴EB=ED(等角对等边).设AE=x cm,则DE=(16-x)cm,即EB=(16-x)cm.在Rt△ABE中,AB2=BE2-AE2,即
1 1
122=(16-x)2-x2,解得x=3.5.即AE的长为3.5 cm. (2)∵BA⊥AD,∴S = DE·BA= ×(1 6-3.5)×12=75(cm2).
△BDE 2 2
11.解:(1)C (解析:认真观察,用圆规或直尺进行比较,此方法适用于标准作图.) (2)牧童C的划分方案不符合
他们商量的划分原则.理由如下:如图所示,在正方形DEFG中,四边形HENM,MNFP,DHPG都是长方形,且
HN=NP=HG,则EN=NF, S =S ,取正方形边长为2.设HD=x,则HE=2-x,在Rt△HEN和Rt△DHG
长方形HENM 长方形MNFP
1 7
中,由HN=HG,得EH2+EN2=DH2+DG2,即(2-x)2+12=x2+22,解得x = ,∴HE=2- x = ,∴S =S =1×
4 4 长方形HENM 长方形MNFP
7 7
= ,∴S ≠S ,∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则.
4 4 长方形DHPG 长方形HENM本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式,引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系,达到
了触类旁通的效果,提高了学生的逻辑推理能力.
学生合作意识不强,讨论气氛不够活跃,计算不熟练,书写不规范.
本节“HL”定理的证明,学生掌握得比较好,定理的应用方面,尤其是“根据已知条件,求作直角三角
形”中的题灵活性较强,给教师和学生发挥的余地较大,该题是一个开放题,结论和方法并不唯一,可以调动
学生的积极性,教师要充分利用好这个资源,可以达到一题多解,举一反三的效果.
随堂练习(教材第20页)
1.解:(1)假命题.理由如下:两个锐角分别相等的两个直角三角形还可能是形状相同,大小不同的两个三角形.
(2)真命题.理由如下:可通过“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等. (3)真命题.理由如下:满足
“SAS”,可证两个三角形全等. (4)真命题.理由如下:先利用“HL”得到一组直角三角形全等,从而得到另
一条直角边相等,再根据“SAS”可证明两个三角形全等.
2.解:相等.理由如下:∵AB=AC,AO⊥BC,∴根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BO=CO.
习题1.6(教材第21页)
1.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠DEC=90°.∵D是BC边中点,∴BD=DC,又
DF=DE,∴△FBD≌△ECD(HL),∴∠B=∠C,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
2.证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴在Rt△DEC和Rt△BFA中,由已知条件DE=BF,CD=AB,可得
△DEC≌△BFA(HL),∴EC=AF,∴EC-EF=AF-EF,即AE=CF. (2)由(1)知△DEC≌△BFA,∴∠C=∠A,∴AB∥CD.
3.证明:∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴在Rt△PMO和Rt△PNO中,由已知条件OM=ON,OP=OP,可得
△OMP≌△ONP(HL),∴∠MOP=∠NOP,即OP是∠AOB的平分线.
4.解:(1)真命题.理由如下:两边可能是两条直角边或者是一条直角边和一条斜边,都能证明两个直角三角形
全等. (2)真命题.理由如下:一个锐角和一条直角边分别相等,可用“ASA”或“AAS”来证明全等关系,或
者是一个锐角和一条斜边分别相等,可用“AAS”来证明全等关系.
5.(1)解:BD=AD,AE=EB,∠B=∠DAB,∠AED=∠BED,∠ADE=∠BDE. (2)证明:由折叠关系可知
△DEB≌△DEA,∴DE⊥AB,∠DAE=∠B=30°,又∵在Rt△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,∴∠CAB=60°,∴∠CAD=∠CAB-
∠DAE=60°-30°=30°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS). (3)解:不能.
如图所示,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直
角三角尺ADE按如图所示放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和
EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下:∵AC=2AB,点D是AC的中点,
∴AB=AD=CD.
∵∠EAD=∠EDA=45°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC,
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.
∵∠AEB+∠BED=90°,
∴∠DEC+∠BED=90°.
∴∠BEC=90°.
∴△BEC是等腰直角三角形.
∴BE=EC,BE⊥EC.
如图所示,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE相交于点F.
求证∠BAF=∠CAF.
证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS),
∴AD=AE.
在△ADF和△AEF中,AD=AE,AF=AF, ∠ADF=∠AEF=90°,
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL).
∴∠BAF=∠CAF(全等三角形的对应角相等).
3 线段的垂直平分线
1.理解并能说出线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
2.能够应用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明或解决有关的问题.
3.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
1.经历线段垂直平分线的性质的探索过程,初步掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理,体会辨
证思想.
2.经历折纸和作图、猜想、证明的过程,能够证明三角形三条边的垂直平分线交于一点.
3.经历猜想、探索,能够作出以a为底边,b为高的等腰三角形.1.体验解决问题的方法,培养实践能力和创新意识.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【重点】
1.线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明与应用.
2.已知底边和底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
【难点】 三线共点证明方法的认识理解.
第 课时
1.要求学生掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理,能够利用这两个定理解决一些问题.
2.能够证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
通过探索、猜测、证明的过程,进一步提高学生的推理能力.
【重点】 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【难点】 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习直角三角形的有关知识,长方形纸片.
导入一:
教师用多媒体课件演示:如图所示,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应
建在什么位置?
我们知道,线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经用折纸的方法,得
到线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要在“A,B一侧的河岸边
建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”,利用此性质就能完成.
[设计意图] 通过一个实际应用问题的提出,不仅复习了已有知识,而且自然过渡到本课时的教学.
导入二:
1.让学生把准备好的长方形的纸拿出来,按照下图的样子进行对折,并比较对折之后的折痕EB和
E'B',FB和F'B'的数量关系.
2.让学生说出他们观察、猜测的结果,并引导学生思考:这样一个结论是比较直观和明显的,我们可以说
出两组边分别是相等的,但是,我们可以用观察说服别人吗?
[设计意图] 通过学生动手操作,不仅锻炼了学生的动手能力,也加深了学生对知识的理解,同时也非常
自然地引入课题.
一、线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
思路一
[过渡语] 同学们你能用公理或学过的定理证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
相等”这一结论吗?
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知:如图所示,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.
求证PA=PB.
〔解析〕 要想证明PA=PB,可以考虑这两条线段所在的两个三角形全等.
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
教师用多媒体课件完整演示证明过程.
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出
它的逆命题,需将原命题写成“如果……那么……”的形式,再分析原命题的条件和结论.
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点到线段两个端点的距离相
等”.
逆命题为“如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”
逆命题写出后,要判断它的真假.如果是真命题,则需要证明;如果是假命题,则需要用反例说明.
引导学生分析证明过程,有如下几种证法:
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证法1:如图所示,过点P作已知线段AB的垂线交AB于点C.
∵PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法2:如图所示,取线段AB的中点C,连接PC.
∵AP=BP,PC=PC,AC=CB,
∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法3:如图所示,作∠APB的平分线,交AB于点C.
∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC,
∴△APC≌△BPC(SAS).
∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段的
垂直平分线的判定定理.
定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
[设计意图] 让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明过程,加深学生对逆命题和
逆定理定义的理解.
思路二
[过渡语] 同学们,刚刚我们总结出线段的垂直平分线的性质定理,你能证明吗?
(1)给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实.学生可以采用讨论、交流的方法.提示学生在证明
之前,要把文字语言变成数学语言,根据图形写出已知、求证.
(2)选取完成得较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明过程,其他同学在练习本上完成.
(3)针对两位同学的板书讲解证法,规范学生的书写格式,培养学生的逻辑思维能力.
(4)加强学生对几何的认识:由证明过程可以看出,两组对应线段分别相等,那么这个事实的几何意义是
什么呢?
(5)让学生总结出线段的垂直平分线的性质定理,进而告诉学生:命题中说线段垂直平分线上的任意一点
到线段两个端点的距离都相等,但是在证明过程中,我们只是随机地选了几种情况来证明,这并不影响命题的
正确性,因为我们所选的点是任意的.
(6)引导学生回忆前面学过的关于互逆命题和互逆定理的知识,让学生说出自己整理的互逆命题和互逆
定理.(7)总结和完善学生的发言,运用转化归纳的思想,让学生先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如
果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理.
(8)让学生类比原命题画出图形、写出已知、求证,并证明逆定理,解释几何意义.
(9)整理布置学生收集生活中应用线段的垂直平分线的例子,让学生在体会这个定理的应用中加深理解.
[设计意图] 通过师生间的互动,锻炼了学生解决问题的能力,规范学生的证明过程,培养学生的逻辑思
维能力.
二、例题讲解
[过渡语] 同学们,我们已经学习了线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,下面这个例题,你能不
能自己做出来?
(教材例1)已知:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:直线AO垂直平分线段BC.
证明:∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点O在线段BC的垂直平分线上.
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
【注意】 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线,因此,老师要引导学生理清证明的思
路和方法,并给出完整的证明过程.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,并且规范证明
的书写格式.
[知识拓展] 用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB(如图所示).
求作:线段AB的垂直平分线.
1
作法:1. 分别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
2
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中,有一些用三角形全等的知识
来解决的问题,现在可用线段的垂直平分线的定理及其逆定理来解决会更方便些.1.如图所示,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB=10 cm,则BD=
cm;若PA=10 cm,则PB= cm.
1 1
解析:∵直线MN是线段AB的垂直平分线,若AB=10 cm,则BD= AB= ×10=5(cm),若PA=10 cm,则
2 2
PB=PA=10 cm.
答案:5 10
2.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12 cm,AC=5 cm,则
AB+BD+AD= cm;AB+BD+DC= cm;△ABC的周长是 cm.
答案:12 12 17
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,垂足为D,交BC于E,BE=5,则AE=
,∠AEC= ,AC= .
答案:5 30° 2.5
4.已知线段AB及一点P,若PA=PB=3 cm,则点P在 上.
答案:线段AB的垂直平分线
5.下列各图形中,是轴对称图形的有 ( )
①等腰三角形;②等边三角形;③点;④角;⑤两个全等三角形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D
6.(2015·丽水中考)如图所示,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
解:(1)如图所示.
(2)在△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,∴∠BAC=53°.
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=37°.
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=53°-37°=16°.
第1课时一、线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
学生的板演过程
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第23页随堂练习.
【选做题】
教材第23页习题1.7的1,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是 (
)
A.∠CAD<∠CBD B.∠CAD=∠CBD
C.∠CAD>∠CBD D.无法判断
2.如图所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,AC=EC,点B,D,C,E在同一条直线上,则AB+DB与DE之间的数量关
系是 ( )
A.AB+DB>DE B.AB+DB<DE
C. AB+DB=DE D. 无法判断
3.已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交线段AC于D,若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm,
则△ABC的腰长和底边BC的长分别是 ( )
A.24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm
C.20 cm和16 cm D.22 cm和16 cm
4.如图所示,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使PA+PB最小,其作法是( )
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
C.过点B作l的垂线,垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A',使A'O=AO,再连接 A'B,则A'B与l的交点为P
5.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
【能力提升】
6.(2015·毕节中考)如图所示,等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为
D,连接BE,则∠EBC的度数为 .7.直角三角形ABC中,∠C=90°,AC的垂直平分线交AB于D,若AD=2 cm,则BD= cm.
8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=110°,PM,QN分别垂直平分AB,AC,求∠PAQ的度数.
9.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AC=8 cm,AB=6 cm,BC边的垂直平分线DE交BC于E,交AC于D,求△ABD
的周长.
【拓展探究】
10.如图所示,已知AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于点D,若△DBC的周长为35 cm,求
BC的长.
11.如图所示,△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,已知△ADE的周长为12 cm,求BC的长.
12.如图所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1 km,B村到公路l的距离
BD=2 km,B村在A村的南偏东45°方向上.
(1)求A,B两村之间的距离;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出
点P的位置.(保留清晰的作图痕迹,并简要写明作法)
13.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,
并给出证明.
【答案与解析】
1.B
2.C(解析:因为AB=AC,BD=CD,所以AB+DB=AC+DC=EC+DC=DE.)
3.D(解析:因为AB的垂直平分线与边AC交于D,所以BD=AD,故BD+DC=AC,所以AB=60-38=22(cm),AC=22
cm,BC=38-22=16(cm).)
4.D(解析:由选项D的作法知直线l垂直平分AA',则PA+PB=PA'+PB=A'B为最小长度.)
5.C(解析:直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点.)
6.36°(解析:∵等腰三角形ABC的底角为72°,∴∠A=180°-72°×2=36°.∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=36°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°.故填36°.)7.2(解析:在Rt△ABC中,AD=CD=BD.)
8.解:∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°-110°=70°.∵PM,QN分别垂直平分
AB,AC,∴△BPM≌△APM,△CQN≌△AQN.∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ. ∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°.∴∠PAQ=∠BAC-
∠BAP-∠CAQ=110°-70°=40°.
9.解:∵DE垂直平分BC,∴BD=DC,∴AD+BD=AD+DC=AC=8 cm.又∵AB=6 cm,∴AB+AD+DB=14 cm,即△ABD
的周长为14 cm.
10.解:因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,所以BD+DC=AD+DC=AC=20 cm.又因为△DBC的周长为35 cm,即
BD+DC+BC=35 cm,所以BC=15 cm.
11.解:因为AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,所以DA=DB,EA=EC,所以BC=BD+DE+EC=DA十
DE+AE,即为△ADE的周长.又因为△ADE的周长为12 cm,所以BC=12 cm.
12.解:(1)设AB与CD的交点为O,如图所示,根据题意可得∠A=∠OBD=45°,∴△ACO和△BDO都是等腰直角三
角形,∴AO=❑√2,BO=2❑√2,∴A,B两村的距离为AB=AO+BO=❑√2+2❑√2=3❑√2 (km). (2)作法:如图所示.①分
1
别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧,两弧交于两点M,N,作直线MN;②直线MN交l于点P,点P
2
即为所求.
13.解:OE⊥AB.证明如下:在△BAC和△ABD中,
∵AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB=BA,∴△BAC≌△ABD,∴∠OBA=∠OAB,∴OA=OB.又AE=BE,∴OE⊥AB.
设计的教学模式为提出问题让学生想,设计问题让学生做,方法规律让学生说.教师的作用在于组织、
引导学生主动探索、积极思考、大胆想象、总结规律,充分发挥了学生的主体作用,让学生真正成为课堂教
学活动的主人.
对新课的引入可放慢速度,讲解得更详细透彻些,当学生一时不能回答老师提出的问题时,不能着急公布
正确答案,而应进行适当引导.
学生总结出定理和逆定理后,要引导学生根据文字结合图形,能用相应的几何语言描述,这为学生做证明
题时的推理打下基础.
随堂练习(教材第23页)
证明:∵AB是线段CD的垂直平分线,∴EC=ED,∴∠ECD=∠EDC,同理可得
∠FCD=∠FDC,∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC,即∠ECF=∠EDF.
习题1.7(教材第23页)1
1.解:∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠B=∠FAB,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-120°)× =30°,又
2
∵∠AFC=∠B+∠BAF,∠B=∠BAF=30°,∴∠AFC=60°.
2.解:它们的另一个顶点都在线段AB的垂直平分线上.
3.解:∵△BCE的周长=BC+EC+BE=50,且DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴BC+EC+AE=50,即BC+AC=50,又
∵AC=27,∴BC=23.
4.解:连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A,B一侧的河岸的交点处.如图所示,点P就是码头应
建造的位置.
如图所示,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7 cm,那么ED=
cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC= .
〔解析〕 ∵AB是线段CD的垂直平分线,∴ED=EC=7 cm,∴∠EDC=∠ECD=60°.
〔答案〕 7 60°
第 课时
能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰
三角形.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.
通过探索、猜测、证明的过程,进一步提升学生的推理能力.【重点】 作已知线段的垂直平分线.
【难点】 理解三线共点的证明方法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习线段的垂直平分线定理及其逆定理.
导入一:
教师提问:“利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完图时你发现了什么?”(教师可用多媒体课
件演示作图过程)
“三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,”这是学生可以直观发
现的性质.
下面请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你是否发
现同样的结论?与同伴交流.
教师质疑:“这只是我们用眼睛观察到的,一定是真的吗?我们还需要用公理和已学过的定理进行推理
证明,这样才更有意义”.
这节课我们就来探索与线段的垂直平分线有关的结论.
[设计意图] 让学生自己动手体会三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性,体验学习探索过程
中的乐趣.
导入二:
1.让学生拿出课前准备好的三角形纸片,先折一条边作示范,然后让学生用折叠的方法找出每条边的垂
直平分线.
2.让学生观察:三条垂直平分线有什么位置关系?让学生自己经历探究的过程,不要直接给出答案或很有
指向性的提示.
3.让学生暂且把折纸放在一边,拿出圆规和直尺,画—个任意的三角形,并利用所学知识作出三角形三条
边的垂直平分线.要注意个别学生作图的方法和步骤,强调作图的要求,培养学生的作图技能.
4.让学生观察这三条垂直平分线有什么性质,然后对照纸折的三条垂直平分线,看这个性质是不是它们
共有的?换句话说,不管三角形的种类,它们的垂直平分线有没有什么共性?有的话,这个共性是什么?让学生
提出猜想,引入课题.
[设计意图] 通过学生动手操作,不仅锻炼了学生的动手能力,也加深了学生对知识的理解,同时也非常
自然地引入课题.
一、例题讲解
[过渡语] 同学们,下面我们用上一节学过的定理来解决一个问题.
(教材例2)求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.已知:如图所示,在△ABC中,边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证:边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
同理,PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上),
即边AC的垂直平分线经过点P.
进一步设问:“从证明三角形三条边的垂直平分线交于一点的证明过程中,你还能得出什么结论?” (交
点P到三角形三个顶点的距离相等)
多媒体课件演示我们得出的结论:
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
[设计意图] 通过先查看学生书写的证明过程,教师再点评,提高学生用几何符号语言表述问题的能力.
二、几个尺规作图的讲解
[过渡语] 同学们,下面我们讲解几个尺规作图问题.
【问题】 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗?如果能,能画出几
个?所画出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规画出满足条件的等腰三角形吗?
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?
学生通过小组讨论,并尝试作出草图,验证自己的结论.
由学生思考可得:(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能作出无数多个,如下图:
已知:三角形的一条边a和这边上的高h.
求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h.
从上图我们会发现,先作已知线段BC=a;然后再作BC边上的高h,但垂足不确定,我们可将垂足取在线
段BC上或其所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D为端点在垂线上截取AD(或AD),
1
使AD=AD=h,连接AB,AC(或AB,AC),所得△ABC(或△ABC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个.观察
1 1 1 1
还可以发现这些三角形不都全等.
(2)如果已知等腰三角形的底边,用尺规作出等腰三角形,这样的等腰三角形也有无数多个.在作图中强
调“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件,如底边的中点在底边上,不能构成三角形,应将这一点从
底边的垂直平分线上挖去.”
(3)如果等腰三角形底边和底边上的高都一定,这样的等腰三角形应该只有两个,并且它们是全等的,分
别位于已知底边的两侧.
已知:线段a,h
求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.作法:①作线段BC=a.
②作线段BC的垂直平分线l交BC于点D.
③在l上作线段DA,使DA=h.
④连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形(如图所示).
教材中“做一做”和“议一议”:已知直线l和l(外)上一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.
情形一:点P在直线l上(如图所示)
1.以点P为圆心,任意长为半径画弧交l于两点A和B.
1
2.分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧交于点C.
2
3.作直线PC.
则PC⊥直线l.
情形二:点P在直线l外(如图所示)
1.在l的另一侧取点K,以点P为圆心,PK长为半径画弧,交l于两点A和B.
1
2.分别以A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧交于点C.
2
3.作直线PC.
则PC⊥直线l.
[设计意图] 通过这几个作图问题的讲解,让学生理解并掌握尺规作图的知识.
本节课通过推理证明了“三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相
等”的结论,并能够掌握“已知一个等腰三角形的底边和底边上的高,求作这个等腰三角形”.1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长
度为 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析:由直线CD是线段AB的垂直平分线,得PB=PA,因为PA=5,所以PB=5.故选B.
2.如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,
则∠CBE等于 ( )
A.80° B.70°
C.60° D.50°
解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠A=20°,∴∠ABC=80°.再根据线段垂直平分线的性质可知AE=BE,即
∠A=∠ABE=20°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选C.
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论
不正确的是 ( )
A.AE=BE B.AC=BE
C.CE=DE D.∠CAE=∠B
解析:根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE,根据等边对等角,得∠BAE=∠B=30°.根据直角三角形的两个
锐角互余,得∠BAC=60°,则∠CAE=∠BAE=30°,即∠CAE=∠B.由题意易知△ACE≌△BDE,所以CE=DE.故选B.
4.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 .
解析:由ED垂直平分BC,得BE=CE,∠EDB=90°.由直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么其所对
的直角边等于斜边的一半,得BE=6,即EC=6.故填6.
第2课时
一、例题讲解
二、几个尺规作图的讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第26页随堂练习.
【选做题】
教材第26页习题1.8的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】1
1.如图所示,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线
2
MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为 ( )
A.7 B.14 C.17 D.20
2.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB,交AB于D.若AC=9,则AE的长是 (
)
A.6❑√3 B.4❑√3 C.6 D.4
3.如图所示,直线CP是边AB的垂直平分线且交AB于点P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D,E,
使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;
(乙)作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是 ( )
A.两人都正确 B.两人都错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
4.如图所示的是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,
凉亭的位置应选在 ( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
5.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 ( )
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB【能力提升】
6.如图所示,在四边形ABCD中,AD=DC=CB=BA,DB平分∠ADC,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD
于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB= 度.
7.如图所示,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC= .
8.如图所示,∠ABC=50°,AD垂直且平分BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC=
.
9.如图所示,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,则△ADE的周长=
.
10.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四
1
个结论:①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DCE= ∠DCB;④△ABC是正三角形.请写出正确结论的序号 (把你
2
认为正确结论的序号都填上).
【拓展探究】
11.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点
F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.12.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在已作的图形中,若l分别交AB,AC及BC的延长线于点D,E,F,连接BE.求证EF=2DE.
【答案与解析】
1.C(解析:根据题意可知MN是线段AB的垂直平分线,故AD=BD,又由△ADC的周长为10,得
AC+BC=10,∴AC+BC+AB=10+7=17,则△ABC的周长为17.)
2.C(解析:由角平分线的定义,得∠CBE=∠ABE,再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,则∠A=∠ABE,可
得∠CBE=30°,所以BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,即可求出AE=6.)
3.D
4.C(解析:由于凉亭到草坪三条边的距离相等,所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等,可知凉亭的位
置是△ABC三条角平分线的交点.)
5.A(解析:由已知条件AC=AD,得点A在CD的垂直平分线上,同理,点B也在CD的垂直平分线上,于是AB垂
直平分CD.)
6.72
7.60°(解析:根据题意,得∠ADC=∠BAD+∠B,又∠BAC=120°,AB=AC,所以∠B=∠C=30°.因为AB的垂直平分线交
BC于点D,所以∠BAD=∠B=30°,所以∠ADC=60°.)
1
8.115°(解析:由题意,得BE=EC,所以∠C=∠EBC= ×50°=25°,所以∠AEC=90°+25°=115°.)
2
9.8
10. ①③(解析:∵AB=AC,AC=AD,∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.∵AC平分∠DAB,∴AC垂直平分DB.结合结
论可知①③正确.)
11.证明:(1)∵AD∥BC(已知),∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等).∵E是CD的中点(已知),∴DE=CE.在
△ADE与△FCE中,∠ADC=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD(全等三角形的对应边
相等). (2)由(1)得△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等),∵BE⊥AE(已知),∴BE是线段
AF的垂直平分线,∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF(已证),∴AB=BC+AD(等量代换).12.(1)解:如图所示,直线l即为所求. (2)证明:在Rt△ABC中,∵l为线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∵∠A=30°,∴∠ABC=60°.∴∠EBA=∠A=30°,∴∠AED=∠BED=60°,∴∠EBC=30°=∠EBA,∴BE为∠ABC的
平分线.∵ED⊥AB,EC⊥BC,∴ED=EC.在Rt△ECF中,∠FEC=∠AED=60°,∴∠EFC=30°,∴EF=2EC,∴EF=2ED.
整堂课学生参与的积极性较高,课堂气氛较好.通过本节课的学习,学生在探索问题、发现结论方面有
很大进步.
对于引入的情境问题,学生回答时出现了一些偏差,由于自己没有做好对学生回答情况的估计,没有及时
纠正学生回答中出现的问题,而是一带而过,转入新课.
对于学生一时不能回答的问题,教师不能急着将正确答案公布于众,而应进行适当引导.本节课的内容
量可减少些,这样既能将内容讲解得更透彻,又能让更多的学生把新知识掌握得更牢固.
随堂练习(教材第26页)
提示:AE=BE,AF=CF,△AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=2.
习题1.8(教材第26页)
1
1.解:已知:线段a.求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,AD⊥BC,且AD= a.作法如图所示,这个等腰三角形是等腰直
2
角三角形.
3.解:(1)图略. (2)体育中心G应建在PQ,PR,QR三条线段的垂直平分线的交点处. (3)略.
4.解:应选方案(3).已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AB的垂直平分线交AD于点O.
求证OA=OB=OC.
证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD垂直平分BC.
∵AB的垂直平分线与AD交于点O,
∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
4 角平分线
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.
2.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理.
3.能够应用角平分线的性质定理及其逆定理证明或解决有关问题.
4.了解三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等的证明.
1.在角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程中,提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力,
并初步了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.
2.经历三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等的证明过程,提高学生用数
学的方法解决实际问题的能力.
在数学活动中,感受获得成功的喜悦,提高学生探究问题的兴趣,增强解决问题的自信心.
【重点】
1.理解和掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明方法.
2.应用角平分线的性质定理及其逆定理证明或解决有关的问题.
【难点】 对三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等的证明的了解.
第 课时会证明角平分线的性质定理及其逆定理.
进一步增强学生推理证明的能力,提高学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
经历探索、猜想、证明使学生掌握解决问题的方法.
【重点】 角平分线的性质定理及其逆定理.
【难点】 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上节课线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
导入一:
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,从折纸的过程中,我们可以得出:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
你能证明它吗?
[设计意图] 通过回顾折纸的知识,复习旧知识的同时导入新课.
导入二:
1.角平分线的概念:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
2.点到直线的距离的定义.
[设计意图] 复习相关知识,为本课时的相关例题的证明过程做知识准备.
一、定理及其证明
思路一
[过渡语] 请同学们自己尝试着证明上述结论.
(1)引导学生证明性质定理.
让学生自己尝试着证明,然后全班同学进行交流.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证PD=PE.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2,OP=OP,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理.
(用多媒体课件演示:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
(2)你能写出这个定理的逆命题吗?
引导学生分析条件和结论后,能完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题:
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 你能证明它吗?
没有加“在角的内部”时,是假命题.
(由学生自己独立思考完成,全班同学讨论、交流,对理解有困难的学生可个别辅导)
证明如下:
已知:如图所示,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E且PD=PE,
求证OP平分∠AOB.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,
∴∠ODP=∠ OEP=90°.
∵PD=PE,OP=OP,
∴Rt△DOP ≌Rt△EOP(HL).
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
利用公理和我们已证过的定理证明了其逆命题的正确性,那么我们就把这个逆命题叫做原定理的逆定
理.我们就把它叫做角平分线的判定定理.
[设计意图] 通过学生书写证明过程,教师点评,让学生养成用规范的几何符号语言表述问题的习惯.
思路二
[过渡语] 请同学们利用上学期所学的知识,总结这个定理并试着证明.
(1)性质定理
定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证PD=PE.
证明:(让学生口述,并适时给予肯定和鼓励)
∵OC是∠AOB的平分线,∴∠1=∠2.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2,OP=OP,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
(2)角平分线性质定理的逆定理的证明(学生讨论、交流)如图所示,由 PD⊥OA于点 D ,PE⊥OB 于点 E,且PD= PE, 可以得到什么结论 ?
结论:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
请同学们思考,如何改写并证明这一命题.
已知:如图所示,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE.
求证OP平分∠AOB.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,
∴∠ODP=∠ OEP=90°.
∵PD=PE,OP=OP,
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP(HL).
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
[设计意图] 通过学生口述证明过程,教师点评,加强学生运用几何符号语言的规范性.
二、例题讲解
[过渡语] 同学们,我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理,下面我们来看例题.
(教材例1)如图所示,在 △ABC 中,∠ BAC = 60°,点 D 在 BC 上,AD = 10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为
E,F,且 DE = DF,求 DE 的长.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC=60°, ∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
1 1
∴DE= AD= ×10=5(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
2 2
[知识拓展] 用尺规作已知角的平分线.
已知:∠AOB,求作∠AOB的平分线OC.
作法:
1.以顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N.
1
2.分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
2
3.画射线OC,射线OC即为所求.本节课证明了角平分线的性质定理和判定定理,当题中有角的平分线(或证明是角的平分线)时,通常辅
助线的作法是:过角平分线上的点向角的两边作垂线段.
1.(2015·湖州中考)如图所示,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,
则△BCE的面积等于 ( )
A.10B.7 C.5 D.4
解析:过点E作EH⊥BC于点H,∵CD是AB边上的高线,∴ED⊥AB.∵BE平分
1 1
∠ABC,DE=2,∴EH=DE=2.∵BC=5,∴S = BC·EH= ×5×2=5.故选C.
△BCE 2 2
2.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,AD=2 cm,则点D到BC的距离为 cm.
答案:2
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于点D,且DC∶DB=3∶5,则点D到AB
的距离是 .
答案:15
4.如图所示,已知BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由点D出发,分别作点D到BC,AC
和AB的垂线DE,DF和DG,垂足分别为E,F,G,则DE,DF,DG的关系是 .
答案:DE=DF=DG
5.如图所示,已知AB∥CD,∠CAB,∠ACD的平分线的交于点O,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB,CD之间的距
离等于 .
解析:过点O作AB的垂线MN分别与AB,CD交于点M,N,由角平分线性质可得出OM=OE=ON,所以
AB,CD间距离为OM+ON=4.故填4.第1课时
一、定理及其证明
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第29页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第30页习题1.9的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,把一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别在D',C'的位置,若 ∠ EFB=65°,则∠AED'等于 (
)
A.70° B.65° C.50° D.25°
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
3.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论不一定成立的是 ( )
A.PA=PBB.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB垂直平分OP
4.(2015·台州中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是
.
【能力提升】
5.补全“求作∠AOB的平分线”的作法:①在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD =OE;②分别以D,E为圆
心,以 为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C;③连接OC,射线OC即为∠AOB的平分线.
6.如图所示,D,E,F分别是三角形ABC的三边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.求证AD平分∠BAC.7.如图所示,AD 为△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F, EF交AD于点M,求证:AM⊥EF.
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,AC=25.在△ABC内是否有一点P到各边的距离相等?如果有,
请作出这一点,并且说明理由,同时求出这个距离;如果没有,请说明理由.(简要说明作图过程即可)
9.某考古队为进行考古研究,寻找一座古城遗址,根据资料记载,这座古城在森林附近,到两河岸距离相等,到
古塔的距离是3000 m.根据这些资料,考古队员很快找到了这座古城的遗址.请你运用学过的知识在图上找
到古城的遗址(比例尺为1∶100000).
10.学完了“角平分线”这节内容,爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法:在
如图所示的Rt△ABC的斜边AB上取点E,使BE=BC,然后作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,则BD就是
∠ABC的平分线.你认为他的作法有道理吗?说说你的看法.
【拓展探究】
11.现有一块三角形的空地,其三边的长分别为20 m,30 m,40 m,现要把它分成面积为2∶3∶4的三部分,分别种
植不同的花草,请你设计一种方案,并简单说明理由.
12.如图(1)所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形.请你
参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题.
(1)如图(2)所示,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,请
你写出FE与FD之间的数量关系;(不要求写证明)
(2)如图(3)所示,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,那么(1)中所得的结论是否仍然成
立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:折痕EF为∠DED'的平分线,∴∠DEF=∠D'EF. 又
∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=65°,∴∠DED'=65°×2=130°,∴∠AED'=180°-∠DED'=50°.)
2.D(解析:易证∠C=∠DBE=∠DBA,∠DEC=∠DEB=∠A=90°.∴3∠C=90°,即∠C=30°.)3.D
4.3(解析:过点D作DH⊥AB于点H,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴DC⊥AC.又∵AD是△ABC的角平分线,
DC=3,∴DH= DC=3,即点D到AB的距离是3.故填3.)
1
5.大于 DE的长
2
6.证明:如图所示,过点D作DH⊥AB于H,DG⊥AC于G,因为S =S ,所以CE·DG=BF·DH.因为CE=BF,
△DCE △DBF
所以DG=DH,所以点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC.
7.证明:因为AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,所以DF=DE.在Rt△ADF和Rt△ADE中,AD=AD,DF=DE,所以
Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).所以AF=AE. 易证△AMF≌△AME(SAS),所以∠AMF=∠AME.又因为
∠AMF+∠AME=180°,所以∠AMF=∠AME=90°,即AM⊥EF.
8.解:有.如图所示,作∠BAC,∠ACB的平分线,它们的交点P为符合要求的点.理由:过点P作
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.因为AP是∠BAC的平分线,所以PD=PF.又CP是∠ACB的平分
1 1
线,所以PE=PF,所以PD=PE=PF.连接PB,设PD=PE=PF=x,由题意得S +S +S = S ,即 × 7x+ ×
△APB △APC △CPB △ABC 2 2
1 1
24x+ × 25x= ×24×7,解得x=3.即这个距离为3.
2 2
9.解:作两条河岸夹角的平分线,再以古塔所在的位置为圆心,以3 cm长为半径画弧,弧线与角平分线的交点
即为所求.图略.
10.解:小明的作法是有道理的.根据他的画法我们可以用“HL”证明Rt△BCD≌Rt△BED,得∠CBD=∠EBD,所
以BD是∠ABC的平分线.
11.解:如图所示,设AC=20 m,BC=30 m,AB=40 m,作出三角形ABC的三条角平分线的交点P,连接PA,PB,PC,
则S ∶ S ∶S =2∶3∶4.理由:过点P作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,F,E,由角平分线的性质定
△ACP △BCP △ABP
1 1 1
理,可知PD=PE=PF,∴S ∶S ∶S = PF·AC ∶ PE·BC ∶ PD·AB =AC∶BC∶AB=2∶3∶4.
△ACP △BCP △ABP 2 2 2
12.解:在OM,ON上分别取OA,OB,使OA=OB,在OP上任取一点D,连接AD,BD,则△OAD与△OBD全等,如图
(1)所示.(1)FE=FD. (2)(1)中的结论FE=FD仍然成立.证明:如图(2)所示,在AC上截取AG=AE,连接FG,则△AEF≌△AGF,所以∠AFE=∠AFG,FE=FG.由∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,可得∠2+∠3=60°,所
以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2+∠3=60°,所以∠CFG=180°-60°-60°=60°,所以∠CFG=∠CFD.由∠3=∠4及FC为公
共边,可得△CFG≌△CFD,所以FG=FD,所以FE=FD.
教学时,采用“试验——猜想——验证”的教学方法,适时启发诱导,让学生展开讨论,充分发挥学生的
主体参与意识,激发学生学习的兴趣,调动学生学习的积极性,培养学生养成良好的思维习惯.
学生对于角平分线的性质定理和判定定理,容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这
点垂直于角平分线的垂线段.
学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题,而不注重利用刚学过的定理来解决,这实际上是对定理的
重复证明,这一点教学时要注意.
随堂练习(教材第29页)
1.解:AD⊥AE.理由如下:因为AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,所以
1 1 1 1
∠DAE=∠DAC+∠EAC= ∠BAC+ ∠CAF= (∠BAC+∠CAF)= ×180°=90°,所以AD⊥AE.
2 2 2 2
习题1.9(教材第30页)
1.解:图略.三个内角的平分线相交于同一点,并且这一点到三条边的距离相等.
2.证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°.又
AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS),∴ED=FD,又∵BD=CD,∴△EBD≌△FCD(HL),∴EB=FC.
3.证明:∵ED垂直平分AB,∴AE=EB,∵∠A=30°,∴∠EBA=∠A=30°,在Rt△ACB中,∵∠CBA=90°-
30°=60°,∴∠CBE=60°-30°=30°, ∴∠CBE=∠EBA,∴BE平分∠ABC.(方法不唯一)
4.解:如图所示,点P就是所求的点.如图所示,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD交AD的延长线于E,EF∥AC交AB于F,求证AF=FB.
证明:延长AC,BE交于点G.
∵AD是∠BAC的平分线,且AD⊥BE,
∴∠1=∠2,∠AEB=∠AEG=90°.
∵AE=AE,∴△AEB≌△AEG,
∴∠G=∠ABG.
∵EF∥AG,∴∠G=∠FEB,∠2=∠AEF.
∴∠ABE=∠FEB,∠1=∠AEF.
∴FB=FE,AF=FE.∴FB=AF.
第 课时
1.证明与角平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
1.进一步提高学生推理证明的能力.
2.提高学生养成能将文字语言转化为符号语言、图形语言表达数学问题的能力.
3.提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
培养学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.在数学活动中获得成功的体验和建立自信
心.
【重点】
1.三角形角平分线的性质.
2.综合运用角平分线的判定定理和性质定理,解决几何中的问题.
【难点】 角平分线的判定定理和性质定理的综合应用.
【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习角平分线的性质定理及其逆定理.
导入一:
【问题】 教材第30页习题1.9的第1题作一个三角形三个内角的平分线,你发现了什么?能证明自己
发现的结论一定正确吗?
[设计意图] 通过问题的设置,激发学生的学习兴趣,同时引入课题.
导入二:
多媒体课件出示:
【问题】
如图所示,某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭给师生小憩 ,使小亭中
心到三条路的距离相等,请你确定小亭中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
师:这个问题谁能解决?
生:在三角形的内部,分别作出两个内角的平分线,在其交点位置建小亭,能使它到三条路的距离相等.
师:你能解释一下其中的道理吗?
生:昨天做作业时,我通过尺规作图发现三角形三个内角的平分线交于一点,根据角平分线的性质定理可
知这点到三角形三边的距离相等.
师:如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明这个结论呢?可以类比我们学过的知识吗?
生:可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明.
师:很好!你还记得我们是怎样证明的吗?
生:先是设其中两条边的垂直平分线交于一点,然后利用线段垂直平分线的判定定理,说明这一点在第三
边的垂直平分线上.
师:同学们掌握得很好!下面我们就类比这种方法来证明它.
[设计意图] 通过一道实际问题,自然地引出对三角形角平分线性质的探究,通过类比线段垂直平分线
和角平分线之间的相似性,使学生初步感受数学对象之间的相互联系体验,从而找出解决问题的方法.
例题讲解
[过渡语] 请同学们类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证,并尝试完成证
明过程.
(教材例2)求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
已知:如图所示,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,
垂足分别为D,E,F.
求证:∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.证明:∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E.
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
即∠BAC的平分线经过点P.
在证明过程中,我们除了证明三角形的三条角平分线相交于一点之外,还得到PD=PE=PF,即这个交点
到三角形三边的距离相等.
于是,我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点
到三条边的距离相等.
下面我们通过列表比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理:
[设计意图] 此处内容的证明与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似,因此在证明结论
时,引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考,加深学生对定理的理解与
应用.
(教材例3)如图所示,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4 cm,求AC的长;
(2)求证AB=AC+CD.
〔解析〕 求AC的长可转化为求BC的长,而BC=CD+DB,CD=4 cm,求出DB的长即可.要证
AB=AC+CD,转化为证明AB=AE+BE,所以需证AC=AE,CD=BE.
解:(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E,
∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC(等边对等角).
1
∵∠C=90°,∴∠B= ×90°=45°.
2
∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中,
BD=❑√2DE2=4❑√2 cm,
∴AC=BC=CD+BD=(4+4❑√2)cm.
证明:(2)由(1)的求解过程易知,
Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).
∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
[知识拓展] 莫莱定理:
如图所示,在三角形ABC中,设分别接近于三边BC,CA,AB的各内角的三等分线相交于D,E,F,则△DEF
是一个等边三角形.
本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形的三条角平分线相交于一点,且这一点
到三条边的距离相等.并综合运用我们前面学过的定理解决几何中的计算和证明问题.
1.如图所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系是 ( )
A.PC>PD B.PC=PD
C.PC<PD D.不能确定
答案:B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10,BD∶CD=3∶2,则点D到AB的距离是 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:根据角平分线性质可知点D到AB的距离与CD相等.由BD∶CD=3∶2,BC=10,解得CD=4.故选A.
3.在△ABC中,∠C=90°,E是AB边的中点,BD是角平分线交AC于D,且DE⊥AB,则 ( )
A.BC>AE B. BC=AE
C. BC<AE D. 以上都有可能
答案:B
4. 如图所示,点P是∠CAB的平分线上一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC于点E,如果PF=3 cm,那么PE=
.
答案:3 cm
5.如图所示,DB⊥AB,DC⊥A C,BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD= ,∠CDA= .
解析:根据“HL”定理可证Rt△ABD≌Rt△ACD,可以得出∠BAD=∠CAD=40°,在Rt△ACD中,∠CDA=90°-
40°=50°.
答案:40° 50°第2课时
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第31页随堂练习.
【选做题】
教材第32页习题1.10的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点P是∠BAC的平分线AD上一点,且PE⊥AC于点E,已知PE=5,则点P到AB的距离是 (
)
A.3 B.4 C.5 D.6
2. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AE=AC,下列结论中错误的是 ( )
A.DC=DE B.∠AED=90°
C.∠ADE=∠ADC D.DB=DC
3.到三角形三边距离相等的点是 ( )
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不能确定
4.如图所示,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长
为 ( )
A.4 cm B.6 cm
C.10 cm D.以上都不对
5.如图所示,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择
的地址有 ( )
A.一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处【能力提升】
6.如图所示,C为∠DAB内一点,CD⊥AD于D,CB⊥AB于B,且CD=CB,则点C在 .
7.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
【拓展探究】
8.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,AE与BD相交于点C.求证AC=BC.
9.如图所示,某铁路MN与公路PQ相交于点O,且夹角为90°,其仓库G在A区,到公路和铁路距离相等,且到
铁路图上距离为1 cm.
(1)在图上标出仓库G的位置;(比例尺为1∶10000,用尺规作图)
(2)求出仓库G到铁路的实际距离.
10.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处,距公路400
m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)学校距铁路的距离是多少?
(2)请写出学校所在位置的坐标.
【答案与解析】
1.C
2.D(解析:可证△ADE和△ADC全等得到选项A,B,C的结论正确.)
3.C
4.B (解析:可证△ADE≌ADC,得AE=AC=BC,DE=CD.DE+BD=DB+CD=BC,所以△DEB的周长
=DE+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB.)
5.D(提示:根据角平分线性质可知.)6.∠DAB的平分线上 (提示:根据角平分线的性质定理的逆定理可解.)
7.3
8.证明:∵∠1=∠2,BD⊥OA,AE⊥OB,∴CD=CE.∵∠DCA=∠ECB,∠ADC=∠BEC=90°,∴△ACD≌△BCE,∴AC=BC.
9.解:(1)图略,仓库G在∠NOQ的平分线上. (2)仓库G到铁路的实际距离是100 m.
10.解:(1)∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上,∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等.∵点P到公路
的距离是400 m,∴点P(学校)到铁路的距离地是400 m. (2)学校所在位置的坐标是(400,-400).
教学中引导学生分析解题思路,使学生学会思考问题,同时注意书写格式.在证明的选题上,注意减缓坡
度,循序渐进.
教学语言不精炼,有的话重复了好几遍,另外课堂提问质量不高.
许多学生学习定理后,遇到相对应的题目往往不知道该怎样用定理,如果通过具体情境给出定理,那么学
生就能够比较容易地运用定理.如果用数学语言给出条件,让学生得出结论,那么也能强化学生对定理的运
用能力.
随堂练习(教材第31页)
证明:过点F作FH⊥AC于H,∵AD,CE是角平分线,交点为F,又∵FM⊥AB,FN⊥BC,∴FH=FM,FH=FN(角平分
线的性质),∴FM=FN,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,又∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴∠DAC=∠BAD=15°,
在△DAC中,∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=75°.∵∠BEC是△EAC的外角,∴∠BEC=∠BAC+∠ECA=30°+45°=75°,∴
在△EMF和△DNF中,∠EMF=∠DNF=90°,∠MEF=∠FDN=75°,FM=FN,∴△EMF≌△DNF(AAS),∴FE=FD.
习题1.10(教材第32页)
1.证明:∵∠C=90°,∠B=30°,∴在Rt△ABC中,∠BAC=60°.又∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=∠B=30°,∴BD=AD,
1 1
在Rt△ADC中,∵∠DAC=30°,∴DC= AD,∴DC= BD,即BD=2CD.
2 2
2.证明:过点F作FM⊥BD于M,作FN⊥BC于N,作FP⊥CE于P,∵BF平分∠CBD,∴FM=FN.同理
FN=FP,∴FM=FP,又FM⊥AD,FP⊥AE,∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明:(1)∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.又∵OP=OP,∴△COP≌△DOP(HL),∴OC=OD. (2)由(1)
知OC=OD,∴三角形COD是等腰三角形,又OP是∠AOB的平分线,∴根据等腰三角形“三线合一”的性质,
可得OP是CD的垂直平分线.
4.解:(1)油库建在∠A的平分线上. (2)油库建在∠A,∠B,∠C三个角的平分线的交点处.
复习题(教材第33页)
1.已知 两直线平行,内错角相等 已知 两直线平行,同位角相等 等量代换
2.证明:∵AD∥CB,∴∠DAC=∠ACB,又∵AD=CB,AC=AC,∴△ABC≌△CDA(SAS).
3.证明:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵∠ABD=∠ACE(已知),∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,即
∠OBC=∠OCB,∴OB=OC. (2)在△BEC和△CDB中,
∵∠ABC=∠ACB,BC=BC,∠OBC=∠OCB,∴△BEC≌△CDB(ASA),∴BE=CD.
4.证明:在△BEC和△CDB中,∵BD,CE是△ABC的高,∴∠BEC=∠BDC=90°,又∵BD=CE(已知),
BC=BC,∴△BEC≌△CDB(HL),∴∠EBC=∠DCB,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.❑√3 3
5.解:∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.∵AB=❑√3,∴BC= ,由勾股定理可得AC= .
2 2
6.证明:∵AN⊥OB,BM⊥OA,∴∠ONA=∠BMO=90°,又∵∠BPN=∠APM(对顶角相等),∴∠B=∠A,又
∵OM=ON,∴△ONA≌△OMB(AAS),∴OA=OB,∴OA-OM=OB-ON,即AM=BN,在Rt△BNP和Rt△AMP中,
∠A=∠B,∠BNP=∠AMP=90°,AM=BN,∴△BNP≌△AMP(ASA),∴PM=PN.
7.(1)证明:∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D在MN上(已知),∴CA=CB,DA=DB,∴△ABC,△ABD是等腰三角形.
(2)在△ABC中,∵CA=CB,∴∠CAB=∠CBA,同理,在△ABD中,∠DAB=∠DBA,∴当C,D在线段AB的同侧时,不妨设
点C到AB的距离大于点D到AB的距离,∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,∴∠CAD=∠CBD.当C,D在线段AB的
异侧时,∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,即∠CAD=∠CBD.综上,∠CAD=∠CBD.
8.解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形.
1 ❑√2 ❑√2
9.解法1:∵∠BAC=90°,AB=AC=a,∴BC=❑√2a.又∵AD⊥BC,∴BD= BC= a.又∵∠ABC=45°,∴AD=BD= a.
2 2 2
1 1 1 1
解法2:∵∠BAC=90°,AB=AC=a,∴BC=❑√2a.∵△ABC的面积是 ×BC×AD= ×AB×AC,即 ×❑√2a×AD=
2 2 2 2
❑√2
×a×a,∴AD= a.
2
10.提示:Rt△AEO≌Rt△ADO,Rt△BEO≌Rt△CDO,Rt△MOB≌Rt△MOC.证明略.
11.证明:连接BE,∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∴∠A=∠EBA=30°,又∵∠C=90°,∴∠EBC=30°,∴在Rt△ECB
1 1
中,EC= BE,∴EC= EA,即AE=2CE.
2 2
12.解:在四边形BCDE中,∵∠C=∠BED=90°,∠B=60°,根据四边形内角和等于360°,可求得∠EDC=360°-90°-
90°-60°=120°,∴∠ADE=180°-120°=60°,又∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,∵在Rt△AED中,ED=1,∴AD=2ED=2,又
1 (1 ) 2
∵DC=2,∴AC=2+2=4.∴在Rt△ACB中,BC= AB,根据勾股定理,得BC2+AC2=AB2,即 AB +42=AB2,可求得
2 2
8❑√3 1 8❑√3 4❑√3 1 1 4❑√3 8❑√3
AB= ,∴BC= × = ,∴S = BC·AC= × ×4= .
3 2 3 3 △ABC 2 2 3 3
13.提示:条件:①∠DBA=∠CAB;②∠CBA=∠DAB;③AC=BD;④BC=AD.证明略.
14.证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,则底角是直角或钝角,则两底角之和大于或等于180°.这与三角形
的内角和定理矛盾,故假设不成立.所以等腰三角形的底角必为锐角.
15.解:△AFD是直角三角形.理由如下:在△ABC中,∵∠B=64°,∠BAC=72°,根据三角形的内角和定理可得
∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-64°-72°=44°,在△ABD中,∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=64°.∵∠ADB是△ADC的外角,
∴∠ADB=∠C+∠DAC,即64°=44°+∠DAC,∴∠DAC=20°.在△ADE中,∵AD=DE,∴∠DAE=∠E=55°,∴∠ADE=180°-
∠DAE-∠E=70°,在△AFD中,∠ADE=70°,∠DAC=20°,∴∠AFD=180°-70°-20°=90°,即△AFD是直角三角形.
16.解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴BE+EC=AC.∵△EBC的周长为8,∴AC+BC=8.∵AC-
BC=2,∴AC=5,BC=3.17.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,又∵AD=BE=CF,∴AB-AD=BC-BE=AC-CF,即
BD=EC=AF,在△ADF和△BED中,∵AD=BE,∠A=∠B,AF=BD,∴△ADF≌△BED(SAS),∴DF=DE,同理,可证得
△ADF≌△CFE,∴DF=EF,∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.
18.解:如图所示.
1
19.解:如图所示,AB=AC=5,BC=6,过点A作AD⊥BC,利用三线合一得到D为BC的中点,即BD=CD= BC=3,
2
1
在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD=❑√AB2-BD2=4,则S = ·BC·AD=12.
△ABC 2
已知:如图所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'.
求证:
(1)∠ABC=∠ABC';
(2)BC=BC'(要求:不用三角形全等判定).
〔解析〕 由条件∠C=∠C'=90°,AC=AC',可以把点A看做是∠CBC'平分线上的点,由此可打开思路.
证明:(1)∵∠C=∠C'=90°(已知),
∴AC⊥BC,AC'⊥BC'(垂直的定义).
∵AC=AC'(已知),
∴点A在∠CBC'的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴∠ABC=∠ABC'.
(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC')(三角形内角和定理),
即∠BAC=∠BAC'.
∵AC⊥BC,AC'⊥BC',
∴BC=BC'(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).已知:P是AD上一点,如图所示,在△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,且点D到PE
的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.
〔解析〕 根据角平分线的判定定理推导出∠1=∠2,再利用两直线平行,同位角相等推得
∠1=∠3,∠2=∠4,由等量代换得∠3=∠4,最后由角平分线的定义得证.
解:AD平分∠BAC.理由如下:
∵点D到PE的距离与到PF的距离相等,
∴点D在∠EPF的平分线上.
∴∠1=∠2.
∵PE∥AB,∴∠1=∠3.同理,∠2=∠4.
∴∠3=∠4,
∴AD平分∠BAC.
[解题策略] 由角平分线的判定定理得出PD平分∠EPF是解决本题的关键.
在回顾与思考中建立本章的知识结构图,复习有关定理的探索过程与证明方法,能用尺规作出满足条件
的图形.
进一步体会证明的必要性,使学生具有初步的演绎推理能力;进一步掌握综合法的证明方法,结合实例体
会反证法的含义;提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
通过积极参与数学学习活动,对数学的证明产生好奇心和求知欲,培养学生养成合作交流,以及独立思考
的良好习惯.
【重点】 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固.
【难点】 本章知识的综合性应用.专题一 三角形的角平分线
【专题分析】
角平分线是三角形中的重要线段,在求点到直线的距离、证明线段相等、轴对称等问题上有着广泛应
用.
如图所示,△ABC的两个外角∠MAC,∠NCA的平分线相交于点P,求证点P在∠B的平分线上.
〔解析〕 判断一个点是否在一个角的平分线上有两个基本方法:一是判断两个角相等;二是看这个点
到角的两边距离是否相等.本题只是交代了相关角平分线的交点,隐含着点到角两边的距离,这是添加辅助
线应该思考的重点.
证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是D,E,F,
因为点P在∠MAC的平分线上,
所以PD=PE.
同理,PE=PF.
所以PD=PF,
所以点P在∠B的平分线上.【针对训练1】 如图所示,BF⊥AC,CE⊥AB,CE,BF相交于点D,且 BD=CD.求证点D在∠BAC的平分
线上.
〔解析〕 本题要证明AD是∠BAC的平分线,应该重点考虑点D到角两边的距离DE和DF,如果能够
证明DE等于DF,问题即可解决.
证明:在△BDE和△CDF中,
∵∠BED=∠CFD=90°,∠BDE=∠CDF,BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF.
又∵CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分别为E,F,
∴点D在∠BAC的平分线上.
[规律方法] 几何题中“已知角的平分线”这一条件,一般有下面几个方面的应用:(1)利用“角平分线
上的点到这个角的两边距离相等”的性质,证明两条线段相等;(2)利用角是轴对称图形,构造全等三角形;(3)
构造等腰三角形.
专题二 证明线段相等
【专题分析】
证明两条线段相等是几何证明的基础,在此基础上延伸到线段之间的和差关系.中考中会以不同的知识
层次和要求、结合三角形、四边形、圆等知识内容考查线段之间的数量关系.
如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB边上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE
交BC于F.求证DF=EF.
〔解析〕 要证DF=EF,只需证明DF与EF所在的三角形全等,但由于DF所在的△DFB与EF所在的
△EFC明显不全等,故应考虑添加辅助线.
证明:作DG∥AC交BC于点G,
所以∠DGF=∠ECF,∠DGB=∠ACB,
由AB=AC,得∠B=∠ACB,
所以∠DGB=∠B,DG=BD=CE,
在△DFG与△EFC中,∠DGF=∠ECF,∠DFG=∠EFC(对顶角相等),DG=CE,
所以△DFG≌△EFC,所以DF=EF.
【针对训练2】 如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交
AC于F.求证AF=EF.
〔解析〕 根据等角对等边证明线段AF=EF.
证明:延长AD到G,使DG=AD,连接BG.
∵AD=GD,∠ADC=∠GDB,CD=BD,
∴△ADC≌△GDB.
∴AC=GB,∠FAE=∠BGE.
∵BE=AC,∴BE=BG,∴∠BGE=∠BEG.
∴∠FAE=∠BEG=∠AEF.∴AF=EF.
专题三 有一个锐角是30°的直角三角形
【专题分析】
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这一性质在各类考试中
经常出现,利用它的关键是设法构造出有一个锐角等于30°的直角三角形.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E.若DE=1,求BC的长.
〔解析〕 连接AD,根据题意构造含有30°角的直角三角形,则有AD=BD=2,则CD=2AD=4,所以BC的
长可求.
解:连接AD.∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,∠DEB=90°.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
1
在Rt△BDE中,∠B=30°,∴DE= BD.
2
∵DE=1,∴BD=2.
∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°.
∵∠C=30°,
1
∴在Rt△ADC中,AD= CD,即CD=2AD=2BD=4.
2
故BC=CD+BD=4+2=6.
【针对训练3】 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,D为AB的中点,DE⊥AC于E,∠A=30°,求
BC,CD和DE的长.
〔解析〕 由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可求出BC的长.由直角三角形斜边
中线的性质可求出CD的长,在Rt△ADE中,有∠A=30°,则DE的长可求.
解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
1
∴BC= AB=4.
2
∵D为AB的中点,∴CD为AB边上的中线.
1
∴CD=AD=BD= AB=4.
2
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°.
在Rt△ADE中,∠A=30°,
1
∴DE= AD.
2
1
∵AD= AB=4,
2
1
∴DE= AB=2.
4专题四 线段的垂直平分线
【专题分析】
线段的垂直平分线是与三角形、四边形、圆、对称图形、尺规作图等知识相结合的考点之一,题型多
样化,考查方向综合化、应用化.
如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BD,CE相交于点O.
求证点O在BC边的垂直平分线上.
〔解析〕 按照思路提示:点O在BC的垂直平分线上⇒OB=OC⇒∠OBC=∠OCB.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
1 1
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB(角平分线的定义),
2 2
∴∠OBC=∠OCB(等量代换),
∴OB=OC(等角对等边),
∴点O在BC边的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
【针对训练4】 如图所示,A,B,C三个居民区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个超市,
使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠BAC,∠ABC的两条平分线的交点处
〔解析〕 要求到三个小区的距离相等,首先考虑到A小区、C小区距离相等,根据线段垂直平分线定
理的逆定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上,同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC
的垂直平分线上,于是到三个小区的距离相等的点应是其交点,答案可得.故选C.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.三条边都相等的三角形是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
2.等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则这个三角形的周长为 ( )
A.17 B.22
C.13 D.17或22
3.一架2.5 m长的梯子斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距离墙底端0.7 m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4
m,那么梯子底端将滑行 ( )
A.0.9 m B.1.5 m C.0.5 m D.0.8 m
4.三角形中,若一个角等于其他两个角的差,则这个三角形是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形5.如图所示,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则
BD的长为 ( )
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
6.下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.直角三角形的两个锐角互余
B.等腰三角形两腰上的高相等
C.全等三角形的周长相等
D.有一个锐角对应相等的两直角三角形相似
7.(2015·大连中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=❑√5,则BC的长为 (
)
A.❑√3-1 B.❑√3+1
C.❑√5-1 D.❑√5+1
8.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是 ( )
36 12 9 3❑√3
A. B. C. D.
5 25 4 4
10.(2015·桂林中考)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连
接PD,以PD为边,在PD右侧按如图所示的方式作等边三角形DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动
的路径长是 ( )
A.8 B.10 C.3π D.5π
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.在直角三角形中,如果一个锐角为30°,而斜边长与较小直角边长的和为12,那么斜边长为 .
12.(2015·广东中考)如图所示,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,若S =12,则图中阴影部分的面
△ABC
积是 .
13.等腰直角三角形中,若斜边与斜边上的高的和是18 cm,则斜边长为 cm.
14.“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是 .
15.如图所示,ED为△ABC的AC边的垂直平分线,且AB=5,△BCE的周长为8,则BC= .16.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E,若DB=10 cm,则AC=
cm.
17.在△ABC中,AB=AC,∠A=58°,AB边的垂直平分线交AC于N,则∠NBC= .
18.在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD= .
三、解答题(共58分)
19.(9分)如图所示,在等腰三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,直线l经过点C(点A,B都在直线l的同侧),
AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E.求证△ADC≌△CEB.
20.(9分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DF⊥BC交AC于点E,交BA的延长线于点
F,求证AE=AF.
21.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,且BD=AD=10,∠ADC=60°,求△ABC的面积.
22.(9分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
1
23.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD= ∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求
2
1
证CD= DB.
2
24.(12分)如图所示,已知点B,C,D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE
于H.
(1)求证△BCE≌△ACD;
(2)求证CF=CH;(3)判断△CFH的形状,并说明理由.
【答案与解析】
1.A
2.B (解析:当腰长为4时,则三角形的三边长为4,4,9.∵4+4<9,∴不能构成三角形,因此这个等腰三角形的三边
长为9,9,4,则其周长为9+9+4=22.故选B.)
3.D(解析:根据勾股定理求得第一次梯子的顶端距地面的竖直高度是2.4 m,如果梯子的顶端下滑0.4 m,即第
二次梯子的顶端距地面的竖直高度是2.0 m,因为梯子的长度不变,根据勾股定理,得此时梯子底端距离墙底
端的距离是1.5 m.所以梯子底端将滑行1.5-0.7=0.8(m).)
4.B(解析:设三角形的三个角分别∠A,∠B,∠C,则由题意,得∠A+∠B+∠C=180°,∠A-∠B=∠C,解得∠A=90°,故这个
三角形是直角三角形.)
1 1
5.D(解析:由已知条件知△BEC为等腰三角形,且BC=CE.由等角对等边知AE=BE,则易求得BD= BE= AE=
2 2
1
(AC-BC)=1.)
2
6.C(解析:A.其逆命题是“在一个三角形中,如果有两个角的和是90°,那么这个三角形是直角三角形”,正确,
所以有逆定理;B.其逆命题是“如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形”,正确,所
以有逆定理;C.其逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”,错误,所以没有逆定理;D.其逆命题是“如
果两个直角三角形相似,那么它们有一锐角对应相等”,正确,所以有逆定理.故选C.)
7.D(解析:∵∠C=90°,∴DC=❑√AD2-AC2=❑√(❑√5)2-22
=1.∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=2∠B,∴∠B=∠BAD,∴BD=AD=❑√5.∴BC=❑√5+1.故选D.)
8.C
9.A(解析:如图所示.在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理,得AB=15.过点C作CD⊥AB,交AB于点D,则
1 1 36 36
由S = AC·BC= AB·CD,得CD= .∴点C到AB的距离是 .)
△ABC 2 2 5 5
10.A(解析:如图所示,考虑两个特殊位置,点P与点E重合及点P与点A重合,设点P与点A重合时点F运动
到点F',可以证得△DFF'≌△DEA,所以AE=FF',即AE=AB-BE=8,故选A.)
11.8(解析:设较小的直角边长是x,则根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半得到斜边长是2x,
根据题意,得x+2x=12,解得x=4,即2x=8.所以斜边长是8.)
12.4(解析:如图所示,各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥,∵△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为
G,∴AG=2GD.∴①=②,③=⑥,④=⑤,①+②=2③,④+⑤=2⑥.∵S
△ABC
=12,∴①+②+③+④+⑤+⑥=12.∴①+②+①+② ④+⑤ 2② 2⑤
+④+⑤+ =12,∴2②+ +2⑤+ =12,3(②+⑤)=12,∴②+⑤=4,即图中阴影部分的面积
2 2 2 2
是4.)
13.12(解析:因为等腰直角三角形中,斜边上的高即是斜边上的中线,所以高等于斜边的一半.已知斜边与斜边
上的高的和是18 cm,则高是6 cm,斜边长是12 cm.)
14.如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
15.3(解析:∵ED为边AC的垂直平分线,∴AE=EC.∵AB=AE+EB=5,∴△BCE的周长
=AE+BE+BC=AB+BC=8,∴BC=8-5=3.)
16.5(解析:连接AD,∵AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E,∴AD=BD=10
1
cm,∠DBA=∠BAD=15°,∴∠ADC=30°,∴AC= AD=5 cm.)
2
17.3°(解析:∵AB=AC,∠A=58°,∴∠ABC=∠ACB=61°.∵AB的垂直平分线交AC于
N,∴AN=BN,∴∠A=∠NBA=58°,∴∠NBC=∠ABC-∠NBA=61°-58°=3°.)
1
18.4(解析:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴DB=DC= CB=3,AD⊥BC.在Rt△ABD中,由AD2+BD2=AB2,得
2
AD=4.)
19.证明:∵∠ACB=90°,∴∠DCA+∠BCE=90°.又∵∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.又∵∠ADC=∠CEB=90°,且
AC=CB,∴△ADC≌△CEB.
20.证明:因为DF⊥BC于D,所以∠F+∠B=90°,∠C+∠DEC=90°.因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以
∠F=∠DEC=∠AEF,所以AE=AF.
21.解:∵∠C=90°,∠ADC=60°,∴∠CAD=30°.∵BD=AD=10,∴DC=5,AC=5❑√3,∴BC=BD+CD=15,∴△ABC的面积=
1 75❑√3
×5❑√3×15= .
2 2
22.(1)证明:∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°.在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD,CD=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL). (2)解:∵DC=DE=1,DE⊥AB,∴∠DEB=90°.∵∠B=30°,∴BD=2DE=2.
23.证明:如图所示,∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠3=∠4.又
1
∵DE=DE,∴△BED≌△AED(ASA),∴AD=BD,∠2=∠B.∵∠BAD=∠2= ∠BAC,∴∠1=∠2=∠B.又
2
1 1
∵∠1+∠2+∠B=90°,∴∠B=∠1=∠2=30°.在直角三角形ACD中,∠1=30°,∴CD= AD= BD.
2 2
24.(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴∠BCA=∠DCE=60°,BC=AC=AB,EC=CD=ED,∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,∴△BCE≌△ACD(SAS). (2)证明:由(1)知
△BCE≌△ACD,∴∠CBF=∠CAH.∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACH=60°.∴∠BCF=∠ACH.在△BCF和△ACH中,
∠CBF=∠CAH,BC=AC,∠BCF=∠ACH,∴△BCF≌△ACH(ASA),∴CF=CH. (3)解:△CFH是等边三角形.理由如下:
∵CF=CH,∠ACH=60°,∴△CFH是等边三角形.
