文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.4.2三角形的垂直平分、尺规作图教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 课时 1
1、会用尺规作图;已知底边和高作等腰三角形；三角形的垂直平分线。
课标 2、理解并证明三角形的垂直平分线相交于一点（外心），这个点到三角形三个顶点的距离相等。
要求 并运用知识进行相应的技术和证明。
在本章的前几节课，学生已经经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，体会到了证明的必
要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达
定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思
想、类比思想、转化思想的应用.
教材
本节课的主要任务是性质和判定的应用。利用两个定理和线段垂直平分线的尺规作图，作出
分析
“已知底边和底边上的高，作等腰三角形”这个基础图形，从而拓展为“已知直线和直线上一
点，作出该直线的垂线”、“已知直线和直线外一点，作出该直线的垂线”。通过对三角形三边
垂直平分线的探究，得到“三角形三边垂直平分线的性质”，即“三角形的三边垂直平分线相
交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离都相等”。这一结论，就是九年级下册第三章
《圆》中，三角形外接圆圆心的确定方法，为以后的学习奠定了理论基础.
学生已经学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图，为本节课打下了知
识基础.且八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成
了较好的参与和合作意识，并能在教师引导下进行必要的探究；并且通过对前面相关内容的学
学情
分析 习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但证明三角形三边垂直
平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导
学生理解．
1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步
核心
发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.
素养
目标 2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图
形；体会转化的思想.
教学 三角形三边垂直平分线性质定理的证明.
重点
教学 用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线；
难点
教学 课件、导学案
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、垂直平分线性质定理： 1、回顾线段 温故知新，为新
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相
的垂直平分线 授奠基
等.
如图, 的性质定理和
判断定理，用
数学语言描述
垂直平分线定
理。
∵ AC=BC,
2、回顾线段
MN⊥ A B,
1P是MN上任意一点(已知), 的垂线平分线
∴ PA=PB
的作法。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一).
2、逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某
一点)的根据之一)
1、已知: 线段AB,（如图）.求作: 线段AB的垂直平分
线.
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以
大于 AB 的长为半径作弧，
两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．直线CD就是线
段AB的垂直平分线．
三、探究 合作探究，活动领悟 尺规准确作出 从简单入手按要求
探究尺规作图： 符合条件的几 作图，要求学生能
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三 何图形：已知 说出作图的根据和
角形吗? 直线（或线 作图步骤。
段）的垂线，
能作出无数个，所作出的三角形不一定全等 口述作法。
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作
出等腰三角形吗?能作几个?这些三角形全等吗？
能作2个（底边不同侧各一个）这些三角形全等。
作法
①、作底边AB，
②、作底边的垂直平分线PO，取
OC等于高。
③、连接AC、BC，三角形ABC为
所求。
（3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使
AB=AC,BC=a,高AD=h,
2作法
①、作线段BC=a，
②、作线段BC的垂直平分线m,
交BC于D。
③、在直线 m 作线段 DA,使
DA=h。
④、连接AB、AC，△BAC就是
要作的三角形。
（4）如图1-27，已知L和直线外
一点P,用尺规作直线L的垂线，
使它
经过
点P
作法
①、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。
②、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L
于点A、B。
③、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的
直线。
四、变式 例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交 1、证明“三 通过例题的证明得
于点P. 角形三条边的 到“三角形三条边
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC． 垂直平分线相 的垂直平分线相交
交于一点, 并 于一点, 并且这一
且这一点到三 点到三个顶点的距
个顶点的距离 离相等”三角形三
相等.” 条边上垂直平分线
2、线段的垂 的交点叫三角形的
直平分线和角 外接圆圆心【外
平分线的综合 心】，这个点到三
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个 运用。 角形顶点的距离是
交点. 要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条 外接圆半径
直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面 例题2，是线段的
垂直平分线和角平
刚刚学到的逆定理.
分线的综合运用，
3证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上， 培养学生综合运用
∴PA=PB． 知识解决实际问
同理PB=PC． 题。
∴PA=PB=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上)．
即 边AC的垂直平分线经过点P.
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这
一点到三个顶点的距离相等.
三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆
圆心【外心】，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半
径
例题2：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∴ OE是CD的垂直平分线.
五、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ A 练习 堂练习的完成过程
） 中对要点知识加深
A．AB垂直平分CD； 巩固，有效应用。
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平
4分；
D．CD平分∠ ACB ．
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝
DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 无数
种.
3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC
上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是(
D )
4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，
AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，
AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面
积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、
AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的
△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）△BMD周长的最小值是 5. 5 ．
解：如图所示为所作图形
5能力提升：
6. 如图，点M 和点N在∠AOB
内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且
到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）请说明作图理由．
解(1)：如图所示为所作图 形
(2)作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段
MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直
平分线的交点即为所求．
拓展迁移
7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在
边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D
在EG上运动，求△DFC周长的最小值．
解：作底边BC上的高AH，如下图
∵BC=20，面
积 为 120 ，
∴AH=12
6∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5
∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC
当A、D、F三点共线△DFC周长的最小
HC=10, FC=5 ，HF=5
∴AF=
△DFC周长的最小值=FC+CD+DF
=FC+AD+DF
=FC+AF=18
8.阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经
过点C．
小艾的作法如下：
如图，(1)在
直线AB上取
一点D，使点
D 与点 C 不
重合，以点C
为圆心，CD
长为半径作
弧，交AB于D、E 两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，
两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
所以直线CF就是所求作的垂线．
请回答：小艾这样作图的依据是:等腰三角形“三线合
一”，两点确定一条直线．
六、提升 线段的垂直平分线 引导学生进行 引导学生从知识内
一、尺规作图； 课堂总结 容、研究方法以及
1、已知三角形的底和高求作三角形。 运用过程三个方面
2、过直线外一点，作直线的垂线。 总结自己的收获，
73、作三角形三边的垂直平分线（中垂线） 让学生全面把握本
二、三角形三边的垂直平分线 节课的重点和难
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点 点，并启发学生用
是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的 类比或迁移的方法
距离相等. 学习后续课程。
三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆
圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径。
板书设计 三角形的垂直平分线 利用简洁的文字、
三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 符号、图表等呈现
PA=PB=PC=外接圆半径R 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ D ）
习） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么( B )
A. CD垂直平分AB
B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB
D. ∠ACB=∠ADB=90°
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两 点，则EA
＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 ①②③ （填序号）.
4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，
使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示为所作图形
85. 如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作
图痕迹是( C ）
能力提升：
6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你
帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
解：如图所示把半圆分成三等分。
作法：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径
画弧，分别交半圆于点M,N；
（3）连接OM，ON即可．
拓展迁移：
7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分 线与AB
的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ C ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
解答提示：延迟AO交BC于H
∠BOA=∠ABO=25°
∠B=65° ，∠0BC=40°
∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40°
∠OEC=100° 求出∠CEF=50°
8.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、
E．
（1）若BC=5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数
9解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA=DB,EA=EC
△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+EC+ED=BC=5
(2) ∵DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE
∵∠BAD+∠CAE=60°
∴∠B+∠C=60°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
教学反思
10
