文档内容
第一章 三角形的证明
1.4.2三角形垂直平分线、尺规作图导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展
学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.
2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；
体会转化的思想.
学习重点：
三角形三边垂直平分线性质定理的证明.
学习难点：
用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线；
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预习自测
一、知识链接
1、垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,， P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一).
2、逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线
上.
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一)
1、已知: 线段AB,（如图）.求作: 线段AB的垂直平分线.
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
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教学过程
二、合作交流、新知探究
探究尺规作图：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
能作出 个，所作出的三角形是否全等？
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?这些三角形全等
吗？
能作 个，这些三角形全等吗？
作法
①、作底边AB，
②、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。
③、连接AC、BC，三角形ABC为所求。
（3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h,
作法
①、作线段BC=a，
②、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。
③、在直线m作线段DA,使DA=h。
④、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。
（4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线
L的垂线，使它经过点P
作法
①、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。
②、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L
2于点A、B。
③、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的
直线。
探究三角形的垂直平分线
例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想
证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线
上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上( )．
即 边AC的垂直平分线经过点P.
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
即 = = 。
【强调】三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距
离是外接圆半径
例题2：已知：如图，点 E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE( ）
∴ OE是CD的垂直平分线.
三、课堂练习、巩固提高
3基础达标：
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有
种.
3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正
确的是( )
4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别
交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画
法）．
（2）△BMD周长的最小值是 ．
能力提升：
6. 如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）请说明作图理由．
4拓展迁移
7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分
线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值．
8.阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
小艾的作法如下：
如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于
D、E 两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
所以直线CF就是所求作的垂线．
请回答：小艾这样作图的依据是:
5。
四、总结反思、拓展升华
线段的垂直平分线
一、尺规作图；
1、已知三角形的底和高求作三角形。
2、过直线外一点，作直线的垂线。
3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线）
二、三角形三边的垂直平分线
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三
个顶点的距离相等.
三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接
圆半径。
五、【作业布置】
基础达标：
1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么( )
A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB D. ∠ACB=∠ADB=90°
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝
PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使
点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
65. 如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹
是( ）
能力提升：
6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她
设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
解：如图所示把半圆分成三等分。
拓展迁移：
7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C
沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
78.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数
课堂作业参考答案
1、A
2、无数
3、D
4、证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
8∴AO=BO.
5、（1）解：如图所示为所作图形
（2）5.5
6、解(1)：如图所示为所作图形
(2)作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN
的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线
的交点即为所求．
7、解：作底边BC上的高AH，如下图
∵BC=20，面积为120，∴AH=12
∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5
∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC
当A、D、F三点共线△DFC周长的最小
HC=10, FC=5 ，HF=5
∴AF=
△DFC周长的最小值=FC+CD+DF=FC+AD+DF =FC+AF=18
8、等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线．
课外作业参考答案
1、D
2、B
3、 ①②③
4、解：如图所示为所作图形
5、C
6、作法：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径
画弧，分别交半圆于点M,N；
（3）连接OM，ON即可．
7、解答提示：延长AO交BC于H
∠BOA=∠ABO=25°
∠B=65° ，∠0BC=40°
∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40°
∠OEC=100° 求出∠CEF=50° H
98、解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA=DB,EA=EC
△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+EC+ED=BC=5
(2) ∵DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE
∵∠BAD+∠CAE=60°
∴∠B+∠C=60°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
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