文档内容
第一章 三角形的证明
1.4.1线段的垂直平分线性质定理与判断定理导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和
能力。
2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
学习重点：
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其判断定理。
学习难点：
运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点。
►
预习自测
一、知识链接
1、线段的垂直平分线是指： 。
2、线段的垂直平分线性质定理：
。
3、线段的垂直平分线判断定理：
。
4、线段的垂直平分线性质定理和判定定理之间的关系是： 。
►
教学过程
探究1证明线段的垂直平分线性质定理：
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点.求证: PA=PB.
分析：要想证明 PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明
△APC≌△BPC. 而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等
公理（SAS). 故结论可证.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC( )
1∴PA=PB( )
几何语言描述
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
探究2：证明线段的垂直平分线性质判断定理：
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点),
然后证明另一个结论正确.
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC和△BPC都是Rt△
∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌Rt△BPC ( )
∴AC=BC ( )
∴ P在AB的垂直平分线上
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴PC⊥AB
即P在AB的垂直平分线上
证法三：
过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC( ）．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
2又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
二、典例精析
例题1、已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线
AO 垂直平分线段BC．
D
证法一：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（ ）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（ ）.
证法二：∵AB=AC,OB=OC,AO=AO
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO, 而AB=AC,AD=AD
∴△ABD≌△ACD( )
∴BD=CD,∠ADB=∠ACD=90°
AD是线段BC的垂直平分线
O在AD上
∴直线 AO 垂直平分线段BC
例题2：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距
离相等，码头应建在什么位置?
分析：连接AB作AB的垂直平分线交河岸边于点C,
C点就是码头的位置
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为 .
2. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm;如果
3∠ECD=60°, 那么∠EDC= ° .
3. 如图，因为AB 是线段CD 的垂直平分线（已知），所以 。
4．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AO=BO B．PO⊥AB C．PO是AB的垂直平分线 D．P点在AB的垂直平分线上
5．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周
长为 cm．
6. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于
50, 求BC的长.
7.如图，在四边形ABCD 中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P，且
PA=PD ．求证：点P 一定在BC的垂直平分线上．
能力提升：
8.如图，已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D，交BC于
E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长度
4拓展迁移
9.如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于
点F，EG⊥AC交AC于点G． 求证：
（1）BF=CG；
（2）AF= （AB+AC）．
四、总结反思、拓展升华
线段的垂直平分线性质定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
五、【作业布置】
基础达标：
1. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
5A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边中线的交点
2.如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等
于（ ）
A.100° B.105° C.115° D120°
第2题 第3题 第4题
3.如图，BC=10,BD=6,AD=4，则点D在线段 垂直平分线上．
4.如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为 ．
5.下列条件中，不能判定MN是线段AB（M、N不在AB上）的垂直平分线。（ C ）
A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB D.MA=MB,MN平分AB
6.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，
交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，求BE的长
能力提升：
8.如图，三角形ABC是等边三 角形，P是∠ABC平分线BD上的一点，
PE⊥AB于E，线段BP的垂直 平分线交BCy于F,垂足为点Q,若
6BF=2,则PE为 。
第8题 第9题
9，如图所示，在△ABC中AB=AC= ,BD，CE为△ABC的两条中线相交于N,且BD⊥CE,M为线段
BD上的动点，则AM+EM的最小值是 。
拓展迁移：
10.如图所示AC=AD,BC=BD
(1) 请探究AB与CD的关系，并说明理由。
（2）要想AB与CD互相垂直平分，你认为除原有条件外，还需要添加什么条件
课堂作业参考答案
1、40°
2、7，60°
3、AB⊥CD,CD = DO
4、D
5、8
6、解：∵DE为AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长等于50
7∴BE+EC+BC=50
即：AE+EC+BC=50
∴AC+BC=50
∵AC=27
∴BC=23
7、解：如图，连接PB、PC
因为点P是AB，CD的垂直平分线的交点，
所以PA=PB，PD=PC
又因为PA=PD
所以PB=PC，
所以点P一定在BC的垂直平分线上
8、解：BC的垂直平分线交AB于D
∴BD=DC
△ACD的周长是14cm
∴AD+AC+CD=14,即AC+AB=14
AC+AB=14
AB-AC=2
解得AB=8cm,AC=6cm
9、解：（1）连接BE，CE．
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG（HL），
∴BF=CG．
（2）AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠FAE=∠GAE
AE=AE
Rt△AEF≌Rt△AEG(SAS)，
∴AF=AG，
∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，
∴AB+AC=AF+AG=2AF，
8∴AF= （AB+AC）
课外作业参考答案
1、A
2、C
3、AC
4、60°
5、C
6、证明：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
7、解：∵ DE垂直平分AB，∴∠BDF=90°
∴∠ABC+∠F=90°，∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠F=30°
∴E在线段AB的垂直平分线上∵BE=AE
∠A=∠ABE=30°
∴BE=2DE=2
8、
9、
解答提示：作点A关于BD的对称点H,连接EH 交BD于M,AM=MH,根据两点之间距离最短，所以AM+EM
的最小值等于HM+EM=EH。
根据ED∥BD,BC=2ED,证△BNC∽△CDN,得到CN=2EN,=2DN,
在Rt△ATH中用勾股定理求出EN=ND=5, BN=CN=10
AJ∥EN,AJ=2EN=10,AH=20,BJ=2BN=20,作AT⊥AB交AB于T
根据
9在Rt△ATH中用勾股定理求出，AT=4 ET=
在Rt△ETH中用勾股定理求出，EH=
10、(1)解：AB垂直平分CD,理由如下：
∵AC=AD
∴点A在CD的垂直平分线上，
∵BC=BD
∴点B在CD的垂直平分线上
∴AB垂直平分CD
(2)添加条件：
∠ACD= ∠BCD或 ∠BAC= ∠ ABC 或∠ADC= ∠BDC
或 ∠BAD= ∠ ABD,或AC=AB或AD=BD
10
