文档内容
第一章 三角形的证明
1.5.2三角形角平分线导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.
2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问
题．
学习重点：
三角形角平分线的性质的证明.
学习难点：
添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题
►
预习自测
一、知识链接
1、角平分线性质定理： .
符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
2、角平分线判断定理： .
符号语言;∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OP平分∠AOB.
二、自学自测
3、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38
页例题2）
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
∴ ∠B=45°
1∴ ∠BDE=45°
∴ BE=DE=4（ ）
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
（ ）
(2) 证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
∴在Rt△ACD和Rt△AED中
DE=CD AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE( ）
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
►
教学过程
一、创设情境、导入新课
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在什么地方？
A
B
C
二、合作交流、新知探究
探究一;三角形的角平分线
1、分别作出△ABC的三条角平分线
A A
A
C
B C B C B
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
22、发现：三角形的三条角平分线相交于一点.并且这点到三边的距离相等
3、证明发现
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC平分线，
∴PD=PE( )．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上，( )．
∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF
4、【强调】：
三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
探究二：
1、三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同?
三条垂直平分线 三条角平分线
锐角三角形 交于三角形内部
交于三角形内部一点
直角三角形 交于斜边中点
钝角三角形 交于三角形外部
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心） 到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
2、问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪
三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
解：由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉
亭的位置，如图所所示.
A
P
三、课B堂练习、巩固提高
C
3基础达标：
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
第1题
第2题 第3题 第4题
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则
△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= .
5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点
M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点
D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 .
第5题
第6题 第7题
能力提升：
7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的
动点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
拓展迁移
8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．
求证：PM=PN
49.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作
BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．
(1)求证：
(2)若AH=AG；
①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；
②说明．BH=2OE
四、总结反思、拓展升华
1、三角形角平分线定理
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH 分 别 是 △ ABC 的 三 条 角 平 分 线 , 且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点
垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）
5角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
五、【作业布置】
基础达标：
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题 第3题 第4题
3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于 的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= .
5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直
线DE交OB于F,若DE=2,则DF= .
6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是
OA上的一点，若满足PD=PM，则OD= .
第5题 第6题 第7题
能力提升：
7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：
①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是 ．
8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点
6F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+1//2∠A;③点O到△ABC各
边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ ）。
A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④
第8题 第9题
拓展迁移：
9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：
（1）证明：DE=DF；
（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长
课堂练习参考答案。
1、C
2、D
3、C
4、16.8
5、D
6、30
7、C
解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分
∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的
高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.
8、解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，
7AB=BC,BD=BD
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
9、(1)证明：∵BE⊥OF于E点，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°=∠BEO
∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，
∴∠ABH=∠AOF
在△ABH和△AOF中
∠ABH=∠AOH
∠BAH=∠OAF=90°
AB=AO
(2)解：①BE是△OBF是角平分线．
理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD
∵AD⊥BO于D点，
∴∠GBD+∠BGD=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠ABH+∠AHB=90°，
∴∠GBD=∠ABH，
∴BE是△OBF是角平分线．
②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，
∵BE是△OBF是角平分线，∴∠EBO=∠EBF
在△BOE和△BFE中
∠EBO=∠EBF
∠BEO=∠BEF=90°
BE=BE
∴△BOE≌△BFE(AAS)
8∴EF=OE=
∴BH=2OE．
课外练习参考答案。
1、D
2、C
3、C
4、1
5、4
6、3或5
7、 ①②④
【解答提示】：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应
角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由
于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定
定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE
不一定成立。故③不一定正确。
所以正确的答案是：①②④
8、A
9、(1)证明：连接AD，
∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴AD分别平分∠CAB
在△ADE和△ADF中
AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD
∴△ADE≌△ADF
∴DE=DF
(2),∠A=60°,AE=AF
∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60°
在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF
△CDN≌△CDF(SAS)
∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120°
∠DNM=60°
同理DE=DM，∠DMB=60°
9∴△DMN是等边三角形，
设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x,
AE=AF=EF=2x
BM=BE=AB-AE=8-2x
CN=FC=AC-AF=5-2x
BC=BM+MN+CN
即7=8-2X+X+5-2X
求出X=2
EF=2X=4
10
