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第一章 三角形的证明
1.5 角平分线
第 2 课时 三角形三条内角的平分线
【素养目标】
1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点)
2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。(难点)
【情境导入】
在一个三角形居住区内修有一个学校P, P到 AB、BC、CA 三边的距离都
相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置， P 在何处？
问题：角平分线的性质和判定是什么？
【合作探究】
探究点、三角形的角平分线
例1 如图，在△ABC中，已知 AC=BC ，∠C=90∘ ，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB ，垂足为 E .
(1) 如果CD = 4cm，求AC的长；
(2) 求证： AB = AC+CD .
第 1 页例2 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB ，垂足分别为E，F, BE , CF 相交于点 D
. 若BD = CD ，求证：AD是∠BAC的平分线。
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
结论： _________________________________.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段， 你发
现了什么？
结论： _________________________________.
你能证明以上两个结论吗？
例3 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点 P .
求证：∠A的平分线经过点 P .
第 2 页【归纳总结】
结论： 三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三条边的距离相等。
例 4 如图，在直角△ABC中， AC=BC ，∠C=90∘ ，AP平分∠BAC ，BD 平分
∠ABC ；AP，BD 交于点O，过点O作 OM⊥AC ，若OM = 4 ，
(1) 点O到△ABC 三边的距离和为_________.
(2) 若△ABC的周长为32，求△ABC的面积。
例5 如图，在△ABC中，点O是△ABC 内一点，且点O到△ABC三边的距离相等。
若∠A = 40∘，则∠BOC的度数为 ( )
A. 110° B. 120∘
C. 130∘ D. 140∘
第 3 页当堂反馈
1.如图，BO 与 CO 分别是△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的平分线。若∠BAC＝
52°，则∠BAO＝( )
A.25° B.26° C.30° D.32°
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，
则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.如图，△ABC 的三条角平分线交于点 O，且三边 AB，BC，CA 的比为
4∶6∶7，S ＝8，则S ＝___________.
△ABO △CAO
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.点P是△ABC
三个内角平分线的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长。
第 4 页参考答案
复习导入
问题： 性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
探究点、三角形的角平分线
例1 (1) 解：∵ AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC, DE⊥AB ，
∴DE = CD = 4cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
∵AC=BC ,∴∠B =∠BAC ( 等边对等角 ).
1
∵∠C = 90∘,∴∠B = ×90∘= 45∘.
2
∴BE = DE (等角对等边)。在等腰 Rt△BDE 中， BD = √2DE2=4√2cm .
∴AC = BC = CD+BD = (4+4√2)cm .
(2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED ( HL ).
∴AC=AE .∵BE = DE = CD ,∴AB = AE+BE = AC+CD .
例2 证明： ∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90∘ .
∠BFD=∠CED,
{
在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BDF=∠CDE,
BD=CD,
∴△BDF≌△CDE (AAS).∴ DF = DE .
又 DF⊥AB,DE⊥AC , ∴ AD是∠BAC的平分线。
活动1
结论：三角形的三条角平分线相交于一点。
活动2
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等。
第 5 页例 3 证明： 如图，过点P分别作PD⊥AB , PE⊥BC,PF⊥AC ，垂足为
D,E,F . ∵BM 是△ABC的角平分线，
∴PD = PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理 PE = PF .∴ PD = PE = PF .
∴ 点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角
的平分线上)，即∠A的平分线经过点 P .
例4 (1) 12.
(2) 解： 如图 ，过点 O作 OE⊥AB于点 E,ON⊥BC于点 N ，连接 OC .
1 1 1
S =S +S +S = AB×OE+ BC×ON+ AB×OM .
△ABC △AOC △BOC △AOB 2 2 2
1 1
= OM×(AB+BC+OM) = ×4×32 = 64
2 2
例5 A.
当堂反馈
1. B. 2. C. 3. 14 .
4.解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F.
∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD.
1 1 1 1
设PD＝ x，则S ＝ BC∙PD＋ AB∙PE＋ AC∙PF＝ AB∙BC，
△ABC
2 2 2 2
1 1 1 1
即 ×24x＋ ×7x＋ ×25x＝ ×7×24，解得x＝3，
2 2 2 2
∴ PD=3.
第 6 页
