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第 2 课时 直角三角形全等的判定
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)
2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解
决有关问题．(难点)
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但
每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于
是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
二、合作探究
探究点：直角三角形全等的判定
【类型一】 应用 “ HL ” 证明三角形全等
如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝
CD，BE＝CF.
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运
用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与
△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然
后找出对应的斜边和直角边相等即可．
【类型二】 利用 “ HL ” 证明线段相等
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝
AE.求证：BC＝BE.解析： 根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE，得 CD＝EF，再根据 “HL”证
Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ ADC≌ Rt△ AFE(HL) ． ∴ CD ＝ EF.∵AD ＝ AF ， AB ＝ AB ，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，
使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【类型三】 利用 “ HL ” 证明角相等
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
【类型四】 利用 “ HL ” 解决动点问题
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两
点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那
么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点
的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP
＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即
AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动
到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角
形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD 交于 O 点，且 AO 平分
∠BAC.求证：OB＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平
分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝
OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分
∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵
∴ △ AOD≌ △ AOE(AAS) ， ∴ OD ＝ OE. 在 △ BOD 和 △ COE 中 ，
∵∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.
方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有SSS、SAS、ASA、AAS.
三、板书设计
1．作直角三角形
2．直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角
形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边
或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注
重通过适量的练习巩固所学的新知识.
