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第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
第 1 课时 等腰三角形的性质
【素养目标】
1. 探索并证明等腰三角形的性质：
(1) 等腰三角形的两个底角相等 (“等边对等角”)；
(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合
一”). (重点)
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。(难点)
3. 掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题。
4. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻
辑严密性与科学性。
【情境导入】
图中有你熟悉的图形吗？它们有什么共同特点？
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
问题2: 你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗？
【合作探究】
探究点一、等腰三角形的性质
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对
称图形， 且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全
等的三角形。 由此， 你得到了解题什么的启发？
第 1 页【证一证】已知： 如图，在 △ABC 中， AB=AC . 求证： ∠B=∠C .
还有其他的证法吗？
想一想： 由 △BAD≌△CAD ，图中线段 AD 还具有怎样的性质？ 为什么？
由此你能得到什么结论？
【知识要点】
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言： 如图，在 △ABC 中，
∵AB=AC (已知),
∴∠B=∠C (等边对等角).
推论： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合。
【练一练】
1. 已知，如图， △ABC≌△ADE ， ∠BED = 20∘ ，则∠AED的度数为( )
A. 60°
B. 90∘
C. 80∘
第 2 页D. 20∘
例1 已知点 D 、 E 在 △ABC 的边 BC 上， AB=AC .
(1) 如图①，若 AD = AE ，求证： BD = CE ；
(2) 如图②，若 BD = CE ， F为DE的中点，求证： AF⊥BC.
探究点二、等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征
呢？怎样证明这一定理呢？
【证一证】
已知： 如图，在 △ABC 中， AB=AC=BC .
求证：∠A=∠B=∠C=60∘ .
【知识要点】
定理 等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于 60∘ .
例2 如图，等边三角形 ABC中，BD是AC边上的中线，BD = BE ，求∠EDA的
度数。
第 3 页当堂反馈
1.在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的度数是( )
A.70° B.55° C.50° D.40°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(
)
A.AD=BD B. BD=CD C.∠1=∠2 D.∠B=∠C
第2题图 第4题图
3.已知等边三角形ABC的一边长为10，则它的周长为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
4.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度
数为 ( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
5.(1)一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，则该等腰三角形的顶角度数为
______；
(2)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角度数为________.
6.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，AC＝5.
(1) △ABC的周长为_______；
(2) △ABC的面积为_______.
7.如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝
CD，求∠BDE的度数。
第 4 页参考答案
复习导入
问题1：定理： 等腰三角形的两个底角相等。
推论： 等腰三角形顶角的平分线， 底边上的中线， 底边上的高互相重合(三
线合一).
问题2: 略
探究点一、等腰三角形的性质
议一议：方法一：作底边上的中线
证明： 如图，取 BC 的中点 D ，连接 AD .∵AB =AC,BD = CD,AD = AD ,
∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二： 作顶角的平分线
证明： 作顶角的平分线 AD ，则 ∠BAD =∠CAD.
∵AB = AC,∠BAD =∠CAD,AD = AD ,∴△BAD≌△CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
想一想： 由 △BAD≌△CAD ，可得 BD = CD,∠ADB =∠ADC ,
∠BAD =∠CAD .又 ∵∠ADB+∠ADC = 180∘ ,
∴∠ADB =∠ADC = 90∘ ，即 AD⊥BC .故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、
顶角∠BAC的平分线、底边 BC 上的高线。
【练一练】
1. C.
例1 证明： (1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC于G .
∵AB = AC,AD = AE ,∴BG = CG , DG = EG .
∴BG−DG = CG−EG .∴BD = CE .
(2) ∵BD = CE ， F为DE的中点，
∴BD+DF = CE+EF .∴BF = CF .∵AB = AC ,∴AF⊥BC
探究点二、等边三角形的性质
想一想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60∘ .
【证一证】
证明： 在 ΔABC 中，∵AB = AC ,∴∠B =∠C .
同理 ∠A =∠B .又 ∵∠A+∠B+∠C =180∘ (三角形的内角和等于180∘),
∴∠A =∠B =∠C = 60∘ .
例2 解： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠CBA = 60∘ .
∵BD 是 AC 边上的中线， ∴∠BDA=90∘,∠DBA=30∘ .
∵BD=BE ,∴∠BDE = (180∘−∠DBA)÷2 = (180∘−30∘)÷2 = 75∘.
第 5 页∴∠EDA = 90∘−∠BDE=90∘−75∘=15∘ .
当堂反馈
1.A. 2.A. 3.C. 4. D. 5.(1) 36°； (2) 40°或70° .
6.(1) 16 ; (2) 12 .
7.解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ACB=60°,∠BDC=90°.
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.
∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠CDE=60°,
∴∠CDE=30°.∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120°.
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