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第一章 特殊平行四边形
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在菱形 中， ，点 为对角线 上一点， 为
边上一点，连接 、 、 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则
∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-
∠EDF=16°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，
∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°， ，
∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEA=∠BEC=56°，
∴∠BAE=104°，
∴∠DAE=36°，
∵AE=FE，
∴∠EFA=∠EAF=36°，
∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形
外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， 、 分别是直角边 、 的中点，若
，则 边上的中线 的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求解即可．
【详解】
解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴ ．
∵DE=10，
∴AB=2DE=20．
∵CP是 中斜边AB上的中线，，
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握这些知识点是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在菱形 中，直线 分别交 、 、 于点 、
和 ．且 ，连接 ．若 ，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确定 ，OA=OC，根据等腰三角形
三线合一的性质确定∠BOC=90°，根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出∠DAC．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ， ．
∴∠OMA=∠ONC，∠OAM=∠OCN，∠DAC=∠OCB．
∵AM=CN，
∴ ．
∴OA=OC．
∴BO⊥AC．
∴∠BOC=90°．
∵∠OBC=65°，
∴∠OCB=180°-∠BOC-∠OBC=25°．
∴∠DAC=∠OCB=25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确，等腰三角形三线合一的性质，三
角形内角和定理，综合引用这些知识点是解题关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全
等的直角三角形拼接而成，其中 ， ，则 的值是（ ）A．128 B．64 C．32 D．144
【答案】A
【解析】
【分析】
13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF 的长．
2
【详解】
解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，
∵ ， ，
∴小正方形的边长=13-5=8，
∴ ．
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，
ADE≌ CFE，则四边形ADCF一定是（ △ ）
△ △
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
【答案】B
【解析】【分析】
根据全等三角形的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形
ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平
行四边形是矩形解答．
【详解】
解： ADE≌△CFE，
∴AE△=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定
理是解题的关键．
6．（2022·广西南宁·八年级期末）如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是
（ ）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质判断即可；
【详解】
解：A．当 时，它是菱形，选项正确，不符合题意；
B．当 时，它是菱形，选项正确，不符合题意；
C．当 时，它是矩形，选项正确，不符合题意；
D．当 且AC⊥BD时，它是正方形，选项错误，符合题意；故选： D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；矩形
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；正方形的性质：对角线相等、互相垂直平分．
7．（2022·广东云浮·八年级期末）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到 ，EH= BD， EF= AC，根据平行
四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
【详解】
解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ ，EH= BD， EF= AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；故选：D．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形 为平行四边形，延长 到 ，使 ，连接
， ， ，添加一个条件，不能使四边形 成为矩形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件：四边形ABCD为平行四边形及DE=AD，可得四边形DBCE为平行四边形，根据所给的四个选项及
矩形的判定即可作出判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC//AD，AB//CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC//AD
∴BC//DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形
DBCE是矩形，故A不符合题意；
当CE⊥DE时或 时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形，故B、C不符合题意；
当 时，则由AB//CD，可知BE⊥CD，即 的对角线相互垂直，则四边形是菱形，但不能判
定它是矩形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝2AB＝8，
点P是BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若m＝PE＋PF，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接PO，由矩形的性质和勾股定理得求得OB=OC= ，再由 求得PE+PF的值即
可．
【详解】
如图，连接PO，
∵BC=2AB=8，
∴AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°， =AB·BC=4×8=32，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD= = = ， ，OB=0C= AC= ，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴ ，
∴PB+PF= = ，即m= ，
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，菱形 的对角线 相交于点O，点P为 边上一动
点（不与点A，B重合）， 于点E， 于点F．若 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到： ，当 时，OP的值最小，利用
，求出OP的最小值即可，
【详解】解：连接OP，
∵ 是菱形，∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴四边形OEPF是矩形，
∴ ，
当 时，OP的值最小，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，即EF的最小值为： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是证明 ，当
时，OP的值最小，利用等面积法求出OP的长．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，已知
AB=6cm，BC=8cm，则四边形ODEC的周长为______cm．
【答案】20【解析】
【分析】
根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD，
求出OC=OD，根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形，根据菱形的性质得出OD=OC=DE=CE，根据勾
股定理求出AC，再求出OC即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD，
∴OC=OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OD=OC=DE=CE，
由勾股定理得：AC= =10（cm），
∴AO=OC=5cm，
∴OC=CE=DE=OD=5cm，
即四边形ODEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm），
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是
解此题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点D作
于点H，连接 ，若 ， ，则 的长为___________．【答案】3
【解析】
【分析】
由菱形面积计算公式可求得BD的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求得OH的长．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OA=8，
∵ ，
∴ ,
∴BD=6，
∵DH⊥BC，O为BD的中点，
∴OH为直角△DHB斜边上的中线，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，菱形面积等于两对角线乘积的一半等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形 中， ，点 ， ， ， 分别是 ，
， ， 的中点，若 ， ，则四边形 的面积是______．【答案】12
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形 为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
，
∴ ，
∴平行四边形 为矩形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了中点四边形，解题的关键是掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线 经过正方形 的顶点 ，分别过点 、 作
于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的长为________．
【答案】9【解析】
【分析】
利用同角的余角相等，证得 ，根据垂直定义，得 ，结合已知，证得
，进而证得 ， ，据此可求出 ，问题得解．
【详解】
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴ ，
∴
故答案为：9
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角
相等是解本题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一
动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．【答案】
【解析】
【分析】
取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形DEBH是平行四边形，可
得 ，由三角形中位线定理可得 ，可得点P在BH上，当CP⊥BH时，PC有最小值，
即可求解．
【详解】
解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4， ， ，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形， ，
，
∴ ，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴ ，
∴点P在BH上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，在Rt CDH中，
△
∴PC的最小值为 ，
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等
知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝
45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
将 DAF绕点A顺时针旋转90度到 BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出
△△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+△FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，求出BC即可．
【详解】
解：将 DAF绕点A顺时针旋转90度到 BAF′位置，
△ △
由题意可得出： DAF≌△BAF′，
△∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在 FAE和 EAF′中,
△ △
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为8，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，
∴BC=4，
即正方形的边长为4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 FAE≌△EAF′是解题关键．
三、解答题 △
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将矩形纸片 折叠，使顶点 落在边 上的点 处，折痕
的一端点 在边 上，另一端F在AD上， ， ．
(1)求证：四边形BGEF为菱形；
(2)求FG的长．
【答案】(1)见解析;
(2) ．
【解析】
【分析】
（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得 EFG是等腰三角形，即可得EF＝BG，又由
△EF∥BG，即可得四边形BGEF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF
为菱形；
（2）过点F作FK⊥BG于K，可得四边形ABKF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得AF的长，继而求
得FG的长．
(1)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG＝∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG＝GE，
∴EF＝BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
(2)
解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°，
∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK＝AB＝8，BK＝AF，
在Rt ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10，
△
∴AF＝ ，
∴BK＝AF＝6，∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4，
∴FG＝ ．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，以及勾股定理等知
识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若 ，
，则：
(1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明；
(2)求重叠部分三角形ACF的面积．
【答案】(1) AFC是等腰三角形
△
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，再由图形折叠的性质可得到∠ACB=∠ACE，继而可得出
∠DAC=∠ACE，这即可判断出后重叠部分三角形的形状；
（2）设AF长为x，则CF=x，FD=9-x，在直角三角形CDF中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形
面积公式进行计算求解．
(1)
解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由图形折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE．∴△AFC是等腰三角形；
(2)
设AF=CF=x，则FD=9-x，
在Rt CDF中，
（9-x△）2+32=x2，
解得：x=5，
∴AF=5，
∴S AFC= AF×CD= ×5×3= ．
△
故重叠部分面积为 ．
【点睛】
此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AF的长是解答此题的关键．
19．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD
上一点，连接BE交AC于点F，连接DF
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)试探究BE满足什么条件时，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，由平行线的性质可得∠CAD=∠ACD，
再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD， CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是
姜形；
(2)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到
∠EFD=∠BCD
(1)证明：在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
∴∠DAC＝∠ACD．
∴AD＝CD．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
解：当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD．理由：
由(1)知四边形ABCD为菱形，
∴∠BCF＝∠DCF．
在 BCF和 DCF中， ，
△ △
∴△BCF≌△DCF(SAS)．
∴∠CBF＝∠CDF．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°．
∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90 °
∴∠EFD＝∠BCD．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，灵活运用三角形
全等的判定及性质是解本题的关键．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE
是折痕．(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE= ，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4-x，得出22+（4-x）2=x2，解方程即可得解；
（2）设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在Rt ABF中，得出（8x）2+
△
（y-4x）2=y2，则y=10x，得出（10x）2+（5x）2=（ ）2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求
出．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF= =3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
设EF=DE=x，则CE=4-x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+（4-x）2=x2，
解得：x= ，∴DE= ，
∴AE= ；
(2)
解：∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF= =5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y-4x，
在Rt ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴（8△x）2+（y-4x）2=y2，
解得y=10x，
在Rt ADE中，AD2+DE2=AE2，
△
∴（10x）2+（5x）2=（ ）2，
解得x= 或x=- （舍去），
∴AD=10x=2，AB=8x= ，
∴矩形ABCD的周长为（2+ ）×2= ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知以 ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形
ABD、BCE和ACF． △(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2) ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由；
(3)△这样的平行四边形ADEF是否总是存在？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．理由见解析；
(3)不总是存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝
∠ABC，根据SAS推出 DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行
四边形的判定推出即可△；
（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF
是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；
（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．
(1)
证明：∵△ABD、 BCE和 ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，AB＝B△D，BC＝△BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，
在 DBE和 ABC中
△ △
，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
∵AC＝AF，∴DE＝AF，
同理AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
(2)
解：当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，
理由是：∵△ABD和 AFC是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AF，△
∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形；
当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和 ACF是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝6△0°，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAF＝90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；
(3)
解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定
的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
