文档内容
1.1 三角形内角和定理 第3课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册，第一章《三角形的证明及其应用》1.1《三角形内角和定理》第3
课时，核心知识点是多边形内角和定理及正多边形内角计算。内容以五边形为例，层层引导学生由三
角形的内角和推广到任意 n 边形的内角和，并通过多种分割方法体会转化思想和几何思想方法。
2.内容解析
本节在复习“三角形内角和及其推论”的基础上，进一步探究多边形的定义、对角线概念以及如
何分割多边形得到三角形。教学重点是多边形的内角和公式 n-2×180° 的多种推导方式，难点在于运
用此公式解决正多边形每个内角度数及综合性题目。通过情境引入（广场正五边形花坛），激发学生
思考，运用数形结合与转化方法来演示和验证多边形的内角和，进而加深对定理的理解和应用价值的
体会。
1.教学目标
•能通过不同方法探索多边形的内角和公式。
•学会运用多边形的内角和公式解决问题。
•体会转化思想的应用，建立数学与生活的联系，增强用几何知识解决实际问题的意识。
2.目标解析
•通过多种分割方法或演示活动，让学生认识多边形的内角和公式，掌握公式推导思路。
• 借助典型例题和练习巩固运用，提升分析和解决几何问题的能力。
• 在分割、推导及生活实例中察觉数学思维的普遍性，增强对几何知识的理解与实际应用意识。
3.重点难点
• 教学重点：多边形的内角和公式的推导及应用。
• 教学难点：正多边形的内角计算及运用抽象思维解决综合问题。
学生已熟悉三角形内角和为 180° 及其推论，对多边形已有感性认识。多数学生能够在教师引导
下利用分割转化思维来推导多边形的内角和，但对正多边形的应用以及对复杂图形的分割尚缺乏系统
经验，需要通过形象化的演示和典型题目形成稳固的思路与方法。创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
②多边形：
(1)由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形.
(2)连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(3)从n边形的一个顶点出发，可以引出(n－3)条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共
(n－3)n
有 条对角线.
2
2.情景引入
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.
这个广场中心有一个正五边形的花坛，施工团队在铺设地砖时，需要计算出这个五边形每个内角的度
数，才能精准切割地砖。大家想一想，我们只知道三角形的内角和是180°，怎么才能求出五边形的内
角和呢？
【设计意图】通过提及生活中铺设花坛地砖以及回顾三角形和多边形的基本概念，引发学生思考多边
形内角和与三角形内角和之间的联系，激发学习兴趣与探究欲望。
探究点1：多边形的内角和
1.议一议
（1）小明和小亮分别利用图①和图②求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
思路：把五边形分割为几个三角形，将五边形五个内角的和转化为求几个三角形内角的和.
解：方法一：分割点在顶点，五边形可以分割成三个三角形来算．五边形五个内角的和=180°×3=540°.
方法二：分割点在内部，五边形可以分割成五个三角形来计算．
五边形五个内角的和=180°×5-360°=540°.
（2）你还有其他的方法吗？与同伴进行交流.
其他不同的分割方法：说一说以下方法是如何计算五边形内角和的.
解：
方法三：分割点在顶点，五边形可以分割成一个三角形和一个四边形来计算.
五边形五个内角的和=360°+180°=540°.
方法四：分割点在边上，五边形可以分割成4个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°×4-180°=540°.
方法六：分割点在外部，五边形可以分割成4个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°×4-180°=540°.
教师提问：思考根据以上求五边形内角和的过程，你有什么发现？
教师总结：
结论：五边形的内角和为540°.
2.尝试思考
（1）按照图①的方法，六边形能分成多少个三角形？n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？你能
确定n边形的内角和吗？多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出三角形的个
1 2 3 4 … n-2
数
2×180º=360
多边形内角和 1×180º=180º 3×180º=540º 4×180º=720º … (n-2)·180º
º
（2）按照图②的方法再试一试.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出三角形的个
3 4 5 6 … n
数
n×180º-36
3×180º-360° 4×180º-360° 5×180º-360° 6×180º-360°
多边形内角和 … 0°=(n-2)·1
=180º =360º =540º =720º
80º
3.知识归纳
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于(n-2)·180 °.
注意：（1）其中n≥3，且为自然数；
（2）多边形的内角和与它的边数有关.
4.新知探究
例：在四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°，那么∠B和∠D有什么关系？试说明理由.
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4－2) ×180 °
= 360 °，
∴∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）= 360°－ 180°
=180°.
结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
5.练一练
一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
解：A
【设计意图】利用“分割多边形”为三角形的思路，通过“转化”方法把未知转化为已知，实现对多
边形内角和的理解和推导，突破多边形与三角形之间的抽象联系。
探究点2：正多边形的内角
1.想一想
(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？
多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
图形
正多边形内角和 180º 360º 540º 720º 1080º
正多边形每个内角的度 720º÷6=120
180º÷3=60° 360º÷4=90° 540º÷5=108° 1080º÷8=135°
数 °
(2)怎样计算正多边形每个内角的度数？
解：∵正n边形的内角和为(n-2)·180 °，且每个内角都相等，
（n-2）∙180°
∴每个内角的度数= .
n
2.知识归纳
正多边形的内角：
（n-2）∙180°
∵正n边形的内角= .
n
（其中n≥3，且为自然数）
3.思考交流
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流.↓ ↓
↓
五边形，内角和是540°. 四边形，内角和是360°. 三角形，内角和是180°.
总结：截一个多边形的一个角时，一定注意截法，注意分类讨论.
4.练一练
①正十二边形的一个内角的度数是（ ）
A.120° B.135° C.150° D.108°
（12-2）∙180°
解析：正十二边形的内角=
12
1800°
= =150°.选C。
12
②如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,那么下列四种剪法中,
符合要求的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
解：B
5.典例分析
例1 如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数.
解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，
∠D+∠C＝220°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°.
例2 小明同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小明认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
解：(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则(n－2)×180°＝1840°－x.
∵1840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的整数倍，
∴x＝40°，n－2＝10.
∴n＝12.
故这个多边形的边数是12.
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
解：(2)设这个多边形的边数是m，漏算的内角的度数是y，
则(m－2)×180°＝1840°＋y，
∵1840°＝11×180°－140°，内角和为180°的整数倍，
∴y＝140°，m－2＝11.
∴m＝13.
故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形.
【设计意图】通过与正多边形生活实例（如正方形地砖、蜂巢结构等）相结合，进一步加深学生对
“正多边形的内角”的认识，拓宽应用视角。
1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
解：B
2.一个多边形的内角和为1 800°， 截去一个角后， 得到的多边形的内角和 为( )
A.1 620° B.1 800° C.1 980° D.以上答案都有可能
解：D
3.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
解：C4.m边形与n边形内角和的差为720°，则m与n的差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解：C
5.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：C
6.如图，正六边形ABCDEF的对角线AD∥BC，则∠DAB( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
解：A
7. 已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍，而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与
从乙多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是 7∶3，如果甲是十边形，那么乙是____边形.
解:六
8. 若一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°,则这个多边形的边数是____.
解：9
9.如图所示，已知正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的度数为_________.
解：90°
10.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的
度数为______．
解：60°
11.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，
使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度．解：45
12.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1 125°，当他发现错了以后，重新检查，发
现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x，则有
1 125°＜x＜1 125°+180°，
即180°×6+45°＜x＜180°×7+45°.
∵x为多边形的内角和，∴x＝180°×7＝1 260°.
∴7+2＝9,1 260°-1 125°＝135°.
∴少算的这个内角是135°，这个多边形是九边形.
13.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，质
检员测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°.如果你是质检员，判断此模板是否合格？为什么？
解：不合格，组成的五边形的内角和不是540°.
14.如果两个多边形的边数之比为1∶2,这两个多边形的内角之和为1440°,请你确定这两个多边形的边数.
解： 设这两个多边形的边数分别为n，2n.
根据题意,得(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1440°,
解得n=4.
所以2n=8.
故这两个多边形的边数分别为4和8.
【设计意图】本环节提供多层次题型，从基础到综合，帮助学生夯实基础知识，并在练习中不断体会
公式的应用场景，查漏补缺，强化技能。主板书 副板书
1.1 三角形内角和定理 第三课时 例题
探究点1 多边形的内角和
探究点 2 正多边形的内角 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.1第5，6，13题。
2.探究性作业：习题1.1第15题。
