文档内容
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
学习目标：
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，
中线）的性质；
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
自主学习
一、情境导入
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么
关系呢？
合作探究
一、要点探究
知识点一：等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线
段吗? 能证明你的结论吗?
猜想：
1例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：
求证：
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：
求证：
例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等．
已知：
求证：
2议一议：
1. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
(1) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 吗？
(2) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗?
由此你能得到一个什么结论?
结论：
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
(1) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？
(2) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？ 为什么？
(3) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？ 为什么？
由此你能得到一个什么结论?
结论：
知识点二：等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
3提问1：怎样证明这一定理呢？
已知：
求证：
典例精析
例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度
数.
二、课堂小结
当堂检测
41. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则
△ADE 的周长是 cm.
2. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.
3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的
大小.
变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条
件不变，你还能求出∠AEB 的大小吗？
参考答案
二、小组合作，探究概念和性质
5在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段
吗? 能证明你的结论吗?
猜想1：底角的两条平分线相等
猜想2：两条腰上的中线相等
猜想3：两条腰上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线．
求证：BD = CE.
证明：∵ AB = AC，
∴∠ABC =∠ACB
(等边对等角).
又∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB (已知)，
∴∠1 =∠2 (等式性质)．
在 △BDC 与 △CEB 中，
∵∠DCB =∠ EBC ，BC = CB，∠1 =∠2，
∴△BDC≌△CEB (ASA)．
∴BD = CE (全等三角形的对应边相等)．
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上的中线．
求证：BM = CN．
证明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠ABC =∠ACB.
又∵ CM = AC，BN = AB，
∴ CM = BN.
在△BMC 与△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，
∴△BMC≌△CNB (SAS)．
∴ BM = CN.
例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等．
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是△ABC 两腰上的高．
求证：BP = CQ．
证明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 与△CPB 中，
6∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
议一议：
3. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
（1）如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 吗？
BD = CE
(2) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
BD = CE
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗?
BD = CE
由此你能得到一个什么结论?
结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，∠ABD = ∠ACE，那么 BD = CE.
师生活动：以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整
地书写出来. (教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言.
4. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
（1）如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？
为什么？
BD = CE
(2) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？
为什么？
BD = CE
(3) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？
BD = CE
由此你能得到一个什么结论?
结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，AD = AE，那么 BD = CE.
知识点二：等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
提问1：怎样证明这一定理呢？
7预设：可以利用等腰三角形的性质进行证明.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
典例精析
例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度
数.
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
当堂检测
1.12
2.证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
3.解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，
8∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.
变式：方法与前面相同，∠AEB = 60°.
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