文档内容
第一章 三角形的证明
1.2.1等腰三角形的性质导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。
2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上
的高重合（三线合一）。
3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°
4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等
学习重点：
运用“等边对等角”和“三线合一”的性质进行计算和证明。
学习难点：
证明过程数学语言的严谨性
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预习自测
一、知识链接
一、三角形全等判定定理：
1. SSS,数学语言描述 。
2. SAS,数学语言描述 。
3. ASA,数学语言描述 。
4. AAS,数学语言描述 。
5. HL ,数学语言描述 。
二、等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做 ,另一条边叫做底 ,
两腰所夹的角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 .
三、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两底角相等,简述为： .
性质 2：等腰三角形的顶角平分线，也是底边上的中线,也是底边上的高,简述为：
.
性质3：等腰三角形是 图形
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教学过程
探究一：性质1：等腰三角形的两个底角相等。
简称“等边对等角”
A
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
证明: 方法一
作顶角的平分线AD,则有∠BAD＝∠CAD
B D C
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
AD＝AD（ ）
∴ △ABD≌ △ACD （ ）
∴ ∠B＝∠C （ ）
方法二
作底边BC的中线AD,则有BD＝DC
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
BD＝DC
AD＝AD（ ）
∴ △ABD≌ △ACD （ ）
∴ ∠B＝∠C （ ）
方法三
作底边BC边上的高AD,则有∠ADB＝∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
AD＝AD（ ）
A
∴ △ABD≌ △ACD （ ）
∴ ∠B＝∠C （ ）
探究二：性质2;等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，
⌒⌒
1 2
底边上的高 。 也称 .
用符号语言表示为：
B C
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 D
1、∵AD是底边BC上的高
2∴∠ = ∠ ， = 。
2、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
3、∵AD是中线，
∴ ⊥ ， ∠ = ∠ 。
理解三线合一
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高重合在一起。知一线
得二线。
探究三、已知：AB=AC=BC，
求证：∠A=∠B=∠C=60° A
证明：∵AB=AC=BC，
⌒⌒
1 2
∴∠A=∠B=∠C(等边对等角）
B C
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°
【强调】等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.在△ABC中，AB=AC，如果一个底角为50°，则另两个角为 和 。
2.在△ABC中，AB=AC，如果一个角为50°，则另两个角为 .
3.在△ABC中，AB =AC，点D是BC的中点，∠B = 40°，则∠BAD的度数是 .
4.等腰三角形一边长为3cm,另一边长为4cm,它的周长为 。
5.等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 9cm或12cm D. 在9cm与12cm之间
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，如果BC＝16cm，则BD＝ cm．如果
CD=8cm.则BC= cm
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分
线，则图中的等腰三角形有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
能力提升：
8．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一 点，AE∥BC，BF＝AE，
求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
3拓展迁移：
9.如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
四、总结反思、拓展升华
等腰三角形性质
1、等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”）
2、等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。
3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称三线合一）。
4、等边三角形是特殊的等腰三角形，每个角均为60°
五、【作业布置】
基础达标：
1．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
2．一个顶角为126°的等腰三角形，它的底角的度数为（ ）
A．18° B．24° C．27° D．34°
3、等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（ ）
A. 36° B. 32° C. 64° D. 72°
4．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=BC，BD平分∠ABC，若AC=6，则AD的长为（ ）
4A．2 B．3 C．4 D．8
5、如图，在△ABC中，AB=AC，BC边的中线AD交于BC点D，点E在AD上，且AE=CE，∠ACE=35°，
则∠B为 度
第4题 第5题 第6题
6、如图,在△ABC中，D、E是C边上的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数
能力提升：
7. 如图，在△ABC中,AB=AC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于E,过E作BC的平行线交AB于M,交AC
于N,三角形AMN的周长是 。
8. 如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是
等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
第7题 第8题 第9题
拓展迁移：
59.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC
外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．
(1)求证：△ABF≌△ACG；
(2)求证：BE＝CG+EG．
课堂练习参考答案
1. 50°；80°
2. 50°和 80°或 65°和 65°
3. 50°
4. 10cm或11cm
5. B
6. 8；16
7. A
8. 证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
6(2)在△ABF和△CAE中
AB=AC，
∠B=∠ACE
BF=AE
∴△ABF≌△CAE
∴AF=CE
9. 证明（1）：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°
课外作业参考答案
1. B
2. C
3. D
4. B
5. 55°
6.解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE
∠ADE=∠AED=∠DAE=60°
又∵D、E是BC边上的三等分点
∴BD=DE=EC
∴∠ECA=∠CAE= ∠AED=30°∠DBA=∠DAB= ∠ADE=30°
∴∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°
7.6
78.B
9.解：（1）∵∠BAC=∠FAG
∴∠BAC-∠DAC=∠FAG-∠DAC
∴∠BAD=∠CAG
在△ABF和△ACG中
∠BAD=∠CAG
AB=AC
∠ABF=∠ACG
∴△ABF≌△ACG(ASA
（2）由（1）得△ABF≌△ACG
∴BF=CG,AF=AG,∠BAF=∠EAG
又∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠BAF=∠DAC
∴∠DAC=∠EAG
在△AEF和△AEG中
∠DAC=∠EAG,
AE=AE,
AF=∠AG
∴△AEF≌△AEG(SAS)
∴EF=EG
∴BE=BF+EF=CG+EG
∴BE=CG+EG
8
